Absorção e emissão

RKA4JL - Nos últimos vídeos, nós falamos sobre o modelo do átomo de Bohr para o átomo de hidrogênio. Nesse modelo, o átomo de hidrogênio possui um próton aqui em seu interior, com uma carga elétrica positiva, e orbitando ao redor desse núcleo atômico, nós temos um elétron com carga negativa. Como vimos, esse elétron está sendo atraído por uma força elétrica, por esse núcleo, e é essa força elétrica que mantém esse elétron aqui em sua órbita. Nós vimos também que esse elétron só pode ocupar certas distâncias em relação a esse núcleo, ou seja, certos raios possíveis. E como vimos no último vídeo, esse elétron, nessa primeira distância, neste primeiro raio, está no nível de energia mais baixo. E como vimos também, nós podemos fazer com que esse elétron sofra uma mudança aqui entre esses níveis de energia, adicionando um certo valor de energia bem específico a esse elétron. Por exemplo, se nós quiséssemos que esse elétron, que ocupa esse nível de energia E1, sofresse uma transição e fosse aqui para esse nível de energia E3, nós teríamos que fornecer uma energia para esse elétron. Esse processo que faz com que esse elétron saia desse nível de energia e vá para o nível de energia mais alto, recebendo energia para realizar esse feito, é chamado de absorção. Ou seja, a absorção é quando o elétron absorve energia e salta para o nível de energia mais elevado. Então, agora a gente já entendeu essa absorção, uma pergunta que eu quero fazer para você: "Será que esse elétron vai ficar nesse nível de energia para sempre?" Não, ele não vai ficar aqui para sempre. Ele vai cair de volta para o seu estado fundamental. Então, por exemplo, vamos utilizar esse segundo diagrama aqui. Esse elétron que se encontra lá no terceiro nível de energia vai voltar para o seu estado fundamental, para o nível de energia E1. Quando esse elétron voltar novamente aqui para o seu estado fundamental, ele vai acabar emitindo um fóton. A gente pode representar um fóton desse jeito aqui. Como esse fóton é uma partícula de luz, nós estamos acostumados a caracterizar essa luz através do seu comprimento de onda. A gente representa esse comprimento de onda aqui através de um lambda (λ). Esse processo que faz com que o fóton seja emitido, ou seja, com que luz seja emitida, quando o elétron retorna para o seu estado fundamental, a gente chama de emissão. E é claro que para realizar esse processo, esse fóton emitido vai possuir uma certa energia, que vai ser a diferença de energia entre esses dois níveis. Por esse motivo, seria interessante aqui a gente encontrar uma forma de relacionar esse comprimento de onda dessa luz, desse fóton emitido, com esses diferentes níveis de energia. Então para começar a fazer isso, a gente vai lembrar que a energia do fóton emitido vai ser igual à diferença de energia entre esses dois níveis, ou seja, a energia lá do terceiro nível menos a energia no primeiro nível. Bem, essa energia do fóton aqui vai ser igual à diferença de energia, certo? Mas a gente também pode determinar a energia desse fóton através do produto entre a constante de Planck e a frequência desse fóton aqui, a frequência dessa luz emitida. Então, a energia do fóton vai ser igual a "h" vezes "ѵ" [ni], onde "h" é a constante de Planck e ѵ é a frequência desse fóton emitido aqui, ou seja, dessa luz emitida nesse processo. Agora nós precisamos fazer com que, de alguma forma nessa relação, apareça esse comprimento de onda aqui. E esse você lembrar também das aulas de física, nós sabemos que a velocidade da luz, já que o fóton emitido aqui é luz, vai ser igual à frequência, ѵ, vezes o comprimento de onda. Como nosso objetivo é fazer com que apareça o comprimento de onda aqui nessa expressão, nós podemos resolver essa expressão aqui para esse ѵ, certo? Então, nós temos aqui que ѵ, que é a frequência da luz, vai ser igual à velocidade da luz dividida pelo comprimento de onda. Agora nós podemos pegar essa parte aqui e substituir aqui em cima. Assim, nós temos que a energia do fóton será igual à constante de Planck, "h", vezes a velocidade da luz sobre o comprimento de onda. E como a energia do fóton é a diferença de energia entre esses dois níveis, basta igualar isso aqui com essa diferença de energia, ou seja, isso aqui vai ser igual a E3 menos E1. Mas vamos fazer o seguinte: vamos criar uma generalização aqui para qualquer nível de energia, não apenas entre E1 e E3? Então vamos fazer o seguinte: esse nível de energia aqui, mais alto, a gente vai chamar de "Ej", e esse nível de energia aqui, mais baixo, nós vamos chamar de "Ei". Então aqui, agora, pode ser uma transição entre qualquer nível de energia em que o Ej vai ser o nível de energia mais alto e Ei vai ser o nível de energia mais baixo. Aqui no nosso exemplo nós utilizamos o E3 e o E1, mas poderia ser uma transição entre qualquer nível: E2 vindo para E1, E3 vindo para E2, e assim sucessivamente. Agora, substituindo essa informação aqui, nós temos que a constante de Planck vezes a velocidade da luz sobre o comprimento de onda vai ser igual à energia no nível