O modelo de mecânica quântica do átomo

Introdução ao modelo mecânico quântico do átomo: pensando em elétrons como ondas de matéria probabilística usando a equação de Schrödinger, o comprimento de onda De Broglie e o princípio da incerteza de Heisenberg. Spin do elétron e o experimento de Stern-Gerlach.

Principais pontos

  • Louis de Broglie propôs que todas as partículas poderiam ser tratadas como ondas com um comprimento de onda λ\lambda, dado pela seguinte equação:
λ=hmv\lambda=\dfrac{h}{mv}
  • Erwin Schrödinger propôs o modelo da mecânica quântica para átomo, que trata os elétrons como ondas.
  • A equação de Schrödinger, H^ψ=Eψ\hat{H}\psi=E\psi, pode ser resolvida para produzir uma série de funções de onda ψ\psi, cada uma delas associada a uma energia de ligação do elétron, EE.
  • O quadrado da função de onda, ψ2\psi^2, representa a probabilidade de se encontrar um elétron em uma determinada região dentro do átomo.
  • Um orbital atômico é definido como a região de um átomo que possui a localização mais provável do elétron em 90% do tempo.
  • O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que não podemos saber ambos, a energia e a posição de um elétron. Portanto, à medida que aprendemos mais sobre a posição do elétron, sabemos menos sobre sua energia e vice-versa.
  • Elétrons têm uma propriedade intrínseca chamada spin e um elétron pode ter um de dois possíveis valores de spin: spin-up ou spin-down.
  • Dois elétrons quaisquer ocupando o mesmo orbital devem possuir spins opostos.

Introdução ao modelo de mecânica quântica

"Devemos ser claros que quando se trata de átomos, a linguagem só pode ser usada como poesia." —Niels Bohr
A matéria começa a se comportar muito estranhamente no nível subatômico. Alguns destes comportamentos são tão contra intuitivos que podemos apenas falar sobre eles com símbolos e metáforas - como na poesia. Por exemplo, o que significa dizer que um elétron se comporta com uma partícula e como uma onda? Ou que um elétron não existe numa localização específica, mas que está espalhado por todo o átomo?
Se estes questionamentos causam estranhamento, é por bom motivo! Ao que parece, estamos em boa companhia. O físico Niels Bohr também disse, "Quem não ficar chocado com a teoria quântica não a entendeu." Então se você se sentiu confuso quando aprendeu mecânica quântica, saiba que os cientistas que originalmente a desenvolveram estavam tão confusos quanto você.
Começaremos revisando brevemente o modelo do átomo de hidrogênio de Bohr, o primeiro modelo não clássico de átomo.

Revisão do modelo de Bohr do hidrogênio

Como já vimos no artigo anterior sobre o modelo de Bohr, os espectros de emissão de diferentes elementos contêm linhas discretas. A imagem a seguir mostra a região visível dos espectros de emissão para o hidrogênio.
Os espectros de emissão quantizados indicaram a Bohr que talvez os elétrons só pudessem existir no interior do átomo em determinados raios e energias atômicas. Lembre que quantizado se refere ao fato de que essa energia só pode ser absorvida e emitida em uma faixa de valores permitidos e não em qualquer valor que seja possível. O diagrama a seguir para o modelo de Bohr mostra a existência do elétron em um número finito de orbitais ou camadas permitidas ao redor do núcleo
A partir deste modelo, Bohr deduziu uma equação que corretamente previu os vários níveis de energia para o átomo de hidrogênio, que correspondia diretamente com as linhas emitidas no espectro do hidrogênio. O modelo de Bohr também teve êxito em prever os níveis de energia de outros sistemas compostos por um elétron, tais como He+\text{He}^+. Entretanto, falhou em explicar a estrutura eletrônica nos átomos que continham mais do que um elétron.
Enquanto alguns físicos inicialmente tentaram adaptar o modelo de Bohr para torná-lo útil para sistemas mais complicados, eles acabaram concluindo que um modelo completamente diferente era necessário.

