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Derivação da transformação de Lorentz parte 2

Transcrição de vídeo

RKA1C No último vídeo, paramos tentando resolver esta expressão para Γ e tivemos a ideia de tomar um evento particular conectado por um sinal de luz no caso em que x é igual a ct e x' é igual a ct'. Se Γ vai ser o mesmo para todas as transformações entre x e x' e entre t e t', evidentemente, ele também deve ser o mesmo válido para este evento particular. Então, podemos usar isto que temos aqui, substituir na expressão maior e resolver para Γ. E é exatamente o que vamos fazer agora! Então, aqui na expressão, onde aparece x, vamos substituir por ct... Aqui ct, novamente aqui, mais uma vez aqui. Mesma coisa para o x', vamos substituir por ct': substituímos aqui, outro aqui e mais uma vez aqui. Vamos simplificar bem a expressão. Começando por aqui, temos c vezes t, vezes c vezes t', então vamos ter c²tt'. Isso é igual a: Γ² vezes... Aqui temos o que já tínhamos antes. Então, ct vezes ct' vai ficar c²tt', mais c vezes v vezes t vezes t'... Vou escrever deste outro jeito mesmo: c vezes t vezes v vezes t' menos c vezes t vezes v vezes t'. E, finalmente, aqui temos -v² vezes t vezes t'. Eu usei as cores aqui para que você possa, em seguida, observar algumas coisas interessantes que vão acontecer. Fechamos os parênteses... Observe aqui que vamos poder simplificar ainda algo. Estes dois termos aqui do meio vão se cancelar, é claro, o mais ctvt' e o menos ctvt', vão se cancelar. Observe que todos os outros termos tem o tt' neles, portanto, se eu dividir os dois lados dessa equação por tt', nós vamos conseguir reduzir mais ainda. Aqui no primeiro membro, c²tt' dividindo por tt', vamos ter um cancelamento, Depois, do lado direito, dividindo cada termo por tt', nós vamos cancelar aqui, depois aqui e também aqui, e toda essa grande expressão vai ficar bastante simplificada. Vamos continuar nossa equação. Então, aqui é c² igual a Γ² que multiplica c² menos o v². Fechamos os parênteses aqui. Agora, como o meu objetivo é obter Γ, podemos dividir os dois lados da igualdade, por isso que está entre parênteses aqui, c² menos v² e eu vou conseguir já mais um passo para resolver para Γ. Vou aproveitar para trocar os lados e assim já vamos ficar com algo mais familiar. Vamos ter Γ² igual a c² dividido por c² menos v². Vou agora dividir numerador e denominador por c². Então, o numerador vai ficar 1, c² dividido por c² dá 1. No denominador, c² dividido por c² também é 1 menos v² dividido por c². Muito bem! Agora, para obter o Γ, só falta achar a raiz quadrada dos dois lados. Então, o Γ fica isolado aqui. Vamos colocar Γ igual a raiz quadrada de 1, que é 1, sobre a raiz quadrada de todo aquele denominador, que é 1 menos v² sobre c². Então, espero que você ache isso satisfatório, como eu achei. Tudo o que fizemos aqui foi pensar na simetria... Se o x' vai ser a transformação de Galileu multiplicada por algum fator, então, x vai ser também um fator multiplicativo pela transformação de Galileu em x' e t'. Nós usamos essa ideia, usamos também o fato de que a velocidade da luz é absoluta em qualquer referencial, que é um dos postulados da teoria da relatividade restrita, o que significa que x dividido por t é c, e x' dividido por t' também é c. Para algum evento associado a um raio de luz, usamos essa informação para substituir na expressão maior aqui, resolvemos e fomos capazes de obter Γ. Muito bem, alguém pode dizer que fomos capazes de obter a transformação de Lorentz para as coordenadas (x, x'), mas o que dizer a respeito das coordenadas (t, t')? Eu sugiro que você tente que fazer isso sozinho, mas nós vamos abordar isso em seguida, no próximo vídeo. Até lá!