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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 16
Lição 3: Transformação de Lorentz- Introdução à transformação de Lorentz
- Avaliando uma transformação de Lorentz
- Manipulando algebricamente a transformação de Lorentz
- Derivação da transformação de Lorentz parte 1
- Derivação da transformação de Lorentz parte 2
- Derivação da transformação de Lorentz parte 3
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Manipulando algebricamente a transformação de Lorentz
As maneiras pelas quais nós introduzimos as transformações de Lorentz são são muito boas pois mostram a simetria dos dois eixos do espaço-tempo. Mas existem outras representações: algumas são mais comuns no uso prático, enquanto outras revelam semelhanças interessantes com a mecânica clássica!
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Transcrição de vídeo
RKA1C O que pretendo com este vídeo
é tornar algebricamente mais familiar a transformação de Lorentz. Nós podemos reconhecê-la
em suas diferentes formas e construir uma ideia intuitiva
de como ela se comporta. Vamos escrever aqui a transformação de Lorentz da forma como eu normalmente
prefiro escrevê-la. Estou flutuando no espaço e tenho o meu referencial. Digamos que esse referencial se chama S, e nesse sistema eu tenho minhas coordenadas (x, ct), e a transformação de Lorentz vai permitir transformar as minhas coordenadas,
do meu sistema de referência, para as coordenadas do referencial da minha amiga. Digamos que o sistema de referência dela é S' cujas coordenadas seriam (x', ct'). Eu já escrevi a transformação de Lorentz
em vídeos anteriores, mas agora vamos fazer
algumas manipulações algébricas e ver como ela aparece em diferentes formas. A coordenada x' é obtida multiplicando
o fator de Lorentz, gama (Γ), por x menos β vezes ct. Em seguida, relembraremos o que é esse β. Vamos lembrar que o fator de Lorentz é Γ igual a: 1 sobre a raiz quadrada
de 1 menos v² sobre c². O v é a velocidade da minha amiga no meu referencial. Tudo isso é igual a 1 sobre
a raiz de 1 menos β², sendo que o β é nada mais,
nada menos que v sobre c. Então, para obter a coordenada x',
precisamos do fator de Lorentz, que depende de v e, naturalmente,
desse outro pedaço, que depende de x e de ct. E como vamos fazer para obter o ct'? O ct' é igual ao fator de Lorentz, que multiplica... Agora, vamos nos lembrar daquela simetria
sobre a qual falamos no vídeo anterior. Temos, então, ct menos β multiplicando x, observe a simetria entre o cálculo de x' e o de ct'. Gosto de escrever dessa forma porque é
bem fácil de lembrar, por causa da simetria. Quando estou querendo obter o x', dentro dos parênteses,
tenho x - β multiplicando o ct. Quando quero obter o ct',
temos o contrário, temos, nos parênteses,
o ct menos β multiplicando o x. Claro, nos dois casos,
estou multiplicando pelo fator de Lorentz. Vamos manipular algebricamente
um pouco mais isto aqui, o que vai inclusive ajudar você a comparar e relacionar o que temos aqui com o que
você encontra em outras fontes de estudo, por exemplo, no seu livro-texto. Sabemos que β é igual a v sobre c
aqui e aqui também. Evidentemente, podemos cancelar aqui o c com o c e vamos ter x' igual Γ,
que é o fator de Lorentz, multiplicando x menos vt. Isso tem um ponto interessante aqui porque, se o Γ for exatamente 1,
o que nós temos aqui é essencialmente a transformação de Galileu,
que é justamente o que a intuição e o nosso dia a dia nos permitem
observar imediatamente. Quando vemos aqui o x', calculado desta forma, estamos percebendo a transformação de Galileu multiplicada pelo fator de Lorentz,
que tem um comportamento interessante. Se o v é muito menor que a velocidade da luz, então todo esse fator vai ser muito próximo de 1 e vai nos dar o que já tínhamos
a respeito da transformação de Galileu, que funciona para as velocidades do dia a dia. Por outro lado, se v se aproxima da velocidade da luz, Γ aumenta consideravelmente, e vamos obter um resultado diferente do que
a transformação de Galileu nos daria. Vamos pensar agora no ct'. Vou dividir os dois lados por c e deixar o t' isolado, ou seja, vamos olhar para o tempo,
que nos dá uma ideia mais intuitiva, e é relativa a ele que muitas vezes
nós observamos o movimento. Dividindo, então, os dois lados por c, cancelamos aqui, cancelamos aqui também e vamos ter t' igual a:
fator de Lorentz, t menos... Vamos ter aqui v vezes x,
dividido por c vezes c, que é c². Então, vx sobre c². Estas são formas mais típicas de se ver
a transformação de Lorentz. Eu não simpatizo muito com esta representação porque, embora para o cálculo de x'
tenhamos nos parênteses simplesmente a transformação de Galileu, entre x' e t' já não existe a mesma simetria
que nós observávamos antes. É importante que você perceba a simetria,
já que estamos falando de espaço-tempo não separadamente,
independentemente, "espaço" e "tempo". Vimos também no diagrama de Minkowski
que os ângulos formados entre os eixos dos referenciais também são simétricos. Resumindo, não gosto muito dessa representação porque você não pode ver nela a simetria e, claro, é uma maneira mais difícil de lembrar essa relação. Acho a primeira mais fácil,
mas vamos ver o que acontece aqui quando v é uma fração
muito pequena da velocidade da luz. Neste caso, o fator de Lorentz
vai ser um valor muito próximo de 1, e este outro termo aqui, vx sobre c²,
vai ser um valor muito próximo de zero. Então, escrevendo aqui, se o v é muito menor que o c, o t' vai ser aproximadamente... Lembrando que o Γ, fator de Lorentz,
vai ser muito próximo de 1 e que este termo, vx sobre c²,
vai ser muito próximo de zero, então, toda esta parte vai ficar próxima de t, ou seja, t' vai ser aproximadamente t. Do mesmo jeito aqui para a x',
se v é muito menor que o c, o Γ, fator de Lorentz,
vai se aproximar de 1 de novo, e x' vai ser aproximadamente igual a x - vt,
que é a transformação de Galileu. Então, para velocidades muito menores que a da luz, como a velocidade de uma bala, a velocidade até mesmo de uma nave espacial, o que nós obtivemos aqui
nos leva a conclusão de que as transformações de Galileu
são aproximações perfeitamente cabíveis. Espero que esta manipulação algébrica
tenha dado a você alguma intuição. Experimente você calcular o fator de Lorentz para v
com valores de velocidades do dia a dia. Depois, tente experimentar
quando v se aproxima, por exemplo, a 0,8 vezes a velocidade da luz...
0,9c, 0,99c. Pense no que acontece com o fator de Lorentz! Espero que você aprecie e veja o que acontece,
como isso tudo se comporta. Até o próximo vídeo!