Dilatação do tempo

RKA2MP - Neste vídeo, vamos rever algumas coisas que vimos em outros vídeos, especialmente no último vídeo, onde tentamos encontrar um sistema de referencial neutro. Para pensar nisso, vamos dizer que estamos na nave espacial A e que estamos em um referencial inercial. Vamos dizer que em um certo tempo, igual a zero no nosso referencial, uma nave espacial B esteja exatamente onde estamos, mas ela está viajando em uma direção horizontal e com sentido positivo, ou seja, no eixo "x" positivo. E ela está viajando a 8/10 da velocidade da luz, uma velocidade consideravelmente alta. Nós já vimos que podemos sobrepor os diagramas de espaço-tempo para cada um desses sistemas de referenciais. Se fizermos isso, temos dois eixos no referencial, sendo que, no eixo "x", temos o espaço e, no eixo "y", temos ct: a velocidade da luz vezes o tempo. Ou seja, podemos dizer relacionamos este eixo à passagem do tempo. Assim, utilizando este diagrama, fica mais fácil realizar a mudança de um referencial para o outro. Aqui nós temos o referencial de A e podemos, também, colocar o referencial de B. E a gente pode perceber que, neste referencial de B, teremos estes eixos inclinados, desta forma. E, assim, nós podemos olhar para o intervalo de tempo em ambos os referenciais. Por exemplo, se fôssemos comparar um evento que ocorre quando B passa por nós até um pequeno tempo depois, ou seja, um Δct depois (inclusive, a gente pode até colocar aqui um Δct depois, no quadro de referenciais), estes dois eventos estão acontecendo exatamente no mesmo lugar. Porém, eles estão separados pelo tempo. Mas e se nós quiséssemos saber o intervalo de tempo, ou a duração desse evento no referencial B? Já vimos em vídeos anteriores que basta traçar uma reta paralela ao eixo "x" para encontrarmos isso. Assim, a gente pode traçar uma reta paralela ao eixo x', que é o referencial de B, vamos fazer isso aqui, até realizarmos uma intersecção com ct', que é o referencial de B. Então, esta é a variação no ct, enquanto que esta aqui é a variação Δct'. Eu sei que isto parece um pouco distante um do outro, um é bem maior do que o outro, não é? Mas a gente tem que lembrar que não há uma escala aqui. Na verdade, as escalas mudam, dependendo das velocidades relativas. Mas a gente pode até verificar algebricamente que a variação, o Δct', realmente é maior que o Δct. E, para fazer isso, nós podemos utilizar as transformações de Lorentz. Vamos fazer isso aqui em cima. De acordo com o que vimos nos vídeos anteriores, a variação Δct' será igual ao fator de Lorentz (γ), vezes Δct, menos β vezes Δx. A gente já viu isto várias vezes nos vídeos anteriores. A gente sabe que a variação Δx será igual a zero. Isso porque os dois eventos ocorrem exatamente no mesmo lugar. A gente pode, inclusive, dizer que isto é igual a zero. Então, a gente tem apenas que o Δct' será igual ao fator de Lorentz vezes Δct. O fator de Lorentz aqui será maior que 1 e a gente pode até calcular isto. Vamos lá. O fator de Lorentz, a gente já viu, que a gente representa pela letra gama (γ), será igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos a velocidade relativa de sobre "c", isto elevado ao quadrado. Podemos fazer as devidas substituições agora. Teremos que o fator de Lorentz será igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos... A velocidade relativa de B é igual a 0,8c (8/10 da velocidade da luz). Sobre "c" elevado ao quadrado. A gente pode até ver o que já pode simplificar aqui. Por exemplo, a gente pode cortar este "c" com este "c". Assim, nós temos que o fator de Lorentz é igual a 1, sobre a raiz quadrada de 1 menos... 0,8² ao quadrado é 0,64. Então, isto vai ser igual a 1 sobre a raiz quadrada... 1 - 0,64 = 0,36. E a raiz quadrada de 0,36 é 0,6. Temos 1 sobre 0,6, que é a mesma coisa que 1 sobre 6/10. E isto é a mesma coisa que 10/6, que é a mesma coisa que 5/3, que é a mesma coisa que 1 e 2/3. Então, chegamos à conclusão que Δct' vai ser igual a 1 e 2/3 de Δct, ou seja, ele vai ser maior do que este aqui. E a gente percebe logo de cara, observando isto, em que este Δct' realmente é 1 e 2/3 de Δct. Mas você não pode vir e medir diretamente isto, porque, como eu falei, isto aqui não tem uma escala. Isto é apenas para a gente visualizar que este Δct' realmente vai ser maior que Δct. Mas vamos observar agora uma outra situação. Vamos imaginar um caso diferente. Vamos visualizar uma outra situação agora. Vamos imaginar um Δct' exatamente entre onde as espaçonaves se encontram e um pouco tempo depois. Podemos fazer isso aqui agora. Aqui teremos esse Δct'. Isto é um evento diferente do anterior. E, por esse motivo, agora nós vamos partir, vamos observar inicialmente o referencial de B, e não de A, como a gente fez antes. E esta é a variação Δct' neste referencial de B. Mas qual será essa variação Δct em nosso referencial, ou seja, no referencial de A? A gente pode fazer