Dualidade onda-partícula e o comprimento de onda de Broglie

Outro grande desenvolvimento na mecânica quântica foi realizado pelo físico francês Louis de Broglie. Baseado nos trabalhos de Planck e Einstein que mostraram como as ondas de luz podem exibir propriedades de partículas, de Broglie teorizou que partículas podem também ter propriedades de ondas.
De Broglie derivou a seguinte equação para o comprimento de onda de uma partícula de massa m\text m (em kilogramas kg\text{kg}), viajando a uma velocidade v\text v (in ms\dfrac{\text m}{\text s}), na qual λ\lambda é o comprimento de onda em metros de De Broglie e hh é a constante de Planck, que vale 6,626×1034kgm2s6{,}626 \times 10^{-34} \,\dfrac{\text{kg} \cdot \text m^2}{\text s}:
λ=hmv\lambda=\dfrac{h}{\text {mv}}
Note que o comprimento de onda de de Broglie e a massa da partícula são inversamente proporcionais. A relação inversa é porque não podemos notar qualquer comportamento de onda para objetos macroscópicos que encontramos em nosso dia a dia. Acontece que o comportamento de onda da matéria é mais significativo quando uma onda encontra um obstáculo ou fenda que é similar ao tamanho do comprimento de onda de de Broglie. Entretanto, quando uma partícula tem uma massa da ordem de 103110^{-31} kg, como um elétron tem, o comportamento de onda se torna significante o suficiente para gerar fenômenos muito interessantes.
Verificação de conceito: O arremesso de beisebol mais rápido já registrado foi de aproximadamente 46,7ms46{,}7\,\dfrac{\text{m}}{\text s} . Se uma bola de beisebol tem uma massa de 0,145 kg0{,}145\text{ kg}, qual é o seu comprimento de onda de de Broglie?

Exemplo 1: Calculando o comprimento de onda de de Broglie para um elétron

A velocidade de um elétron no estado padrão de energia de um átomo de hidrogênio é de 2,2×106ms2,2\times10^6\,\dfrac{\text{m}}{\text s}. Se a massa de um elétron é de 9,1×10319,1\times10^{-31} kg, qual é o comprimento de onda de de Broglie para este elétron?
Podemos substituir a constante de Planck, a massa e a velocidade do elétron na equação de de Broglie:
O comprimento de onda de nosso elétron, 3,3×1010m3{,}3\times10^{-10}\,\text{m}, está na mesma ordem de grandeza do diâmetro de um átomo de hidrogênio, ~1×1010m1\times 10 ^ {-10}\, \text m. Isso significa que o comprimento de onda de de Broglie do nosso elétron é tal que, muitas vezes ele encontrará alguma coisa com um tamanho similar ao seu comprimento de onda, como por exemplo um nêutron ou um átomo. Quando isso acontece, o elétron provavelmente demonstrará comportamento de onda!

O modelo de mecânica quântica do átomo

Ondas Estacionárias

Um grande problema com o modelo de Bohr foi que este tratava elétrons como partículas que existiam em órbitas precisamente definidas. Baseado na ideia de de Broglie, que partículas poderiam exibir um comportamento de onda, o físico austríaco Erwin Schrödinger teorizou que o comportamento dos elétrons dentro de átomos poderia ser explicado ao tratá-los matematicamente como ondas de matéria. Este modelo, que é a base do entendimento moderno do átomo, é conhecido como o mecânica quântica ou modelo ondulatório.
O fato de que existem apenas determinados estados ou energias admissíveis que um elétron pode ter em um átomo é semelhante a uma onda estacionária. Discutiremos brevemente algumas das propriedades de ondas estacionárias para obter uma melhor intuição sobre elétrons e ondas de matéria.
Você provavelmente já está familiarizado com ondas estacionárias de instrumentos musicais de cordas. Por exemplo, quando uma seqüência de notas é obtida numa guitarra, a seqüência de notas vibra em forma de uma onda estacionária, como o mostrado abaixo.
Note que há pontos onde o deslocamento é zero, ou nós, que ocorre ao longo da onda estacionária. Os nós estão marcados com pontos vermelhos. Uma vez que a corda na animação está fixada nas extremidades, isto gera uma limitação que apenas certos comprimentos de onda são permitidos para uma onda estacionária. Como tal, as vibrações são quantizadas.

