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Biblioteca de Física
Curso: Biblioteca de Física > Unidade 16
Lição 4: Adição de velocidade de Einstein- Transformação de Lorentz para mudança em coordenadas
- Derivação de Einstein para a fórmula da adição da velocidade vetorial
- Aplicando a adição de velocidade vetorial de Einstein
- Encontrando um sistema de referência intermediário
- Calculando a velocidade vetorial neutra
- Dilatação do tempo
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Calculando a velocidade vetorial neutra
Vamos agora fazer as contas para calcular a velocidade igual a que A e B poderiam estar viajando para longe de um observador "neutro".
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Transcrição de vídeo
RKA1C Esta tela é a mesma do vídeo anterior,
eu só reorganizei um pouco para continuarmos. Assim, agora nós podemos fazer
os cálculos e resolver o v. Vamos primeiro simplificar
o lado direito desta equação: v menos -v, será 2v. E 1 menos -v²... Bom, negativo com negativo fica positivo,
então essa parte aqui do denominador será: 1 mais v² sobre c². Vejamos o que podemos fazer em seguida. Nós queremos resolver o v,
então, nós podemos multiplicar ambos os lados dessa equação
por 1 mais v² sobre c², neste lado aqui e também neste lado aqui. 1 mais v² sobre c². Bom, esta expressão aqui é igual a esta expressão, então as duas podem ser eliminadas. E, no lado esquerdo, nós podemos distribuir o 0,8c. Nós ficaremos com: 0,8c vezes 1, que é 0,8c,
mais 0,8c vezes v² sobre c², este c aqui pode ser simplificado
com um desses no denominador. Então, ficaremos com:
0,8c mais 0,8v² sobre c. Isso é igual ao que sobrou
do lado de cá, que é 2v. Lembrem-se: nós queremos resolver o v. Então, estamos basicamente
montando uma quadrática em v. Vamos encontrar algum espaço aqui em cima, vamos direto para cá. Continuando nossos cálculos, vamos subtrair 2v de ambos os lados da equação. Escrevendo em ordem de grau, ou seja, da variável com maior expoente
para a variável de menor expoente, do lado esquerdo da equação,
nós temos: 0,8v² (porque é a variável de maior expoente), sobre c, menos 2v (porque estamos subtraindo 2v
dos dois lados da equação), mais 0,8c, igual a 0. Por que zero? Porque 2v, que sobrou
do lado direito da equação, menos 2v, que é o que estamos
subtraindo de cada lado, dá zero. E, se nós quisermos simplificar um pouco, podemos multiplicar ambos os lados por c. Então, isto aqui tudo, nós podemos multiplicar por c, isto aqui também podemos
multiplicar por c, e vamos ter: 0,8v² (porque esses dois c
podem ser simplificados), menos 2vc mais 0,8c², igual a 0. E nós podemos continuar
a manipular isso algebricamente ou podemos ir direto para a fórmula
quadrática aqui, para resolver v. Esta fórmula é chamada "fórmula de Bhaskara" e não é o ponto principal da nossa aula, mas vou escrevê-la para que vocês
possam acompanhar o raciocínio. Vou fazer isso em uma cor diferente. A fórmula de Bhaskara nos mostra que
a equação do segundo grau, que é o que temos aqui... Vamos apresentá-la da forma tradicional:
"ax² + bc + c = 0". Notem como é semelhante essa equação do segundo grau com a nossa equação do segundo grau. Então, também podemos determinar
que esse 0,8 vai ser o nosso a, o -2c vai ser o nosso b, e o 0,8c² vai ser o nosso c. Então, essa equação do segundo grau pode ser resolvida através do método Bhaskara e com a seguinte fórmula: x é igual a: -b mais e menos raiz quadrada de b² menos 4ac, tudo isso sobre 2a. Agora, nós vamos simplesmente
substituir nessa fórmula as variáveis que já conhecemos. Vamos colocar o quadro um pouco
para cima para termos mais espaço. Então, o x é o nosso v,
é aquilo que nós queremos saber. O v é igual a: -b, que é o nosso -2c...
