Modelo de raios de Bohr (derivação usando física)

RKA6GM - No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, temos 1 próton no núcleo, e esse próton tem carga elétrica positiva, e 1 elétron orbitando ao redor desse núcleo, assim como os planetas orbitam ao redor do Sol. Claro, mesmo que o modelo de Bohr não seja realidade nem o modelo mais atual, ele é útil para entender o conceito de átomo e também é útil para determinar esse raio com o qual o elétron está orbitando ao redor desse núcleo atômico. E é isso que a gente vai ver neste vídeo, a gente vai determinar esse raio. Mas para determinar esse raio, a gente precisa ver alguns detalhes. Mas vamos lá, voltando ao elétron: vamos dizer que esse elétron esteja se movimentando no sentido anti-horário, ok? Então, se esse elétron está se movimentando no sentido anti-horário, ele tem uma velocidade tangencial, uma velocidade tangente a essa circunferência. A gente pode representar isso aqui com um vetor, que é a velocidade desse elétron. E esse elétron também possui uma certa massa "m", então, a gente pode botar que esse elétron possui uma massa "m", e ele está sendo atraído pelo núcleo desse átomo, porque, como a gente sabe, cargas elétricas de sinais opostos se atraem, então essa força seria uma força centrípeta, que é a força elétrica. A força centrípeta é uma força que mantém esse elétron realizando esse movimento circular. Caso não existisse essa força, esse elétron ia fugir pela tangente, ok? E essa força centrípeta ocorre devido à interação entre essas duas cargas aqui, positiva e negativa se atraindo. Essa força elétrica é descrita pela lei de Coulomb, em que a gente tem uma constante, que a gente chama de constante eletrostática (K), multiplicada pela primeira carga (q₁), que a gente pode até dizer que é o próton, pela segunda carga também (q₂), que a gente pode dizer que é o elétron. Tudo isso dividido pela distância entre os dois aqui elevado ao quadrado (r²). Então, a gente pode reescrever essa força elétrica da seguinte forma: então, a gente tem aqui a constante eletrostática (K) vezes a primeira carga (q₁), que neste caso é a carga do próton, e a carga do próton, a gente pode dizer que é a carga elétrica elementar (e), que é a mesma carga do elétron, e a segunda carga (q₂) é a própria carga do elétron, a única diferença é que a carga do elétron é negativa (-e), enquanto que a carga do próton é positiva. Tudo isso dividido pela distância entre os dois elevado ao quadrado (r²). A gente representa essa distância com esse "r”. Aqui, eu coloquei desse jeito, mas é a mesma coisa. E essa força elétrica é essa força centrípeta, que está mantendo esse elétron nessa órbita, e, de acordo com a Segunda Lei de Newton, isso vai ser igual à massa do elétron vezes a aceleração centrípeta neste caso (m vezes a), já que se trata da força centrípeta. Essa força centrípeta gera uma aceleração centrípeta, que também é apontada para o centro dessa circunferência. Agora, como a gente já conhece o sentido da força elétrica, e a gente sabe que essa força vai ser igual à força centrípeta, ou seja, está apontada para o centro, a gente pode simplesmente trabalhar com esses valores em termos positivos. Então, a gente pode simplesmente trabalhar com o módulo dessas cargas aqui. Então, a gente pode até reescrever isso da seguinte forma: K vezes "e", como as duas cargas possuem os mesmos valores, e a gente está trabalhando com o módulo, que vai ser positivo, neste caso, a gente pode simplesmente botar e², que é a carga elétrica elementar, e isso dividido pelo r², pela distância entre a carga positiva e negativa elevado ao quadrado. Isso vai ser igual à massa vezes a aceleração centrípeta (m vezes a), então