Equação de Schrödinger

Talvez você esteja se perguntando, como as ondas estacionárias estão relacionadas aos elétrons em um átomo?
Em um nível muito simples, podemos pensar em elétrons como ondas estacionárias de matéria que têm certas energias permitidas. Schrödinger formulou um modelo do átomo que considerava que os elétrons poderiam ser tratados como ondas de matéria. Como não vamos tratar de matemática neste artigo, a forma básica da equação de onda de Schrödinger é a seguinte:
H^ψ=Eψ\hat{H}\psi=E\psi
ψ\psi é chamado de função de onda; H^\hat{H} é conhecido como operador de Hamilton; e EE é a energia de ligação do elétron. Resolvendo a equação de Schrödinger obtemos várias funções de ondas como soluções, cada uma com um valor permitido para EE.
Interpretar exatamente o que as funções de onda nos diz é um pouco complicado. Devido ao princípio da incerteza de Heisenberg, é impossível saber, para um determinado elétron, tanto sua posição quanto sua energia. Uma vez que saber a energia de um elétron é necessário para prever a reatividade química de um átomo, cientistas geralmente aceitam que podemos apenas saber aproximadamente a localização do elétron.
Como químicos sabem aproximadamente a localização de um elétron? As funções de onda que foram deduzidas pela equação de Schrödinger para um átomo específico são também chamadas de orbitais atômicos. Químicos definem um orbital atômico como a região de um átomo na qual a probabilidade de se encontrar um elétron é máxima em 90% do tempo. Na próxima seção, discutiremos como probabilidades eletrônicas são determinadas.

Orbitais e densidade de probabilidade

O valor da função de onda ψ\psi em um dado ponto no espaço — x,y,zx, y, z — é proporcional à amplitude da onda elétron- matéria naquele ponto. No entanto, muitas funções de onda são complexas, contendo i=1i=\sqrt{-1}, e a amplitude da onda de matérias não possui significado físico.
Felizmente, o quadrado da função de onda, ψ2\psi^2, é um pouco mais útil. Isso ocorre porque o quadrado de uma função de onda é proporcional à probabilidade de encontrar um elétron em um determinado volume do espaço dentro de um átomo. A função ψ2\psi^2 é muitas vezes chamada de probabilidade de densidade.
A densidade de probabilidade para um elétron pode ser visualizada numa variedade de formas. Por exemplo, ψ2\psi^2 pode ser representada por um gráfico no qual a variação da intensidade da cor é usada para mostrar as probabilidades relativas de se encontrar um elétron numa dada região do espaço. Quanto maior a probabilidade de encontrar um elétron em um determinado volume, maior é a densidade da cor naquela região. A imagem abaixo mostra as distribuições de probabilidades para os orbitais esféricos 1s, 2s e 3s.
Note que os orbitais 2s e 3s contém nós—regiões nas quais um elétron possui uma probabilidade de 0% de ser encontrado. A existência de nós é análoga às ondas estacionárias discutidas previamenteem outra seção. As cores alternadas nos orbitais 2s e 3s representam regiões dos orbitais com diferentes fases, o que é uma importante consideração em ligações químicas.
Outra maneira de imaginar as probabilidades de elétrons em orbitais é traçando a densidade da superfície como uma função da distância do núcleo, rr.
A densidade de superfície é a probabilidade de se encontrar um elétron numa casca esférica fina de raio rr. Este é um gráfico chamado de probabilidade radial. À esquerda temos um gráfico de probabilidade radial para os orbitais 1s1\text{s}, 2s2\text{s}, e 3s3\text{s}. Note que conforme o nível de energia dos orbitais aumenta de 1s1\text{s} para 2s2\text{s} para 3s3\text{s}, a probabilidade de se encontrar um elétron a uma distância maior do núcleo também aumenta.