Menos com menos, positivo. Então, fica 2c mais e menos a raiz quadrada de b²: -2c² menos 4, vezes 0,8 vezes 0,8c². Tudo isso sobre 2a,
que é 2 vezes 0,8. É só acompanhar as letras e o que nós determinamos aqui em cima, e fazer as substituições. Então, continuando a conta, v é igual a:
2c mais e menos... Raiz quadrada de -2c², dá 4c², menos... 4c² vezes 0,8 vezes 0,8,
dá -4c², vezes 0,64, tudo isso sobre 1,6. O v é igual a: 2c mais e menos raiz quadrada de 4c² vezes 1 menos 0,64
(porque nós fatoramos o 4c²), sobre 1,6. E agora tudo passa a ser álgebra! O v é igual a: 2c mais e menos 2c (se eu tirar o 4c² do radical, será igual a 2c) vezes raiz quadrada de 0,36,
sobre 1,6. Já vamos deixar anotado do lado:
a raiz quadrada de 0,36 é 0,60. Vamos colocar o quadro
um pouco mais para cima e teremos v é igual a: 2c mais e menos 1,2c
(porque 2 vezes 0,60 é 1,2), sobre 1,6. Agora as coisas estão ficando bem mais simples! Então, nós temos dois possíveis valores para v, um fazendo a adição nesta parte superior,
e outro fazendo a subtração. Mas, se nós fizermos a adição aqui em cima, nós vamos acabar com 3,2c dividido por 1,6, o que será uma velocidade maior do que a da luz. Podemos eliminar a versão positiva disso, pois sabemos que a resposta vai ser a versão negativa. Então, é v igual a: 2c menos 1,2c sobre 1,6. Isso vai ser igual a: 0,8c sobre 1,6. Como 0,8 é a metade de 1,6,
isso vai dar 0,5. O v é igual a 0,5c,
e isso é muito, muito legal! Nós conseguimos encontrar um ponto de referência que você pode imaginar que está bem no meio. O que nós sabemos agora? Bem, vamos colocar o nosso quadro inicial de volta. Nós sabemos que A, do ponto de referência de A, ele parece que está parado. O amigo de A,
que é B, está se movendo com uma velocidade relativa de 0,8c
da velocidade da luz. Poderia haver uma terceira parte, C, que define um ponto de referência
que está se distanciando de A com a velocidade de metade
da velocidade da luz. Então, esse v aqui seria 0,5c. E, do ponto de referência de A, parece que a velocidade de C está
mais próxima da de B que da de A. Mas estamos lidando com
o mundo relativista de Einstein! Se olharmos a partir do ponto de referência de C, parece que ambos A e B se afastam de C
com uma velocidade de 0,5c. Então, B estaria com uma velocidade
que podemos entender como 0,5c positivo. Então, 0,5c. E, aqui no A, você poderia dizer
que a velocidade é de 0,5c negativo, então -0,5c. Agora, o que é verdadeiramente legal
é que somos capazes de encontrar um quadro de referência que você
poderia imaginar que está bem no meio. Algumas pessoas não gostam dos
diagramas de espaço-tempo de Minkowski porque parece assimétrico: apesar de B estar se movendo
do ponto de referência do A com uma velocidade positiva de 0,8c
da velocidade da luz, se você analisar através do ponto de referência de B, A é que está se movendo para a esquerda
com uma velocidade de 0,8c. Mas agora nós podemos definir
um ponto de referência neutro, onde ambos estão se movendo em direções diferentes com a mesma velocidade,
o que faz com que a interpretação do diagrama espaço-tempo de Minkowski
se torne um pouco mais fácil, nós vamos fazer isso em vídeos futuros... Esse foi um problema e um desafio
divertidos de se resolver! Continuem treinando.
Encontro vocês no próximo vídeo!