exatamente a mesma coisa que antes: traçar uma reta paralela ao eixo "x", mas agora no nosso referencial, até atingir a interseção com ct, deste jeito. Aqui nós temos o Δct' e, aqui, temos o Δct. E, mais uma vez, podemos resolver isso algebricamente, utilizando o mesmo processo que vimos anteriormente. Vamos ter aqui um Δct, que vai se igual ao fator de Lorentz, vezes Δct' (agora é linha) menos β vezes Δx' (e o "x" é linha, novamente). Agora observe bem isto. Se a gente tivesse uma variação em Δx, tudo isto seria negativo, pois a velocidade, neste caso, é negativa, porque a gente está observando do outro referencial. Mas Δx', do ponto de vista de B, é zero, já que estes dois eventos estão acontecendo exatamente no mesmo lugar. Então, podemos dizer, também, que isto vale zero. Nós temos apenas um Δct, que é igual ao fator de Lorentz, vezes Δct'. E este será o mesmo γ que vimos antes, já que os valores calculados são os mesmos, a velocidade relativa continua sendo 8/10 da velocidade da luz. Mas a velocidade é negativa. Por que o γ não poderia ser negativo agora? Na verdade, quando a gente usa a velocidade aqui, ela está elevada ao quadrado. Então, não importa se ela é positiva ou negativa. Este fator continua sendo positivo. Por isso que teremos o mesmo valor de γ aqui. Então, este Δct, calculado, vai ser 1 e 2/3 de Δct'. Nas isso parece um pouco estranho, não é? Nós sabemos que o intervalo de tempo é diferente no referencial onde ele se encontra. Também sabemos que isso parece ser algo fixo neste caso. Dois eventos que parecem estar acontecendo no mesmo local, mas um após o outro. Parece que leva mais tempo para aquele evento acontecer no Δct', mas aqui parece que leva mais tempo para ele acontecer no Δct. Se a gente vai fixar um referencial, o outro referencial realmente vai estar separado por um Δct' neste caso . Porém, se a gente fixar o referencial ct', o referencial de B, é o Δct vai ser maior que o Δct'. E isso realmente parece um fenômeno bem bizarro, não é? Para a gente entender e visualizar isso um pouco melhor, vamos utilizar um outro referencial, uma espécie de um referencial neutro, assim como fizemos no último vídeo. Como não sei se você viu o último vídeo, nós podemos apenas dizer o seguinte: que, se A e B estão viajando com uma velocidade relativa de 0,8 vezes a velocidade da luz, um em relação ao outro, B está viajando em relação a A a 0,8c no sentido positivo de "x", ou A está viajando a 0,8c no sentido negativo de "x", relativamente a B. Sabendo disso, você pode encontrar um sistema de referencial em que A e B estão nesse sistema para um observador em repouso nesse sistema. Seria uma espécie de referencial absoluto para estudar o movimento de A e de B. Assim, A e B estão viajando, ambos para fora, com a metade da velocidade da luz. Nós já falamos bastante sobre isso no último vídeo, então, eu até te aconselho a assistir esse vídeo. E o interessante sobre isso é que, se você fizer um diagrama bem parecido com o diagrama de Minkowski, nesse referencial neutro, o ct e o ct', ou seja, o sistema de referencial de A e B, estarão igualmente inclinados, tanto para a esquerda quanto para a direita. Dessa forma, a dilatação relativa para o restante deste sistema terá a mesma escala. Nós poderemos colocar ambos na mesma escala e aí, a gente pode perceber que este sistema de referencial neutro, este ct'', vai estar entre os dois referenciais, tanto de A quanto de B. E é nesse referencial que estamos desenhando o tempo, ou estamos desenhando os dois eixos perpendiculares um ao outro desta forma, este para cá e este para cá. Agora, neste sistema de referencial neutro, se você estiver olhando para os dois eventos que acabamos de ver anteriormente, se você olhar para este primeiro evento, em que nós temos um Δct, quando você traçar uma reta paralela ao eixo x', nós teremos aqui o Δct'. Agora, quando estiver olhando do referencial ct', nós teremos um Δct' traçando uma reta paralela ao eixo "x", deste jeito, nós teremos aqui o Δct. Da perspectiva do eixo A, a gente segue paralelo ao eixo x, e não ao eixo x' como a gente fez anteriormente. Uma coisa interessante é que, se a gente observar do referencial de A, este evento em laranja ocorre antes que o evento em azul. Agora, se você olhar do referencial de B, este evento em azul ocorre antes que o evento em laranja. E é isso que eu acho muito interessante sobre este referencial neutro, já que os sistemas de referenciais, tanto de A quanto de B, terão a mesma escala, mesmo que ambos estejam igualmente inclinados, um para a esquerda e outro para a direita, se estivermos pensando sobre o eixo do tempo. Este tipo de diagrama é chamado de diagrama de Loedel. O diagrama de Loedel é, na verdade, uma variação do diagrama de Minkowski, mas ele nos permite visualizar a simetria entre estes dois sistemas de referenciais. Espero que você tenha gostado deste vídeo e te espero no próximo vídeo!