Derivação da transformação de Lorentz parte 3

RKA1C Nós já fizemos bons avanços nas deduções de partes das transformações de Lorentz! Já fomos capazes de expressar x' em termos do fator de Lorentz... x, v e t. Fizemos também a troca do sistema de referência e pudemos expressar x em termos do fator de Lorentz: x', v e t'. A partir daí, pudemos obter o fator de Lorentz. A nossa última etapa para conseguir a transformação total é poder escrever o t' em função de x e t, e como é que podemos fazer isso? Para isso, vou tomar esta equação que estou destacando aqui, vou resolvê-la para t', ou seja, isolar t', e, nas partes onde aparece o x', vou substituir por Γ vezes x - vt, que está na outra equação. Vamos então resolver aqui para t'. A primeira coisa que vou fazer vai ser dividir os dois lados pelo fator de Lorentz, ou seja, o Γ. Então, aqui vamos ter x sobre Γ igual a x' mais vt'. O que nós vamos fazer aqui é simplesmente manipular algebricamente. Vou subtrair x' dos dois lados, já que eu quero resolver para t', não nos esqueçamos disso. Então, vamos continuar aqui com x sobre Γ, no lado esquerdo, menos x': igual a vt'. Agora, para resolver para t', basta dividir os dois lados por v. Vamos obter então, do lado esquerdo, x sobre Γv menos x' sobre v também, dividimos tudo por v... Isso tudo igual a t', que era justamente quem eu queria isolar nesta igualdade. Então, vamos fazer o que eu já havia comentado antes. Resolvemos para t' em termos de Γ, v, x e x', mas agora este x', que está aqui, pode ser substituído por Γ vezes x menos vt, que é o que está ali em cima definindo o x'. Então, voltando à nossa igualdade, eu vou substituir o x' por tudo aquilo lá, mas antes eu vou trocar os lados aqui para ficar mais fácil de ler. Vamos ficar, então, com t' igual a x sobre Γv menos o que seria x' sobre v. Nós vamos trocar o x' por toda aquela expressão, então, vamos ficar aqui com Γ multiplicando x menos vt, tudo isso sobre v. Agora já temos uma expressão com o t' isolado, mas vamos melhorar um pouco... Nós podemos, por exemplo, fazer uma fatoração! Vamos colocar o Γ em evidência. Vou ficar com t' igual a: Γ em evidência multiplicando, abre parênteses... Nesta primeira fração, vamos ficar com x sobre Γ². Cuidado! Para verificar que isso está certo: x sobre Γ² vezes Γ dá x sobre Γ, que é o que estava ali em cima, vezes v, aqui no denominador, menos... Agora, nesta outra parte, já vou distribuir o sinal de menos para os parênteses onde tenho x - vt aqui, e também já vou separar as duas frações que ali aparecem. Vamos ficar com: -x sobre v... O menos -vt vai ficar mais vt. Agora, vt sobre v: posso cancelar o v, vai ficar simplesmente mais t aqui. Chegamos, então, aqui: t' igual a Γ vezes toda essa expressão entre parênteses. Vou colocar um pouco de foco nela, nessa parte entre parênteses, em particular nestes dois primeiros termos aqui. Para esses dois termos aqui, x sobre Γ²v menos x sobre v, vou colocar o x em evidência. Com o x em evidência, vamos ficar com um x que multiplica 1 sobre Γ²v menos 1 sobre v: menos aqui, 1 no lugar do x, sobre v. Bem, se eu quiser subtrair o que temos aqui entre parênteses, eles precisariam ter denominadores iguais, e é o que eu vou poder proporcionar, basta, nesta segunda fração, multiplicar numerador e denominador por Γ². Multiplicando aqui, vamos ficar com Γ² sobre Γ²v. Agora eu vou focar só aqui no que está entre parênteses e espero que possamos simplificar aqui. O que temos aqui é simplesmente 1 menos Γ², estou subtraindo os numeradores, sobre o denominador que já era comum, o Γ²v. Muito bem, o que será que podemos simplificar aqui? Olhando bem para o Γ... O que era o Γ mesmo? Γ é esta expressão acima: 1 sobre a raiz quadrada de 1, menos v² sobre c². Como Γ aparece ao quadrado na nossa expressão, se nós tomarmos aquela expressão do Γ e elevarmos ao quadrado, então Γ² é igual a 1 sobre 1 menos v² sobre c², cancelamos a raiz quadrada. Vamos agora, nesta expressão, multiplicar numerador e denominador por c². Então, o 1 do numerador vai ficar c² sobre... No denominador, o 1 multiplicado por c² dá c², e a fração multiplicada por c², vamos cancelar o c², vai ficar v². Mas de que maneira isso nos ajuda? Voltando aqui a esta expressão, o 1 pode ser escrito como uma divisão de um número por ele mesmo. Vamos colocar como c² menos v² dividido por ele mesmo, que é c² menos v². Vamos ter aqui, reescrevendo: c² menos v² sobre c² menos v² no lugar do 1. Agora, -Γ² é c² sobre c² menos v², que é o que temos aqui. Então, temos em branco o 1 e em vermelho ou rosa o Γ². Tudo isso sobre Γ². Novamente, c² sobre c² menos v², que é o tínhamos ali acima, e temos que colocar o vezes v, que era o que nós já tínhamos antes. Então, vamos simplificar aqui no numerador do numerador: temos c² menos v², menos c². O que vai acontecer então? O c² menos outro c² se cancelam, vamos ficar simplesmente com -v² sobre c² menos v², tudo isso sobre aquela outra parte. Mas sabemos que, para dividir a fração, conservamos a primeira fração, que é o que você está vendo aqui, -v² sobre c² menos v², e multiplicamos pelo inverso da outra fração, que é o que eu vou fazer aqui: c² menos v² sobre c²v. Tem uma simplificação bem fácil aqui: c² menos v², cancela, certo? O v² e o v também vão se cancelar, ficaremos só com o v no numerador. Com o -v, na verdade, claro. Ou seja, todo esse cálculo que nós tínhamos aqui pôde ser simplificado para -v sobre c². Aqui nesta expressão, tudo isso agora vai ser substituído por -v sobre c². Agora vamos voltar para a expressão que define o t'. O t', então, vai ser igual a: Γ que multiplica... Vou escrever aqui o t primeiro. Agora, toda esta expressão foi simplificada para -v sobre c² vezes o x, lembre-se que o x estava em evidência lá. Então, escrevendo aqui: -v sobre c² vezes x. Está feito, completamos a nossa transformação de Lorentz! Nós começamos com aquelas informações do x' e do x que mostramos em vídeos anteriores e, com alguma manipulação algébrica cuidadosa, chegamos finalmente à transformação para o t', que é igual a: Γ que multiplica t menos v sobre c² vezes x. Até o próximo vídeo!