mais alto, ou seja, Ej, menos a energia no nível mais baixo, Ei. Então, agora, finalmente encontramos uma relação entre o comprimento de onda e esses níveis de energia. Então vai ser essa expressão aqui que nós vamos utilizar a partir de agora. Agora, para continuar, vamos reescrever essa equação aqui embaixo para a gente ganhar um pouco de espaço. Então, a gente viu que a constante de Planck vezes a velocidade da luz sobre o comprimento de onda é igual à energia no nível mais alto menos a energia no nível mais baixo, ou seja, essa diferença aqui de energia. Agora, como vimos no último vídeo também, essas energias podem ser determinadas em função da energia do primeiro nível. A gente viu, então, que essa energia em um nível "n" qualquer, vai ser igual à energia do primeiro nível sobre "n" elevado ao quadrado, certo? Então, vamos pegar isso aqui e criar essa relação para Ej e E1. Então a gente tem aqui, por exemplo, que o Ej, que é a energia no nível "j", vai ser igual a E1, que é a energia no primeiro nível, dividido por j². E aí a gente pode pegar essa expressão aqui e substituir nesta parte aqui do Ej. E vamos fazer o mesmo agora para o Ei. A gente tem que o Ei vai ser igual à energia no primeiro nível sobre i². Então vamos fazer o mesmo: pegar também essa parte aqui e substituir aqui no Ei. Dessa forma, nós vamos ter que "h" vezes "c" sobre λ vai ser igual a Ej, que é E1 sobre j², (a gente vai colocar essa informação aqui, E1 sobre j²), menos Ei, que é igual a E1 sobre i². Agora, a gente pode colocar esse E1 em evidência e a gente teria algo desta forma: h vezes c sobre λ é igual a E1 vezes (1 sobre j², menos 1 sobre i²). E como nosso objetivo é encontrar uma expressão para esse λ, vamos dividir por "h vezes c" ambos os lados da equação, pois aí a gente consegue isolar esse λ aqui. Então, dividindo por "h vezes c" aqui, nós temos 1 sobre λ e isso aqui vai ser igual a E1 sobre (h vezes c) vezes (1 sobre j², menos 1 sobre i²). Como você viu no último vídeo, nós determinamos esse valor do E1, não foi? Vamos colocar ele aqui. A gente teria que 1 sobre λ vai ser igual a esse valor do E1, a energia no primeiro nível, que é igual a -2,17 vezes 10⁻¹⁸, e isso aqui dividido por (h vezes c) e tudo isso vezes 1 sobre j², menos 1 sobre i². Agora, vamos fazer o seguinte: como esse número aqui é uma constante, "h" é uma constante e "c" é uma constante, nós podemos substituir tudo isso aqui por uma letra "R". Então a gente teria, reescrevendo tudo isso aqui novamente, teríamos isso aqui: 1 sobre λ é igual a -R, já que esse "R" corresponde a toda essa parte aqui da expressão, vezes 1 sobre o j², menos 1 sobre e i². Esse "R" é chamado de constante de Rydberg, e a gente vai ver um pouco mais sobre ele no próximo vídeo. Mas como a gente conhece todos esses valores aqui, nós podemos encontrar o valor dessa constante, não é? Vamos resolver aqui do lado para a gente encontrar esse valor. Esse R vai ser igual a 2,17 vezes 10⁻¹⁸ e isso aqui dividido pela constante de Planck, que é 6,626 vezes 10⁻³⁴ vezes a velocidade da luz no vácuo, que é igual a 2,9979 vezes 10⁸ metros por segundo. Resolvendo isso daqui, toda essa expressão (que eu não vou resolver agora), você vai chegar a um valor muito próximo a 1,097 vezes 10⁷ 1/metro. E essa daqui é a constante de Rydberg. E ela vai ser muito utilizada no próximo vídeo. E é claro que poderíamos até fazer uma substituição dela aqui, certo? Mas não vamos fazer isso aqui agora, não. Deixemos isso para o próximo vídeo. Continuando um pouco mais essa nossa expressão aqui, vamos tentar deixar ela um pouco melhor. Eu vou colocar em evidência o sinal de "menos" aqui. Então, a gente teria 1 sobre λ igual a -R vezes (um sinal de menos aqui)... Como eu coloquei esse sinal de menos aqui na frente, o sinal tem que ser invertido nessas duas expressões, certo? Então, esse "menos" do "1 sobre i²" vai ficar positivo, eu posso colocar ele aqui, 1 sobre i². E esse aqui, que é positivo, vai se tornar negativo. Então, a gente tem -1 sobre j². Por que eu fiz isso? Porque aqui, quando a gente tem uma multiplicação entre dois números negativos, a gente vai ter um número positivo como resultado, não é? Então, como eu tenho -R vezes "menos tudo isso daqui", esse sinal aqui na frente vai se tornar positivo. Então a gente teria algo dessa forma: 1 sobre λ, isso aqui, vai ser igual a R positivo, vezes 1 sobre i², menos 1 sobre o j², onde "i" representa o nível de energia mais baixo e "j", o nível de energia mais alto. Essa é uma equação muito importante e normalmente você a vê com o nome de equação Balmer-Rydberg. E a gente vai saber um pouco mais do porquê desse nome no próximo vídeo e nós chegamos até essa expressão utilizando os pressupostos de Bohr. Essa equação também é muito útil pois explica todo o espectro de emissão do átomo de hidrogênio, e por isso é bom você lembrar que esse comprimento de onda representa o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron cai de volta para o estado de energia mais baixo. E a gente vai ver mais detalhes a respeito disso no próximo vídeo.