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Demonstração da fórmula de decaimento exponencial (pode ser pulada, envolve cálculo)

Transcrição de vídeo

a noção de uma meia vida é útil se estivermos lidando com incrementos de tempo que são múltiplos de uma meia vida por exemplo onde o tempo é igual a zero nós temos 100% da nossa substância depois que o tempo se igualar a uma meia-vida teríamos 50% de nossas substância no momento em que for igual a duas meias vidas teríamos 25% de nossa substância e assim por diante se eu dissesse que três meias vida se passaram no caso do carbono que teria o que aproximadamente 15 mil anos posso dizer aproximadamente ou quase exatamente qual a porcentagem do meu elemento original eu ainda tem no caso do carbono 14 direi qual a porcentagem do meu carbono-14 ainda não se transformou em nitrogênio nitrogênio 14 e isso é útil mas se eu quisesse saber quanto carbono teria após meio ano após a metade de uma meia vida ou após três bilhões de anos ou após dez minutos se eu quiser uma função geral uma função geral como uma função no tempo que me diz um número ou a quantidade da minha substância em decomposição é isso que faremos nesse vídeo e usaremos um pouco da matemática mas eu acho que ela é bastante simples principalmente se você fez o primeiro ano do curso de cálculo na verdade essa é uma aplicação bastante interessante da matemática então vamos pensar um pouco sobre a taxa de mudança ou a probabilidade ou o número de partículas que estão mudando em um dado momento então se dissemos a diferença ou alteração no número de partículas ou a quantidade de partículas em algum período de tempo bastante curto do que isso dependerá esse é o número de partículas que temos em um dado período de tempo essa é a nossa taxa de alteração bom uma coisa sabemos que a nossa taxa de alteração está diminuindo sabemos que é um número negativo sabemos disso no caso da decomposição rádio ativa eu poderia fazer o mesmo exercício com um crescimento de nome usado onde eu diria ou não não é um número negativo que o nosso crescimento depende de quanto temos nesse caso a quantidade que estamos decompondo é proporcional mas será o negativo de quanto do composto atual nós já temos deixe me explicar isso o que estou dizendo é que olha a nossa quantidade de decomposição é proporcional à quantidade de substância que já estamos lidando e apenas para tornar isso um pouquinho mais intuitivo pra você imagina uma situação aqui onde você tem 11 vezes 10 elevado a 9 você tem um bilhão de átomos de carbono e digamos que aqui você tem um átomo de carbono vezes 10 elevado a 6 e se você olhar para um curto período de tempo digamos se você olhar para um segundo digamos o nosso de t dt é um tempo infinito igualmente curto mas digamos que é uma mudança de tempo é um delta t digamos que nesse segundo você observe que essa mostra tinha não sei digamos que você viu mil partículas de carbono você não veria isso com carbono 14 mas isso é apenas para o bem da nossa intuição digamos que um segundo você viu mil partículas de carbono por segundo aqui bem aqui você tem um milésimo do número de partículas nessa mostra como essa então para cada mil partículas que viu decompor aqui você esperaria ver uma partícula de carbono por segundo aqui apenas por você ter uma quantidade menor agora não sei qual é a constante mas sabemos que independente da substância da qual estamos falando essa constante depende da substância o carbono será diferente do urânio será diferente de você sabe vimos o real se todos terão diferentes quantidades aqui e podemos ver isso na verdade faremos isso no próximo vídeo você pode calcular isso a partir da minha vida mas a taxa de alteração sempre dependerá do número de partículas que você tem certo digo vimos aqui com a minha vida quando você tiver metade do número de partículas você também perde metade aqui se começarmos com 100 partículas aqui ficamos com 50 partículas é que depois com 25 quando você começar com 51 período de tempo você perde 25 quando você começar com 100 você perde 50 então claramente a quantidade que você perde depende da quantidade inicial certo sobre qualquer fração de tempo e aqui é uma fração bem pequena o que eu fiz aqui na realidade é bastante simples mas isso não parece tão simples para muitas pessoas se você disser que é uma equação diferencial na verdade podemos resolver isso usando técnicas bastante simples na verdade isso é uma separação de problemas de variáveis então o que podemos fazer vamos dividir os dois lados por n queremos usar todos os genes desse lado e todos os três do outro lado então se tivermos um sobre n o dn sobre dp é igual a menos lambda eu simplesmente divide os dois lados disso por n depois eu posso multiplicar os dois lados disso por delta t e obtenham um sobre ndn é igual a menos lambida de t agora eu posso usar a integral dos dois lados dessa equação e qual é o resultado qual é a primitiva usarei a integral indefinida ou a primitiva qual é a primitiva de um sobre n bem qual