Geometria dos orbitais atômicos

Até agora temos examinado orbitais s, que são esféricos. Como tal, a distância do núcleo, rr, é o principal fator que afeta a distribuição de probabilidade de um elétron. No entanto, para outros tipos de orbitais, tais como os orbitais p, d e f, a posição angular do elétron em relação ao núcleo também se torna um fator na probabilidade da densidade. Isso leva a formas de orbitais mais interessantes, tais como as na imagem a seguir.
Os orbitais p têm a forma de halteres que são orientados ao longo de um dos eixos—x,y,zx, y, z. Os orbitais d podem ser descritos como tendo uma forma de trevo com quatro orientações possíveis—com excepção do orbital d que quase se parece com um orbital p com uma rosca indo pelo meio. Não vale a pena nem tentar descrever os orbitais f!

Rotação do elétron: O experimento de Stern-Gerlach

O último fenômeno quântico que discutiremos é o da rotação do elétron. Em 1922, os físicos alemães Otto Stern e Walther Gerlach formularam a hipótese de que os elétrons se comportava como barras magnéticas minúsculas, cada uma com um polo norte e Sul. Para testar esta teoria, eles dispararam um feixe de átomos de prata entre os polos de um ímã permanente com um polo norte mais forte do que o polo sul.
De acordo com a física clássica, a orientação de um dipolo em um campo magnético externo deve determinar a direção em que o feixe é desviado. Uma vez que uma barra de ímã pode ter uma gama de orientações em relação ao campo magnético externo, eles esperariam ver átomos serem desviados por quantidades diferentes para uma dada distribuição espalhada. Em vez disso, Stern e Gerlach observaram que os átomos foram divididos de forma clara entre os polos norte e Sul. Assista o seguinte incrível vídeo para ver a hipótese e o experimento em ação!
Estes resultados experimentais revelaram que, ao contrário de barra de ímãs comuns, os elétrons poderiam exibir somente duas orientações possíveis: a favor do campo magnético ou contra ele. Este fenômeno, no qual elétrons podem existir em apenas um dos dois estados magnéticos possíveis, não poderia ser explicado usando a física clássica! Os cientistas se referem a esta propriedade do elétrons como rotação do elétron: qualquer determinado elétron apresenta spin para cima ou spin para baixo. Às vezes representamos o spin do elétron desenhando os elétrons como setas apontando para cima, \uparrow, ou para baixo, \downarrow.
Uma conseqüência do spin do elétron é que um máximo de 22 elétrons podem ocupar qualquer orbital, e os 22 elétrons ocupando o mesmo orbital possuem spins oposto. Isso também é chamado o princípio de exclusão de Pauli.

Resumo

  • Louis de Broglie propôs que todas as partículas poderiam ser tratadas como ondas com um comprimento de onda λ\lambda dada pela seguinte equação:
λ=hmv\lambda=\dfrac{h}{mv}
  • Erwin Schrödinger propôs o modelo da mecânica quântica para átomo, que trata os elétrons como ondas.
  • A equação de Schrödinger, H^ψ=Eψ\hat{H}\psi=E\psi, pode ser resolvida para produzir uma série de funções de onda ψ\psi, cada uma delas associada a uma energia de ligação do elétron, EE.
  • O quadrado da função de onda, ψ2\psi^2, representa a probabilidade de se encontrar um elétron em uma determinada região dentro do átomo.
  • Um orbital atômico é definido como a região de um átomo que possui a localização mais provável do elétron em 90% do tempo.
  • O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que não podemos saber ambos, a energia e a posição de um elétron. Portanto, à medida que aprendemos mais sobre a posição do elétron, sabemos menos sobre sua energia e vice-versa.
  • Elétrons têm uma propriedade intrínseca chamada de rotação, e um elétron pode ter um dos dois valores possíveis de rotação: rotação para cima ou rotação para baixo.
  • Dois elétrons quaisquer ocupando o mesmo orbital devem possuir spins opostos.
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