If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:8:01

Manipulando algebricamente a transformação de Lorentz

Transcrição de vídeo

RKA1C O que pretendo com este vídeo é tornar algebricamente mais familiar a transformação de Lorentz. Nós podemos reconhecê-la em suas diferentes formas e construir uma ideia intuitiva de como ela se comporta. Vamos escrever aqui a transformação de Lorentz da forma como eu normalmente prefiro escrevê-la. Estou flutuando no espaço e tenho o meu referencial. Digamos que esse referencial se chama S, e nesse sistema eu tenho minhas coordenadas (x, ct), e a transformação de Lorentz vai permitir transformar as minhas coordenadas, do meu sistema de referência, para as coordenadas do referencial da minha amiga. Digamos que o sistema de referência dela é S' cujas coordenadas seriam (x', ct'). Eu já escrevi a transformação de Lorentz em vídeos anteriores, mas agora vamos fazer algumas manipulações algébricas e ver como ela aparece em diferentes formas. A coordenada x' é obtida multiplicando o fator de Lorentz, gama (Γ), por x menos β vezes ct. Em seguida, relembraremos o que é esse β. Vamos lembrar que o fator de Lorentz é Γ igual a: 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos v² sobre c². O v é a velocidade da minha amiga no meu referencial. Tudo isso é igual a 1 sobre a raiz de 1 menos β², sendo que o β é nada mais, nada menos que v sobre c. Então, para obter a coordenada x', precisamos do fator de Lorentz, que depende de v e, naturalmente, desse outro pedaço, que depende de x e de ct. E como vamos fazer para obter o ct'? O ct' é igual ao fator de Lorentz, que multiplica... Agora, vamos nos lembrar daquela simetria sobre a qual falamos no vídeo anterior. Temos, então, ct menos β multiplicando x, observe a simetria entre o cálculo de x' e o de ct'. Gosto de escrever dessa forma porque é bem fácil de lembrar, por causa da simetria. Quando estou querendo obter o x', dentro dos parênteses, tenho x - β multiplicando o ct. Quando quero obter o ct', temos o contrário, temos, nos parênteses, o ct menos β multiplicando o x. Claro, nos dois casos, estou multiplicando pelo fator de Lorentz. Vamos manipular algebricamente um pouco mais isto aqui, o que vai inclusive ajudar você a comparar e relacionar o que temos aqui com o que você encontra em outras fontes de estudo, por exemplo, no seu livro-texto. Sabemos que β é igual a v sobre c aqui e aqui também. Evidentemente, podemos cancelar aqui o c com o c e vamos ter x' igual Γ, que é o fator de Lorentz, multiplicando x menos vt. Isso tem um ponto interessante aqui porque, se o Γ for exatamente 1, o que nós temos aqui é essencialmente a transformação de Galileu, que é justamente o que a intuição e o nosso dia a dia nos permitem observar imediatamente. Quando vemos aqui o x', calculado desta forma, estamos percebendo a transformação de Galileu multiplicada pelo fator de Lorentz, que tem um comportamento interessante. Se o v é muito menor que a velocidade da luz, então todo esse fator vai ser muito próximo de 1 e vai nos dar o que já tínhamos a respeito da transformação de Galileu, que funciona para as velocidades do dia a dia. Por outro lado, se v se aproxima da velocidade da luz, Γ aumenta consideravelmente, e vamos obter um resultado diferente do que a transformação de Galileu nos daria. Vamos pensar agora no ct'. Vou dividir os dois lados por c e deixar o t' isolado, ou seja, vamos olhar para o tempo, que nos dá uma ideia mais intuitiva, e é relativa a ele que muitas vezes nós observamos o movimento. Dividindo, então, os dois lados por c, cancelamos aqui, cancelamos aqui também e vamos ter t' igual a: fator de Lorentz, t menos... Vamos ter aqui v vezes x, dividido por c vezes c, que é c². Então, vx sobre c². Estas são formas mais típicas de se ver a transformação de Lorentz. Eu não simpatizo muito com esta representação porque, embora para o cálculo de x' tenhamos nos parênteses simplesmente a transformação de Galileu, entre x' e t' já não existe a mesma simetria que nós observávamos antes. É importante que você perceba a simetria, já que estamos falando de espaço-tempo não separadamente, independentemente, "espaço" e "tempo". Vimos também no diagrama de Minkowski que os ângulos formados entre os eixos dos referenciais também são simétricos. Resumindo, não gosto muito dessa representação porque você não pode ver nela a simetria e, claro, é uma maneira mais difícil de lembrar essa relação. Acho a primeira mais fácil, mas vamos ver o que acontece aqui quando v é uma fração muito pequena da velocidade da luz. Neste caso, o fator de Lorentz vai ser um valor muito próximo de 1, e este outro termo aqui, vx sobre c², vai ser um valor muito próximo de zero. Então, escrevendo aqui, se o v é muito menor que o c, o t' vai ser aproximadamente... Lembrando que o Γ, fator de Lorentz, vai ser muito próximo de 1 e que este termo, vx sobre c², vai ser muito próximo de zero, então, toda esta parte vai ficar próxima de t, ou seja, t' vai ser aproximadamente t. Do mesmo jeito aqui para a x', se v é muito menor que o c, o Γ, fator de Lorentz, vai se aproximar de 1 de novo, e x' vai ser aproximadamente igual a x - vt, que é a transformação de Galileu. Então, para velocidades muito menores que a da luz, como a velocidade de uma bala, a velocidade até mesmo de uma nave espacial, o que nós obtivemos aqui nos leva a conclusão de que as transformações de Galileu são aproximações perfeitamente cabíveis. Espero que esta manipulação algébrica tenha dado a você alguma intuição. Experimente você calcular o fator de Lorentz para v com valores de velocidades do dia a dia. Depois, tente experimentar quando v se aproxima, por exemplo, a 0,8 vezes a velocidade da luz... 0,9c, 0,99c. Pense no que acontece com o fator de Lorentz! Espero que você aprecie e veja o que acontece, como isso tudo se comporta. Até o próximo vídeo!