Demonstração da fórmula de decaimento exponencial (pode ser pulada, envolve cálculo)

RKA2G A noção de uma meia-vida é útil se estivermos lidando com incrementos de tempo que são múltiplos de uma meia-vida. Por exemplo: onde o tempo é igual a zero, nós temos 100% da nossa substância. Depois que o tempo se igualar a uma meia-vida, teríamos 50% de nossa substância. No momento em que for igual a duas meias-vidas, teríamos 25% de nossa substância. E assim por diante. Se eu dissesse que três meias-vidas se passaram, no caso do carbono, que teria aproximadamente 15 mil anos (posso dizer aproximadamente ou quase exatamente), qual porcentagem do elemento original eu ainda tenho? No caso do carbono-14, direi qual a porcentagem do carbono-14 ainda não se transformou em nitrogênio-14? E isso é útil, mas, e se eu quisesse saber quanto carbono teria após meio ano, após a metade de uma meia-vida, após 3 bilhões de anos ou após 10 minutos? Se eu quiser uma função geral? Uma função geral como uma função no tempo, que me diz o número ou a quantidade da minha substância em decomposição. É isso que faremos neste vídeo. E usaremos um pouco da matemática, mas eu acho que ela é bastante simples, principalmente se você fez o primeiro ano do curso de Cálculo. Na verdade, essa é uma aplicação bastante interessante da matemática. Então, vamos pensar um pouco sobre a taxa de mudança, ou a probabilidade, ou o número de partículas que estão mudando em um dado momento. Se dissermos a diferença ou alteração no número de partículas, ou a quantidade de partículas em algum período de tempo bastante curto, do que isso dependerá? Este é o número de partículas que temos em um dado período de tempo. Esta é a nossa taxa de alteração Uma coisa: sabemos que a nossa taxa de alteração está diminuindo, sabemos que é um número negativo. Sabemos disso no caso da decomposição radioativa. Eu poderia fazer o mesmo exercício com um crescimento dinamizado, onde eu diria: não, não é um número negativo, que o nosso crescimento depende de quanto temos. Neste caso, a quantidade que estamos decompondo é proporcional, mas será o negativo de quanto do composto atual nós já temos. Deixe-me explicar isso. O que estou dizendo é: a nossa quantidade de decomposição é proporcional à quantidade de substância com que já estamos lidando. E, apenas para tornar isso um pouquinho mais intuitivo para você, imagine uma situação onde você tem 1 vezes 10⁹. Você tem um bilhão de átomos de carbono. E digamos que aqui você tem um átomo de carbono vezes 10⁶. E, se você olhar para um curto período de tempo, digamos se você olhar para 1 segundo, "dt" é um tempo infinitesimalmente curto, mas digamos que é uma mudança de tempo, é um Δt. Digamos que, nesse segundo, você observe que essa amostra tinha 1.000 partículas de carbono. Você não veria isso com o carbono-14, mas isso é apenas para o bem da nossa intuição. Digamos que, em um segundo, você viu 1.000 partículas de carbono por segundo aqui. Bem, aqui você tem um milésimo do número de partículas nessa amostra como essa. Então, para cada 1.000 partículas que viu decompor aqui, você esperaria ver uma partícula de carbono por segundo aqui, apenas por você ter uma quantidade menor. Agora, não sei qual é a constante, mas sabemos que, independente da substância da qual estamos falando, essa constante depende da substância. O carbono será diferente do urânio. Será diferente de... Você sabe, vimos o realce. Todos terão diferentes quantidades aqui. E podemos ver isso. Na verdade, faremos isso no próximo vídeo. Você pode calcular isso a partir da meia-vida. Mas a taxa de alteração sempre dependerá do número de partículas que você tem, certo? Vimos aqui com a meia-vida. Quando você tiver metade do número de partículas, você também perde metade. Se começarmos com 100 partículas aqui, ficamos com 50 partículas aqui. Depois, com 25. Quando você começar com 50, em um período de tempo, você perde 25. Quando você começar com 100, você perde 50. Então, claramente, a quantidade que você perde depende da quantidade inicial, certo? Sobre qualquer fração de tempo. E aqui é uma fração bem pequena. O que eu fiz aqui, na realidade, é bastante simples, Mas isso não parece tão simples para muitas pessoas, se você disser que é uma equação diferencial. Na verdade, podemos resolver isso usando técnicas bastante simples. Na verdade, isso é uma separação de problemas de variáveis. Então, o que podemos fazer? Vamos dividir os dois lados por N. Queremos usar todos os N deste lado e todos os "t" do outro lado. Então, se tivermos 1/n, "dn"/"dt" é igual a menos lambda (-λ). Eu simplesmente dividi os dois lados disso por N. Depois, eu posso multiplicar os dois lados disso por Δt e obtenho 1/n dn = -λdt. Agora, eu posso usar a integral dos dois lados dessa equação. E qual é o resultado? Qual é a primitiva? Usarei a integral indefinida