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Visualizando múltiplos diagramas espaço tempo Newtonianos

Transcrição de vídeo

RKA1C No vídeo anterior, construímos um diagrama espaço-tempo para o meu sistema de referência. Eu estou flutuando no espaço e assumindo que eu seja um referencial inercial, o que significa que estou me movendo com uma velocidade constante em relação a todos os outros sistemas de referência inerciais. E nós estabelecemos uma situação na qual eu emiti um fóton quando t igual a zero. Então, um segundo depois, esse fóton deveria ter se deslocado 3 vezes 10⁸ metros, e, após dois segundos, ele deveria ter se deslocado 6 vezes 10⁸ metros. E nós adicionamos um pouco de sabor especial para esse cenário. Exatamente no tempo zero, uma amiga passa por mim na sua nave espacial, ela está viajando na metade da velocidade da luz, no sentido positivo da direção do eixo x, nós representamos o caminho dela. Quando o tempo é zero, a nave espacial está bem aqui, na origem. Após um segundo, ela deveria ter viajado 1,5 vezes 10⁸ metros. Dois segundos depois, ela deveria ter viajado 3 vezes 10⁸ metros. Então, esta linha azul no gráfico representa, no vídeo anterior, o caminho dela. Agora, quero tornar isto mais interessante ainda! Vamos assumir que nós temos um trem completo de naves espaciais, todas viajando no sentido positivo do eixo x com a mesma velocidade da espaçonave da minha amiga. Então, esta espaçonave aqui, onde o tempo é zero, ela está exatamente onde eu estou. Mas vamos dizer que, exatamente 3 vezes 10⁸ metros à frente dela, existe outra espaçonave viajando exatamente com metade da velocidade da luz, ou seja, a mesma velocidade da minha amiga. Assim, ambas se deslocam com a mesma velocidade relativa a mim. Mas, se você pensar nisso do ponto de vista da minha amiga, elas estão em repouso uma em relação à outra porque a distância entre elas, aqui no eixo x, vai ser sempre a mesma. Então, esta pessoa, quando o tempo é zero, vai estar na posição 3 vezes 10⁸ metros no eixo x, sentido positivo em relação a mim. Agora, se eu espero dois segundos, ela vai estar na posição 6 vezes 10⁸ metros em relação a mim porque ela está indo na metade da velocidade da luz. Então, eu posso representar o caminho dela... Vou fazer aqui em uma cor de outro tom. E o que eu estou fazendo aqui são linhas de grade que servem para o referencial alternativo da minha amiga, estou sobrepondo o referencial dela sobre o meu aqui e, para ser claro, não estou assumindo a relatividade restrita, estou assumindo o mundo newtoniano, mecânica clássica... Simplesmente para que você se familiarize com essas ideias e para que possamos ver quando esse mundo newtoniano vai "quebrar". Vamos supor que aqui tem mais uma nave espacial e, quando o tempo é zero, ela está na posição 6 vezes 10⁸ metros no eixo x, sentido positivo. E onde ela vai estar depois de dois segundos? Bem, um segundo depois, ela vai estar 1,5 vezes 10⁸ metros adiante, então, dois segundos depois, ela vai estar 3 vezes 10⁸ metros adiante da posição em que ela estava inicialmente. E, três segundos depois, ela vai ter avançado ainda 1,5 vezes 10⁸ metros em relação a essa última posição. Então, representando o caminho dela, vamos ter algo como isto aqui. Estou fazendo isso, na realidade, para mostrar a você como objetos estacionários no sistema de referência da minha amiga se apresentam para mim. Estas linhas aqui devem ser paralelas. Vamos agora trabalhar com o sistema de referência da minha amiga. Vou fazer aqui não só o eixo x, mas, coincidindo com ele, o eixo x' e este aqui vai ser o eixo t'. Estamos falando do sistema de referência da minha amiga. Estou usando a notação linha para identificar o referencial da minha amiga e veja que, se eu chamasse de S o meu sistema de referência, então, o sistema de referência da minha amiga seria S'. Vou desenhar agora linhas horizontais para mostrar o que acontece segundo a segundo. Temos aqui: 1 