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Ângulo do eixo x no espaço tempo de Minkowski

Transcrição de vídeo

RKA1C Nós temos visto algumas coisas interessantes nos últimos vídeos. Esquecemos, digamos assim, dos nossos pressupostos newtonianos de que a passagem do tempo é a mesma em todo o quadro inercial de referência, que o tempo é absoluto, que 1 segundo no meu quadro de referência é o mesmo que 1 segundo no seu quadro de referência. Nós até mesmo deixamos para lá, a ideia de que o espaço é absoluto, de que 1 metro em uma certa direção do meu quadro de referência vai ser o mesmo que 1 metro no seu quadro de referência, isso se nós estamos nos movendo a velocidades relativas, respeitando um ao outro. E isso nos permitiu conciliar com o que é atualmente observado no universo, que é a ideia de que a velocidade da luz é absoluta, é constante, de que, independentemente de em qual referencial inercial estamos, independentemente da velocidade da fonte da luz, nós sempre vamos medir a viagem da luz como 3 vezes 10⁸ metros por segundo. 3 vezes 10⁸ metros por segundo. Quando deixamos de lado nossas suposições sobre tempo absoluto e espaço absoluto, o que nos fez assumir a velocidade da luz como absoluto, isso nos dá um gráfico interessante porque toma nosso eixo x' na parte superior do eixo x e o coloca em um ângulo relativo ao eixo x. Agora, uma questão que você pode observar é que este ângulo entre o eixo x e x' se parece com o ângulo entre o eixo t e t'. Ou, como nós fizemos nos últimos vídeos, transformamos nossas unidades de tempo ao longo do eixo ct e de segundos para metros. Se você ainda tem alguma dúvida sobre isso, não deixe de assistir ao último vídeo! Parece que este ângulo aqui e este ângulo aqui são os mesmos. O que pretendo com este vídeo é me sentir bem com o fato de que eles realmente são os mesmos. Uma das coisas convenientes de um dos vídeos anteriores, quando passamos por essa experiência de pensamento, foi a partir do quadro de referência de uma amiga, ela admitindo que um fóton de luz saltando para fora de uma nave espacial viaja 3 vezes 10⁸ metros na frente dela. Então, ele viajaria aqui, vamos olhar para este gráfico da esquerda: 3 vezes 10⁸ na frente dela, e depois volta para ela. Ainda aqui no gráfico azul, nós assumimos que, como marcamos o eixo x' em metros e o eixo t' em segundos, a distância entre a origem e 3 vezes 10⁸ metros é a mesma que a distância entre a origem e 1 segundo. Agora, isso ganha ainda mais sentido porque nós chamamos isso de 3 vezes 10⁸ e isso aqui embaixo de 3 vezes 10⁸ metros. Então, a velocidade, quando nós descrevemos o caminho de um fóton de luz em qualquer um desses gráficos de espaço-tempo será sempre o ângulo positivo de 45 graus ou negativo de 45 graus, dependendo da direção em que a luz está viajando. Na verdade, é isso que nós usamos para estabelecer o que o eixo x' será. Ele não irá apenas se assentar na parte superior do eixo x, ele será um ângulo, só que o nosso interesse não é exatamente nesse ângulo. Então, se nós chamarmos este ângulo aqui de cima de alfa (α) e continuarmos esta linha aqui de 45 graus... Temos que relembrar que qualquer caminho de um fóton será um ângulo de 45 graus. Então, vamos fazer esta linha aqui para baixo e vamos trazê-la novamente para cima até chegarmos aqui no eixo ct. Dessa forma, sabemos que este ângulo aqui é de 45 graus e este ângulo aqui de baixo é de 45 graus. Sabemos que temos um triângulo aqui, vamos tentar destacá-lo na cor roxa, vamos tentar destacar um pouco esses lados do triângulo. Completando aqui e mais aqui em cima, podemos ver que é um triângulo isósceles. Como sei que é um triângulo