ou a primitiva. Qual é a primitiva de 1/n? Bem, qual é o log neperiano de N mais alguma constante? Farei isso em azul. Mais alguma constante. Isso é igual a...? Qual é a primitiva de uma constante? É essa constante vezes a derivativa, a variável. Estamos usando a primitiva referente. Então, -λ vezes "t" mais alguma constante. Essas são constantes diferentes, mas elas são arbitrárias. Se quisermos, podemos ainda subtrair a constante dessa constante, colocá-las de lado e depois nós obtemos a outra constante. Isso se resume à nossa solução para a equação diferencial, que é: log natural de N = -λt, mais outra constante. Chamarei de C₃, não importa. Agora, se a gente quiser tornar isso uma função de N em termos de "t", vamos usar os dois. Ou os dois lados usam "e" à potência dos dois lados disso e você pode vê-lo como o inverso do log natural. Então, "e" à potência de ln(n) ou logaritmo neperiano de N, é igual a dizer qual a elevação da potência de "e" para atingir N. Se você eleva "e" àquela potência, obterá N. Estou apenas elevando os dois lados desta equação. "e" ao logaritmo neperiano de N é apenas N. Isso é igual a -λt + C₃. Agora, isso pode ser reescrito como: N = "e" elevado a -λt, vezes "e" elevado a C₃. Novamente, isto é uma constante arbitrária, portanto, nós podemos renomear como... Não sei, vou renomear como C₄. Então, a nossa solução para essa equação diferencial: N como uma função de "t" é igual à nossa constante C₄"e" elevado a -λΔt. Agora, digamos ainda melhor. Digamos que N é igual a zero. Temos N₀ da nossa atmosfera. É com essa quantidade que iniciaremos. Vamos ver se podemos subtrair isso em nossa equação para solucionar C₄. Dizemos que N sub igual a zero É igual a...? Vamos colocar zero aqui, então vejamos... Isso é igual a N₀. Isso é igual a C₄ vezes "e" elevado a -λ vezes zero. Bem, menos qualquer coisa vezes zero é igual a zero. Então, é "e" elevado a zero. Isso é igual a 1. C₄ é igual a N(0), a nossa quantidade inicial de amostra. Conseguimos obter uma expressão. Temos o número de partículas, ou a quantidade, como uma função de "t" é igual à quantidade inicial (no momento) é igual a zero vezes "e" elevado a -λ vezes o tempo. Temos que tomar um pouco de cuidado ao utilizar sempre a constante do tempo ao resolvermos os diferentes coeficientes. Isso parece muito abstrato. Como isso se relaciona à meia-vida? Vamos tentar descobrir essa equação para o carbono. Isso será verdadeiro para tudo onde há a decomposição radioativa. Se colocarmos um sinal positivo aqui, seria um crescimento exponencial também. Sabemos que o carbono C-14 possui uma meia-vida de 5.700 anos. A forma como você poderia pensar sobre isso é: se no tempo igual a zero você começar com "t", então, tempo igual a zero... Vou escrever isso. Se N(0) for igual a... Podemos escrever 100, se quisermos. Na verdade, por que não fazemos isso? Se N(0) começamos com 100 e, depois, em N(5.700), vamos usar "t" como anos, apenas para ser consistente com as unidades. Quanto nos resta? Teremos 50 restantes. Poderíamos ter escrito "x" e "x" aqui e isso tudo daria certo no final. Vejamos. Vamos aplicar isso a essa equação e tentar resolver isso para λ. Sabemos que N(0) = 100. Então, imediatamente sabemos que nós podemos escrever essa equação como: N(t) = 100 elevado a "e", elevado a -λt. Pelo menos, nessa circunstância exata. E também sabemos que N(5.700)... Então, isso significa N(5.700)... Isso é igual a? Acabamos de dizer, é uma meia-vida. Ainda temos a metade do nosso composto. E isso é igual a 50, que é igual a uma potência de 5.700 vezes λ. Isso é igual a 100 vezes "e" elevado a -λ vezes 5.700. E agora, apenas solucionamos λ (lambda). Depois, teremos uma equação geral para a quantidade de carbono que temos em um dado momento no tempo. Se você dividir os dois lados disso por 100, o que temos? Obtemos 0,5. Temos metade. É igual a "e" elevado a -5.700λ e depois poderíamos pegar o log natural dos dois lados. Depois, obtemos... Vou descer um pouco... O log natural de 1/2 é igual ao... O log natural disso é apenas -5.700λ. Para solucionar λ, você verá que λ = log natural de 1/2 sobre -5.700. Então, vamos calcular o resultado. Vamos calcular esse resultado. Log natural de 0,5 é igual a isso dividido por -5.700. 5.700 negativo é igual a 1,2 vezes 10 elevado a 4 negativo. É igual a 1,21 vezes 10⁻⁴. Aí está, nós descobrimos λ. Então, a equação geral de quanto carbono-14 podemos esperar a qualquer momento no tempo "t", onde "t" é em anos, é: N(t) é igual à quantidade de carbono inicial vezes "e" elevado a -λ. -λ é 1,21 vezes 10⁻⁴, vezes "t" em anos. Se você quiser saber a quantidade após meio ano, precisa me dizer a quantidade inicial e, depois, eu posso te dizer a quantidade que terá após meio ano, ou após um bilhão de anos, ou após um zilhão de anos. E faremos muitos desses problemas no próximo vídeo. Até lá!