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Derivação da transformação de Lorentz parte 1

Transcrição de vídeo

RKA1C Em todos os nossos vídeos sobre teoria da relatividade restrita, nós pensamos neste pequeno experimento imaginário em que eu estou flutuando em algum ponto do espaço e, exatamente quando o tempo é zero, passa por mim uma amiga em uma nave espacial com uma velocidade v na direção do eixo x, no sentido positivo. E nós desenhamos o diagrama espaço-tempo para o meu referencial e para o referencial dela. Primeiro, desenhei o meu diagrama espaço-tempo em branco e sobrepus o diagrama espaço-tempo dela. O ângulo formado entre o eixo x e o eixo x', e entre o eixo e ct e ct', é um ângulo α, que depende da velocidade com que ela viaja no meu referencial. O que precisamos pensar agora também é, sob o ponto de vista dela, se colocarmos um diagrama aqui com os eixos x' e ct' no referencial da minha amiga, ou seja, supondo que a nave espacial dela esteja em repouso, quando ela olhar de lá para mim, vai me ver flutuando no espaço, passando para a esquerda com uma velocidade -v. Ou seja, para ela, estou viajando no sentido negativo do eixo x'. Mais uma vez: não há um referencial absoluto, esses sistemas de referência são todos relativos. Se ela desenhar no sistema de referência dela os eixos x' e ct' perpendiculares, como vão ficar os eixos do meu sistema de referência? Observe que o ct, no sentido positivo, está no segundo quadrante porque, no referencial dela, minha velocidade é negativa, eu me desloco no sentido negativo de x', mas os ângulos entre os eixos continuam sendo os mesmos: este ângulo vai ser α e este outro ângulo aqui também vai ser α. O que quero fazer neste vídeo é usar essa simetria para deduzir a transformação de Lorentz. Para isso, podemos começar com a transformação de Galileu, na qual vamos ter que x' é igual a: x menos v vezes t. Mas nós já sabemos que, se usarmos apenas a transformação de Galileu, a velocidade da luz não vai ser absoluta, ou seja, não seria a mesma em qualquer sistema referencial. Então, para que isso seja corrigido, nós precisamos de algum fator multiplicador envolvido, e eu vou chamar esse fator de "gama" (Γ). Então, x' igual a: Γ vezes a transformação de Galileu. Nós estamos aqui postulando que, se a velocidade da luz é absoluta, então x' vai ser igual a um fator Γ multiplicando o x - vt. Nós podemos utilizar os mesmos argumentos para o sistema de referência da minha amiga! Se a minha amiga quiser ver as coordenadas no meu sistema de referência a partir das coordenadas do sistema de referência dela, ela vai ter que trabalhar com essas transformações também. Vamos colocar aqui a transformação de Galileu: x é igual a x'... E agora, cuidado! Ao invés de v, temos -v. Ou seja, aqui vamos ter x' menos -v vezes t'. Agora nós vamos precisar também de um fator multiplicando aqui, mas existe uma simetria entre estes dois sistemas de referência, então eu não deveria usar um multiplicador diferente em cada um deles. Ou seja, assumindo que a velocidade da luz é realmente absoluta teremos aqui Γ multiplicando x' menos -v vezes t' também. Então, agora nós vamos ter x igual a este fator que multiplica, Γ, x'... Agora, o menos -v vai virar mais vt'. Então, se eu ignorasse o fator que multiplica, nós teríamos nada mais nada menos que a transformação de Galileu entre um sistema de referência e o outro. E o que é de fato interessante é: qual é este fator multiplicativo aqui? Como vamos descobrir que fator é esse? Podemos fazer alguma álgebra interessante aqui. Para começar, vou escrever o x aqui abaixo do x' para facilitar um pouco a nossa análise: x é igual a: fator Γ multiplicando x' mais vt'. Vou começar com uma manipulação algébrica aqui para procurar obter quem é esse tal Γ que aparece aqui para a gente. Bem, vou começar pegando esta primeira equação que nos dá o x' e vou multiplicar os dois lados dela por x. Então, no lado esquerdo da igualdade fica x vezes x' igual... Agora, no lado direito da equação, eu já tenho Γ que multiplica x - vt e vou multiplicar pelo lado direito da equação de baixo, que é Γ que multiplica x' + vt'. Ou seja, na verdade, vou multiplicar o lado esquerdo e o lado direito das equações, o que nos dá uma nova equação verdadeira também. Multiplicando os lados direitos das igualdades, eu vou ter Γ², que é Γ vezes Γ. Multiplicando uma expressão grande aqui, já vou aplicar a propriedade distributiva duas vezes, vamos obter x vezes o x'... Em seguida, o x multiplicando vt', vamos ter mais xvt'. Agora, usando o - vt, vamos ter -vt vezes x' e -vt vezes vt'. Vamos arrumar aqui, o v vezes v vai ser v², é claro. E vou colocar aqui t vezes t'. Como é que podemos, então, usar toda essa matemática aqui? Lembre-se de que queremos resolver para obter Γ! Agora é hora de voltarmos aos postulados iniciais da teoria da relatividade restrita. Um desses postulados é aquele que diz que a velocidade da luz é absoluta, não se modifica de acordo com o referencial adotado. Pensando nisso, vamos imaginar um evento que se conecta com a origem por meio de um raio de luz. Então, vamos dizer que onde o tempo e o t' são zero, eu acendi a minha lâmpada, a minha lanterna, e digamos que a luz alcança alguma coisa em algum ponto. Vamos supor que é bem aqui: este ponto está conectado à origem por um raio de luz, por fótons. Vou conectá-los aqui. Então, de novo: em um instante zero, eu acendo a minha lanterna e emito luz nesta direção, e esses fótons atingem alguma coisa ou nesse ponto acontece uma reação, não sabemos o que acontece, mas vamos falar sobre esse evento que está acontecendo exatamente aqui. No meu sistema de referência, as coordenadas desse evento vão ser (x, ct). Estou marcando aqui x e ct. Como sabemos que a velocidade da luz é absoluta e, da maneira como nós montamos estes diagramas, qualquer caminho de luz vai percorrer aqui em um ângulo de 45 graus ou -45 graus, isso fará com que o x seja igual ao ct, neste caso em particular. Vou desenhar aqui neste outro diagrama... Eu posso fazer isso, vou desenhar aqui. Teremos algo assim, o nosso evento aqui. E o x igual a ct. Para achar a coordenada no eixo x do meu sistema de referência, vou traçando, a partir do ponto, paralelamente ao eixo ct até encontrar o eixo x. E, para achar a coordenada do eixo ct, vou paralelamente ao eixo x até chegar no eixo ct. Tenho aqui as coordenadas e o x igual a ct. De maneira análoga, já que a velocidade da luz é absoluta em qualquer referencial, x' também vai ter que ser igual ao ct'. Se olharmos aqui também, x' igual a ct'. Mais uma vez, isso está acontecendo porque aqui temos a luz em uma trajetória que forma um ângulo de 45 graus com os eixos perpendiculares, então x' igual a ct'. Eles estão conectados por um evento de luz, então, se você dividir a variação em x pela variação do tempo, vai obter a velocidade da luz. O que podemos fazer é usar essa informação para este evento em particular: se Γ for verdadeiro para todas as transformações, deveria ser verdadeiro, então, para este evento em particular também. Vou poder usar essas informações aqui para substituir nesta expressão maior e resolver para obter Γ. É exatamente isso que vou fazer no próximo vídeo! Mas sugiro a você que tente fazer sozinho antes de assisti-lo. Até lá!