é o log e peri ano dn mais alguma constante farei isso em azul mas alguma constante isso é igual à qual é primitivo de uma constante bem essa constante vezes a derivativo a variável estamos usando a primitiva referente então - lambida vezes te mais alguma constante essas são constantes diferentes mas elas são arbitrárias se quisermos podemos ainda subtrair a constante dessa constante e colocá las de lado e depois nós obtemos a outra constante isso se resume a nossa solução para a nossa equação diferencial que é lógico e natural dn é igual a menos lambida t mas outra constante chamarei de c3 não importa agora se a gente quiser tornar isso uma função dn em termos de t vamos usar os dois ou os dois usam é a potência dos dois lados disso e você pode vê-lo como o inverso do blog natural então é a potência de lnd n logaritmo no período de n é igual a dizer qual a elevação da potência de é para atingir n se você leva é aquela potência obterá n estou apenas elevando os dois lados dessa equação estou levando então os dois lados dessa equação é ao logaritmo de período de n é apenas n isso é igual a menos lambda te mais c3 agora isso pode ser reescrito como n é igual a é elevado a menos lambda te vezes é elevado a ser três novamente isso é uma constante arbitrária portanto nós podemos simplesmente renomear como não sei foi nomear como c4 então a nossa solução para a nossa equação diferencial n como uma função de t é igual à nossa constante c4 c4 3 ^ - lambida delta t agora digamos ainda melhor digamos que n é igual a zero digamos então que n seja igual a zero temos n subzero da nossa atmosfera é com essa quantidade que iniciaremos vamos ver então se podemos subtrair isso em nossa equação para solucionar c4 dizemos que n subir igual a zero é igual a vamos colocar 0 aqui então vejamos isso é igual a eni subiu 0 e isso é igual às e quatro vezes é elevado a menos lambida vez 0 bem - qualquer coisa vezes zero é igual a zero então é elevado a 0 isso é igual a um cão c4 é igual a n0 a nossa quantidade inicial de amostra conseguimos obter uma expressão temos um número de partículas ou a quantidade como uma função de t é igual à quantidade inicial no momento é igual a zero vezes é elevado a menos lambida vezes o tempo bom e temos que tomar um pouco de cuidado ao utilizar sempre a constante do tempo ao resolvermos os diferentes coeficientes isso parece muito abstrato como isso se relaciona a meia vida vamos tentar descobrir essa equação para o carbono isso será verdadeiro para tudo onde a decomposição radioativo se colocarmos um sinal positivo aqui seria um crescimento exponencial também sabemos que o carbono c 14 possui uma meia-vida de 5.700 anos a forma como você poderia pensar sobre isso é se no tempo igual a zero você começar com o p então tempo igual a zero ter igual vou escrever isso se em n de zero for igual a podemos escrever sem se quisermos na verdade por que não fazemos isso se n de zero começamos com 100 e depois em n de 5.700 vamos usar te como anos apenas para ser consistente com as unidades quanto nos resta então teremos 50 restantes poderíamos ter escrito x e xi saque e isso tudo daria certo no final vejamos vamos aplicar isso a essa equação e tentar resolver isso para lambida então sabemos que n de zero é igual a 100 então imediatamente sabemos que nós podemos escrever essa equação como ndt igual a 100 elevado a é elevado a menos lambda t pelo menos nessa circunstância exata e também sabemos que n de 5.700 então isso significa n de 5.700 isso é igual a acabamos de dizer é uma meia vida ainda temos a metade do nosso composto e isso é igual a 50 que é igual a uma potência de 5.700 vezes lambida isso é igual a 100 vezes é elevado a menos lambida vezes 5.700 e agora apenas solucionamos lambida depois teremos uma equação geral para a quantidade de carbono que temos um dado momento no tempo se você dividir os dois lados disso por 100 o que temos obtemos 0,5 temos metade é igual a é a um destino escrever isso em menos 5.700 lambida e depois poderíamos pegar o log natural dos dois lados depois obtemos vou descer um pouco o log natural de um meio é igual um lago natural disso é apenas menos 5.700 lambda para solucionar lambida você verá que lambda igual logo natural de um meio sobre menos 5700 então vamos calcular o resultado vamos calcular esse resultado logo é natural de 0,5 igual a isso / menos 5700 5.700 negativo é igual a 1,2 vezes 10 elevado a 4 negativo é igual a 1,21 vezes 10 elevado a menos quatro aí está nós descobrimos o lambda então a equação geral de quanto carbono 14 podemos esperar a qualquer momento no tempo ter onde teen anos é ndt é igual à quantidade de carbono inicial vezes é elevado a menos lambda 1 - lambida é 1,21 vezes 10 elevado a menos quatro vezes tem anos se você quiser saber a quantidade após meio ano você precisa me dizer a quantidade inicial e depois eu posso te dizer a quantidade que terá após meio ano ou após um bilhão de anos ou após um milhão de anos e faremos muitos desses problemas no próximo vídeo até lá