isósceles? Bom, esta marca aqui em cima, no eixo ct', é 3 vezes 10⁸ metros. E esta outra marca aqui, no eixo x', é também 3 vezes 10⁸ metros, Assim, este lado é igual a este lado aqui. E nós sabemos que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes, eles têm a mesma medida, então este ângulo aqui vai ser congruente com este ângulo aqui. Bom, se esses dois ângulos são congruentes, então este outro ângulo aqui de fora também vai ser congruente com este ângulo. Vamos escolher uma cor diferente para este ângulo aqui, que também vai ser congruente àquele outro ângulo porque eles são complementares àqueles dois ângulos da base, somando 90 graus. Então, note: se nós olharmos para este triângulo aqui de cima, vamos pintá-lo de verde, ...e para este triângulo aqui de baixo, também vamos pintá-lo de verde, nós vamos observar que ambos têm um ângulo de 45 graus, todos os dois triângulos também têm um ângulo congruente, então, o terceiro ângulo também precisa ser congruente porque esses três ângulos sempre precisam somar 180 graus. Se você tem dois ângulos de dois triângulos diferentes sendo iguais, então, o terceiro ângulo precisa ser o mesmo. E, se esse é α, vamos fazer aqui da mesma cor, se este ângulo aqui é α, este ângulo aqui de baixo também vai ser α. Isso é realmente interessante, é um tipo bonito de simetria! E se sobressai o fato de que a velocidade da luz sempre deve ser medida como aproximadamente 3 vezes 10⁸ metros por segundo em qualquer quadro inercial de referência. Note: se nós voltarmos para o meu quadro de referência, o fóton que emito da minha lanterna será parecido com isto. Então, aqui é o meu ponto inicial, e a luz de fóton da minha lanterna será parecida com isso, o seu trajeto será no espaço-tempo de Minkowski semelhante a esse do meu ponto de vista. E, note: do ponto de vista da minha amiga, aquela que está viajando em uma nave espacial, vamos pegar um ponto no espaço-tempo aqui em cima... Bem, sua coordenada x' será mais ou menos esta aqui, e a sua coordenada ct' será mais ou menos aqui. Então, isso faz sentido! Em uma unidade do que imagino que poderíamos chamar de metro-luz, aquela espaçonave viaja 1 metro. Então, ainda está viajando na velocidade da luz do ponto de vista dela. Apesar disso, ela está se movendo na metade da velocidade da luz em relação a mim. E você poderia pensar sobre o que aconteceria se ela estivesse se movendo ainda mais rápido. Bem, seu eixo ct' seria, mais do que nunca, um ângulo mais severo e ele poderia parecer com alguma coisa como esta aqui. Ele ficaria mais severo, e este aqui, o x', ficaria simétrico em torno do que mostra o trajeto da luz. Bom, vamos chamar este aqui de ct'' e este aqui de x''. Então, isto é alguém, digamos, que está se movendo até mesmo mais rapidamente relativo a mim. Assim como você pode imaginar, você chega perto do segundo quadro de referência, assim como o segundo quadro de referência chega cada vez mais perto da velocidade da luz do meu quadro de referência, e seus eixos e coordenadas vão se aproximando mais e mais em torno deste ângulo de 45 graus. Agora, outra coisa sobre a qual quero pensar e não vou desenhar neste vídeo para dar a vocês tempo suficiente para digerir, é que tem uma simetria aqui. Se minha amiga está se movendo com a metade da velocidade da luz em uma origem positiva de acordo comigo, então, do ponto de vista dela, estou me movendo com metade da velocidade da luz na direção x' negativa. Então, você deveria pensar sobre o que aconteceria se nós estivéssemos olhando neste outro gráfico, com o quê o meu quadro de referência iria parecer se eu o projetasse da parte superior aqui. Por enquanto, ficamos por aqui. Até breve!