a gente coloca aqui a massa do elétron (m) vezes a aceleração centrípeta (a). Porém, essa aceleração centrípeta é igual é v², ou seja, a velocidade do elétron, dividido pelo raio (v²/r), então, a gente pode pegar essa informação e colocar aqui: v²/r. Como você pode observar, a gente tem esse r², e esse "r", a gente pode simplesmente anular r² com esse "r", porque aqui eu tenho "r" vezes "r" e aqui apenas o "r". Então, a gente pode reescrever isso, colocando: (K vezes e²) dividido pelo "r", e isso aqui vai ser igual a "m" vezes v², ok? Então vamos deixar isso aqui guardado por enquanto e vamos trabalhar com outro conceito da física clássica agora, que é a ideia do momento angular. O momento angular existe sempre que um corpo está realizando um movimento circular como neste caso. E o momento angular (L), a gente consegue determinar calculando o produto vetorial entre o raio (r), esse movimento aqui, que no caso é essa distância, produto vetorial (x), a gente coloca desse jeito, com o momento linear. Para a gente determinar o momento linear, basta multiplicar a massa do elétron com a velocidade que ele está se movimentando ao longo dessa órbita. O "r" é um vetor que, neste caso, ele tem o sentido apontado do centro para fora, apontado aqui para o elétron e sempre vai estar apontado para o elétron enquanto ele está se movimentando ao longo dessa órbita. Então, para a gente de determinar esse "L", abrindo esse produto vetorial, basta simplesmente multiplicar o "r" e, neste caso, a gente vai pegar o valor escalar dele, com o momento linear, que neste caso é a massa vezes a velocidade do elétron vezes o seno de θ, em que esse θ é o ângulo entre os dois vetores que, neste caso, seria o "r", que é um vetor, e o vetor momento linear. Como o momento linear é determinado pela massa e a velocidade do elétron, e a massa é o escalar, enquanto que a velocidade é o vetor, a gente precisa saber qual é a direção e o sentido dessa velocidade. Como eu já mostrei para vocês, a velocidade tem uma direção tangencial aqui a essa circunferência, e o sentido dele vai estar aqui, desse lado, já que o elétron está se movimentando no sentido anti-horário. Se esse ângulo aqui é o ângulo entre esse vetor "r" e o vetor "v", dá para a gente perceber claramente que é um ângulo de 90°, certo? E o seno de um ângulo de 90° é igual a 1. Então, a gente pode simplesmente substituir esse seno por 1. "L", então, vai ser igual a "r vezes m vezes v vezes o seno de θ", que é igual a 1. Então, a gente pode deixar isso desse jeito. Então esse seria o momento angular do elétron. O que Bohr fez de interessante foi afirmar que o momento angular do elétron tem que ser quantizado, ou seja, que assume apenas números inteiros. Então você poderia colocar aqui 1, 2, 3, 4, não importa. Mas vamos assumir que esse momento angular seria igual ao número inteiro que a gente vai representar com "n" vezes "h", que é a constante de Planck, dividido por 2π. Bohr fez isso para resolver essa equação para a velocidade. É isso que a gente vai fazer. Então, o que a gente vai fazer é resolver essa equação para essa velocidade. A gente pode fazer isso aqui. A velocidade desse elétron vai ser igual a "n", que é o número inteiro qualquer, vezes a constante de Planck (h), dividido por "r" vezes "m" vezes 2π. Ok? Agora, que a gente já conseguiu determinar essa velocidade, a gente pode pegar tudo isso aqui e substituir aqui nessa outra equação. Então vamos fazer isso? A gente tem (K vezes e²) dividido por "r", isso aqui vai ser igual a "m" vezes "v", e "v" vai ser tudo isso aqui, então, a gente pode colocar aqui: (n vezes h sobre r vezes m vezes 2π)². A gente pode ainda abrir esse quadrado e ter algo desse jeito: (K vezes e²) sobre "r", isso é igual à "m" vezes n² vezes h², tudo isso dividido por r² vezes m² vezes 4π². E aqui, se você reparar, a gente consegue simplificar um pouco mais isso também, anulando esse "m" com esse outro m², e esse "r" com esse r² também. Então, a gente teria algo da seguinte forma: K vezes e², isso aqui igual a: (n² vezes h²) dividido por "r" vezes "m" vezes 4π². Agora, como o objetivo desse problema é encontrar esse raio do elétron, a gente vai resolver essa equação para esse "r", e para fazer isso, a gente pode simplesmente multiplicar ambos os lados da equação por "r" sobre (K vezes e²). Então, aqui desse lado também, a gente vai multiplicar "r" sobre (K vezes e²). Isso porque a gente consegue anular esses dois, e também anular esse "r" aqui com esse "r" aqui desse lado. Ok? Então reescrevendo isso, a gente teria algo desse tipo aqui: "r" é igual a n² vezes h², tudo isso dividido por K vezes e² vezes "m" vezes 4π². Então aqui, a gente já consegue determinar agora esse raio da órbita do elétron. E se a gente pegar tudo isso aqui menos o "n", que seriam vários números inteiros, toda essa parte aqui, e trabalhar com eles, a gente teria isso, resolvendo apenas essa parte: "h", que é a constante de Planck, é 6,626 vezes 10⁻³⁴, isso, claro, elevado ao quadrado, que já está aqui. Tudo isso dividido por K, que é a constante eletrostática, que no vácuo tem o valor igual a 9 vezes 10⁹, vezes a carga elétrica elementar, que é igual a (1,6 vezes 10⁻¹⁹)², vezes a massa do elétron, que é igual a 1,11 vezes 10⁻³¹, vezes 4π², a gente coloca aqui: vezes 4π². Eu não vou fazer toda essa conta agora porque é muita matemática para fazer neste vídeo. Mas você pode pegar a calculadora e tentar resolver isso, e você vai chegar a um valor igual a 5,3 vezes 10⁻¹¹, isso, claro, se você também trabalhar com as unidades, vai perceber que vai sobrar apenas 1 m aqui, então você teria 5,3 vezes 10⁻¹¹ m. Então esse raio da órbita desse elétron seria igual a n² vezes (5,3 vezes 10⁻¹¹ m), neste caso. Você vai ver mais adiante que a gente poderia substituir esse "n" por 1, e isso aqui representaria o estado fundamental de um elétron de átomo de hidrogênio. Então, por exemplo, se "n" é igual a 1, a gente teria "r", eu vou botar aqui o índice 1, seria igual a 1² vezes (5,3 vezes 10⁻¹¹) m. Então esse seria o raio da órbita do elétron de seu estado fundamental. Mas vamos voltar aqui em cima para o desenho para eu te mostrar isso um pouco melhor. Esse valor é muito importante porque a gente conseguiu determinar o raio do elétron de um átomo de idrogênio em seu estado fundamental, e a gente chamou, neste caso, esse "r" de r₁. E o mais legal disso tudo é que, quando Bohr quantizou o momento angular, ele conseguiu limitar esse raio aqui desse hidrogênio, ou seja, só poderia assumir certos valores específicos que seriam determinados através dessa expressão aqui. Então, se a gente generalizar essa equação a partir dessa ideia da quantização, a gente tem algo desta forma: rₙ, seria igual, neste caso, ao n² vezes o r₁, e esse r₁ seria esse valor que a gente calculou, e essa expressão seria uma generalização para qualquer estado quântico do elétron, e esse "n" seria um número inteiro que representaria esse estado quântico. Assim, a gente consegue determinar esse raio, pegando esse valor de r₁, que é 5,3 vezes 10⁻¹¹, e multiplicando por 1². Assim, se esse elétron estivesse em seu segundo estado fundamental, bastaria colocar 2², que daria 4 vezes esse r₁ aqui. E isso é muito importante porque significa que apenas certos raios são permitidos, já que, com a quantização do momento angular, você tem um raio muito específico, e a gente vai falar sobre isso no próximo vídeo.