segundo, 2 segundos, 3 segundos, e assim por diante. Bom, vamos ter certeza de que estamos confortáveis ao ler o que está acontecendo aqui. Vamos tomar um ponto neste nosso diagrama, este ponto aqui. Este ponto, no meu sistema de referência, tem aqui... Vamos achar a abscissa, basta seguir verticalmente até o eixo x, e eu tenho 4,5 vezes 10⁸ metros no meu sistema de referência. A ordenada, o tempo, é um segundo. Então, essas são as coordenadas desse ponto no meu sistema de referência, no meu referencial. E quais seriam as coordenadas desse ponto no sistema referencial da minha amiga? No referencial dela, o tempo continua sendo um segundo. Estamos obtendo isso paralelamente ao eixo x, mas a abscissa agora vai ser 3 vezes 10⁸ metros. Eu realmente sugiro que você sente e pense sobre isso, até mesmo pegue uma régua, lápis, papel e desenhe isso você mesmo, para se sentir bem com relação a isso. Agora, por que isso faz sentido? Você poderia visualizar este ponto como o ponto onde a segunda nave espacial estava após um segundo. E, sob o ponto de vista da minha amiga, ou seja, no sistema de referência S', no tempo igual a zero, aquela pessoa, aquela nave estava na posição 3 vezes 10⁸ metros à frente dela e, depois de um segundo, essa nave continua na posição 3 vezes 10⁸ metros à frente dela. Dois segundos depois, ela continua 3 vezes 10⁸ metros à frente dela. Ou seja, sob o ponto de vista da minha amiga, ou melhor, no seu sistema de referência, a segunda nave está estacionária em relação a ela. Então, a maneira de visualizar qualquer ponto neste diagrama no meu sistema referencial, basta traçar linhas horizontais a partir dos tempos e eu consigo enxergar o que preciso. No sistema de referência dela, nós simplesmente deslocamos, deformamos as coordenadas aqui. Aqui ainda temos: um segundo, dois segundos, três segundos no t', mas, se no meu sistema tivesse aqui uma grade de quadrados, quando vou desenhar o que eu preciso para as minhas coordenadas, eu transformo, ao passar para o sistema da minha amiga, em um conjunto de paralelogramos, que são os que nós vemos justamente aqui. Então, para cada ponto aqui... Lembre-se, estamos tratando de um espaço newtoniano. ...espaço e tempo, para ler o gráfico, nós vamos horizontalmente para o tempo em qualquer caso. Mas, para mim, a partir do tempo, nós vamos direto verticalmente para baixo porque o meu eixo do tempo é vertical, e vejo onde intercepta o eixo x para descobrir a posição de que tratamos. Mas no sistema de referência dela, nós nos movemos paralelamente ao eixo t' do sistema dela para obter as coordenadas x'. Então, aqui temos as coordenadas (x', t') e aqui (x, t). Então, está claro: em qualquer ponto dado aqui, temos que o t é igual a t' ou também podemos dizer que o t' é simplesmente igual t. Mas qual é a relação entre x' e x? Vamos pensar sobre isso um segundo. Quando x é 4,5 vezes 10⁸ metros, o x' é 10⁸ metros. Então, parece que o x' vai ser igual a x menos alguma coisa, que seria 1,5 vezes 10⁸, mas a diferença vai crescer conforme o tempo passa. Metros por segundo vezes quanto tempo passou. Podemos verificar isso. Em um segundo, a diferença é de 1,5 vezes 10⁸ metros. Após dois segundos... Vamos tomar este ponto justamente aqui. No meu sistema de referência, aquela pessoa está na posição 6 vezes 10⁸ metros, mas, no sistema de referência da minha amiga, ela ainda está no 3 vezes 10⁸ metros. Então, multiplicamos dois segundos por 1,5 vezes 10⁸ metros: temos 3 vezes 10⁸ metros. Então, pegamos 6 vezes 10⁸ metros, que deveria ser este x aqui, e subtraímos 1,5 vezes 10⁸ multiplicado por 2. E conseguimos as coordenadas no sistema S'! Isso pode parecer um pouco confuso, mas a chave para o sucesso é você desenhar isso tudo sozinho, tentar localizar pontos aqui e pensar como eles são diferentes nas suas coordenadas, nos diferentes sistemas de referência ou coordenadas diferentes no tempo e espaço em diferentes referenciais. Até o próximo vídeo!