Introdução à transformação de Lorentz

RKA1C Nós já exploramos o nosso experimento imaginário em que eu flutuo no espaço, bem no centro do meu referencial. E, exatamente no tempo igual a zero do meu sistema de referência, uma amiga passa por mim em uma nave espacial com uma certa velocidade v na direção do eixo x, sentido positivo. E nós pensamos sobre como representar espaço e tempo no meu referencial, referente ao referencial dela. E o mistério de que tratamos em vídeos anteriores é como vamos reconciliar espaço e tempo nos dois referenciais sabendo que a velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial. Para fazer isso, precisamos trabalhar com a ideia de espaço-tempo. Eu deveria até dizer mais rápido: "espaço-tempo". Vou até escrever aqui. A primeira vez que ouvi falar sobre espaço-tempo, eu entendi que as pessoas estavam dizendo algo sobre espaço e tempo separadamente, como coisas independentes, e representando pontos em tempo e espaços separados. Mas, quando falamos de espaço-tempo, nós estamos falando no continuum de uma única coisa, ou seja, falando de duas direções diferentes no espaço-tempo. Isso poderia ser chamado de outra forma, por exemplo "essempo" ou "tempaço", mas essa é a ideia, a do continuum. Quando começamos a fazer diagramas de espaço-tempo, percebemos que tempo e espaço não são independentes como pensávamos, tampouco eram absolutos como nós pensávamos. Construímos este diagrama espaço-tempo de Minkowski para cada um dos nossos referenciais. Então, o meu referencial tem aqui em branco o diagrama espaço-tempo. Para a minha amiga, no referencial dela, o diagrama espaço-tempo está aqui neste azul. O ângulo formado entre o eixo x e o eixo x' e o ângulo formado entre o eixo ct e ct', indicado por α aqui, são os mesmos e dependem da velocidade relativa da minha amiga em relação ao meu referencial. Se a minha amiga se move com uma velocidade de módulo v, este ângulo aqui vai ser a inversa da tangente da razão v, que é a velocidade relativa dela, sobre c, que é a velocidade da luz. A mesma coisa para o outro ângulo aqui. Estes dois eixos do referencial da minha amiga vão se aproximando conforme a velocidade dela aumenta e, se aumentar muito, a velocidade chegar próxima à velocidade da luz, eles vão tendendo a se coincidir. Então, essa ideia de que espaço e tempo não são independentes... É tudo um continuum chamado "espaço-tempo". Quero entender isso um pouco melhor com alguns números tangíveis aqui. Este ponto aqui no diagrama espaço-tempo pode ser observado no meu sistema de referência ou no dela. No meu sistema de referências, esse ponto vai ter abscissa x e a ordenada ct. Já estudamos o ct em vídeos anteriores. A unidade aqui seria metros literalmente, mas também poderíamos pensar em metros-luz se preferirmos. Bem, essas são as coordenadas no meu sistema de referência. Quais seriam as coordenadas do sistema de referência dela? Para achar a coordenada no eixo x', precisamos seguir, a partir do ponto, paralelamente ao eixo ct' e vamos encontrá-la aqui. Para o outro eixo, vamos seguir paralelamente ao eixo x' até encontrar o eixo ct' e achar a coordenada. Tem as coordenadas x' e ct'. Realmente, como vamos fazer para transformar de x para x' e de ct para ct'? Para fazer isso, vamos apresentar neste vídeo as transformações de Lorentz. Elas vão nos permitir transformar um ponto com as coordenadas (x, ct) em coordenadas (x', ct'). Para nos ajudar, vamos precisar de algumas outras variáveis, e pretendo mostrar a você alguma simetria que vai simplificar as coisas. Você poderia encontrá-las escritas de outras formas em outros materiais, mas depois nós vamos reunir tudo isso em futuros vídeos. As transformadas de Lorentz começam quando olhamos para o fator de Lorentz, é ele que nos mostra muito da transformação. O fator de Lorentz é indicado pela letra grega "gama" minúscula (Γ), e é igual a: 1 sobre raiz quadrada de 1 menos v² sobre c². Essa mesma expressão pode ser encontrada escrita de outra maneira, como: Γ igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1 menos β². E você vai perguntar: "O que é esse β?" β é uma outra variável que nos ajuda a ver muitas coisas na relatividade restrita. β não é nada além do que a razão entre v, que é a velocidade relativa da minha amiga no meu sistema de referência, e c, que é a velocidade da luz. A ideia de usar o β vai facilitar uma série de escritas aqui, quando estivermos trabalhando com as transformações de Lorentz. Nós vamos ter, então, que x' vai ser igual a: Γ multiplicando x menos β vezes ct. E o ct' será o resultado de: Γ multiplicando ct menos β vezes x. Aqui você já pode começar a perceber uma certa simetria entre essas expressões. Essas expressões são importantes, elas nos mostram que espaço e tempo são realmente direções diferentes no espaço-tempo. A simetria aparece bem aqui: observe o x aqui e aqui, e o ct aqui e aqui. Quando pensamos em x', temos o Γ multiplicando x menos βct. E, quando vamos pensar a respeito do tempo, pensamos da maneira simétrica: temos o Γ multiplicando, agora vem primeiro o ct menos βx. Você pode, observando isso, achar bastante estranho, parecendo até grego... De fato, estamos usando letras gregas, mas, em próximos vídeos, pretendo colocar alguns números aqui e você vai ver que uma álgebra relativamente simples vai nos permitir conhecer isso um pouco mais profundamente. Até lá!