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Transcrição de vídeo

RKA1C Vamos agora um pouco mais fundo na transformação de Lorentz! Vamos colocar alguns números aqui. Vamos procurar ficar um pouco mais familiarizados com estes cálculos e começar a ter uma ideia um pouco mais intuitiva do que nos traz a transformação de Lorentz ou, às vezes no plural, chamada de transformações de Lorentz. Vamos observar como elas se comportam. Vamos retomar a situação anterior, em que estou flutuando em algum ponto do espaço e minha amiga passa com uma velocidade v em sua nave espacial. Vamos supor que ela tem velocidade de metade da velocidade da luz, ela se move na direção do eixo x no sentido positivo, e os nossos diagramas espaço-tempo coincidem na origem. Vamos tomar um evento, que é este ponto, no espaço-tempo. Vamos dizer que nesse evento, que eu já analisei em vídeo anterior, tenho x igual a 1 metro. E vamos considerar que o tempo, melhor dizendo, o ct é também igual a 1 metro. Como eu disse em vídeos anteriores, podemos olhar para isso como 1 metro-luz que é o tempo que a luz leva para percorrer 1 metro. Então, no meu sistema de referência, esse ponto tem as coordenadas (1,1): 1 metro na direção x, 1 metro na direção ct. A partir daí, vamos pensar no que seriam as coordenadas x' e ct', que estão no sistema de referência da minha amiga. Uma sugestão é que você pare o vídeo agora e calcule o fator de Lorentz com estas informações de v e c obtenha x' e ct'. Assumindo que você já fez a sua tentativa, vamos verificar juntos. Vamos agora começar, para facilitar, obtendo o valor de β para em seguida obter o fator de Lorentz. β é 0,5c, que é a velocidade relativa dela no meu sistema de referência, sobre c, que é a velocidade da luz. Simplificando, dá 0,5. Como você pode ver, β indica qual é a fração da velocidade da luz que representa a velocidade relativa da minha amiga no meu referencial. Vamos agora obter Γ, que é o fator de Lorentz. Γ vai ser igual a: 1 sobre raiz quadrada de 1 menos β². Ou seja, invés de β, já podemos colocar 0,5². Ao fazer as contas, 0,5² dá 0,25, e 1 menos 0,25 resulta em 0,75. Ou seja: Γ, que é o fator de Lorentz, vai ser igual a 1 sobre a raiz quadrada de 0,75. Vou usar aqui uma calculadora. Eu posso pelo menos aproximar esse valor, a raiz quadrada de 0,75... Depois, obtendo o inverso dela: aproximadamente 1,15 é o que teremos aqui para o fator de Lorentz. Então o nosso Γ vai ser aproximadamente 1,15. A ideia agora é usar o fator de Lorentz e obter o x' e ct'. Começando aqui pelo x': x' vai ser aproximadamente... Lembre-se que nós aproximamos alguns cálculos ali atrás, então x' vai ser aproximadamente 1,15. Multiplicando o x, que é 1 metro, menos o β, que já calculamos e é 0,5, vezes o ct, que no meu diagrama é 1 metro. Agora, olhando para o ct': ct' é igual ao Γ, fator de Lorentz, que é aproximadamente 1,15 também, multiplicando o ct, que já sabemos que é 1, menos β, que é 0,5 novamente aqui, vezes o x, que também é 1 nesse nosso exemplo. Vale aqui a observação: o x e o ct são iguais a 1 porque, no meu exemplo, aconteceu uma situação particular e nós escolhemos fazer assim para facilitar os cálculos e até mesmo a compreensão de tudo isso. Vamos finalmente efetuar as contas: 1 menos... 0,5 vezes 1 resulta em 0,5. Ou seja: o x' vai ser, claro que aproximadamente, 1,15 vezes 0,5. Do mesmo modo para o ct', não percamos tempo, o que está entre parênteses vai ser 0,5. Vou finalizar com a minha calculadora. Eu já tenho aqui o valor do fator de Lorentz, basta multiplicar por 0,5 e vamos chegar a 0,58. Então, temos x' igual a 0,58 e ct' igual a 0,58. Não se esqueça de que as unidades aqui estão em metros. Então, como x é 1 e o ct é 1, no sistema de referência da minha amiga, o x' vai ser 0,58 e o ct' também vai ser 0,58 metros. Uma maneira de pensar sobre isso é que, justo quando o x é igual a zero e o tempo também é zero no meu sistema de referência, eu acendo a minha lanterna, e o primeiro fóton começa a se deslocar. Eu posso pensar que aqui está o caminho dele no espaço-tempo, seria algo assim o caminho dele. E posso pensar que, quando esse meu fóton viajou 1 metro na direção x e 1 metro-luz de tempo se passou, isso tudo no meu sistema de referência, a minha amiga no referencial dela diria... Não! Vamos supor que, naquele ponto, o fóton ilumina um asteroide e ela diria que isso aconteceu depois de 0,58 metros-luz de quando ela passou por mim, e aconteceu a uma distância de 0,58 metros na direção positiva de x no referencial dela. Então, algo muito, muito interessante está acontecendo por aqui! Sugiro agora que você pare o vídeo e pense com mais carinho no que está acontecendo com cada uma das partes da transformação de Lorentz aqui. Na verdade, tudo é interessante, a assimetria, de fato, é bastante interessante, mas, sobre o fator de Lorentz, pense bem no que está acontecendo exatamente aqui. Pense no que aconteceria aqui para velocidades pequenas, bem menores que a velocidade da luz, quando o v é uma fração muito, muito pequena da velocidade da luz. Nesse caso, o β seria bem próximo de zero e, portanto, o fator de Lorentz seria bem próximo de 1. E o que acontece quando v se aproxima da velocidade da luz? O Γ fica muito, muito grande já que, nesse caso, teríamos um denominador tendendo a zero, cada vez menor. E, se o v chegasse a ser exatamente a velocidade da luz, nós teríamos aqui um denominador zero. Agora, sugiro a você que tente substituir valores de velocidade aqui no v por outros mais próximos do nosso mundo real. Nós tentamos uma velocidade muito alta, que é a metade da velocidade da luz, mas experimente colocar, por exemplo, a velocidade de uma bala e veja o que acontece. O importante é você ficar familiarizado com tudo isso aqui. Experimente também algumas manipulações algébricas, o que é, na verdade, o que será feito em próximos vídeos, e procure achar a transformação de Lorentz ou as transformações de Lorentz, assim como você vê no seu livro-texto. Até o próximo vídeo!