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Conteúdo principal
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Demonstração: U=(3/2)PV ou U=(3/2)nRT

Transcrição de vídeo

bom já disse diversas vezes que o o maiúsculo é a energia interna de um sistema e realmente tudo é colocado ali é a energia cinética das moléculas possui a energia potencial se as moléculas estiverem vibrando possui a energia química das ligações possui a energia potencial dos elétrons que querem um pouco de espaço mas por nossa causa e especialmente se estivermos em uma aula introdutória de um curso de química física ou termodinâmica vamos apenas supor que estamos falando de um sistema que é um gás ideal ainda melhor é uma espécie de um gás mono atômico então tudo em meu sistema são apenas átomos individuais portanto nesse caso a única energia em todo o sistema será energia cinética de cada uma dessas partículas por isso o que quero fazer nesse vídeo vamos ter um pouco de matemática mas acho que deixará satisfatório quem se atém a ela é relacionar a quantidade de energia interna que realmente há um sistema de uma determinada pressão volume e temperatura então gostaríamos de relacionar pressão volume ou temperatura com a energia interna observe que em todos os vídeos que fizemos até agora disse que era uma variação de energia interna e relacionamos isso ao calor adicionado ou retirado de um sistema ou trabalho realizado ou realizado para o realizado pelo sistema mas agora vamos dizer antes de realizar qualquer trabalho qualquer calor como sabemos a quantidade de energia interna que temos um sistema e para tal vamos fazer um pouco de experiência de idéias vou fazer algumas simplificações aqui mas acredito que isso não vai ser problema vai ser razoavelmente satisfatório então digamos ou desenhar aqui temos um cubo e algo me diz que talvez já possa ter feito essa pseudo demonstração na lista de reprodução de física embora não acho que eu tenha exatamente relacionado com energia interna então farei isso aqui digamos que meu sistema é este cubo e digamos que as dimensões do cubo são x em todas as direções então é x de altura x largura x de profundidade então seu volume há logicamente x ao cubo e digamos que eu tenho n partículas em meu sistema e maiúsculo poderia ter utilizado e minúsculo molz mais nos deixar bem direto tem um n partículas então elas todas fazem o que querem agora aqui onde faria uma grande simplificação mas acredito que é razoável então um sistema normal toda partícula já fizemos isso antes e está saltando de forma em todas as direções possíveis e aleatórias e quando elas batem em cada um dos lados causa uma impressão e elas estão sempre trombando umas das outras em todas as direções possíveis e aleatórias agora por uma questão de simplicidade de nossa matemática e apenas para ter a possibilidade de realizar isso em uma quantidade razoável de tempo vou fazer uma suposição vamos supor que um terço das partículas estejam indo bem em um terço das partículas estão paralelas em relação a cada um dos eixos então um terço das partículas estão indo nessa direção acho que poderia dizer da esquerda para a direita um terço das partículas estão indo para cima e para baixo então um terço das partículas estão indo pra frente pra trás agora sabemos que isso não é o que está acontecendo na realidade mas torna as nossas contas bem mais simples e se realmente for necessário fazer a mecânica estatística por trás de todas as partículas que estão em todas as direções acabaríamos obtendo o mesmo resultado agora com isso estou dizendo que é uma grande simplificação a uma chance infinitesimalmente pequena de cairmos em um sistema em que este já é o caso vamos falar um pouco mais adiante sobre entropia e porque há uma probabilidade tão pequena mas isso poderia ser realmente nosso sistema e esse sistema geraria pressão o que torna nossos cálculos matemáticos muito mais simples então com isso dito vamos estudar esse sistema vamos pegar uma visão lateral vamos pegar a visão lateral bem aqui e vamos estudar uma partícula deveria talvez ter feito em verde mas digamos que tem uma partícula ela possui certa massa m e velocidade v e essa é uma das partículas m maiúsculo em meu sistema mas eu estou curioso em saber é quanta pressão essa partícula exerce nessa parede bem aqui sabemos qual é a área dessa parede certo a área dessa parede é xv e xx então a área é x ao quadrado qual a quantidade de força que está sendo exercida por essa partícula nem vamos pensar nisso dessa maneira está indo para frente ou da esquerda para a direita dessa forma ea força será exercida quando ela mudar o momento linear farei uma pequena revisão de cinética bem aqui sabemos que a força é igual à massa vezes aceleração sabemos que a aceleração pode ser descrita como um que é igual à massa vezes a variação da velocidade sobre variação no tempo logicamente sabíamos que isso poderia ser reescrito como isso é igual a a massa é uma constante e não pode variar para física com a qual estamos lidando então é delta poderíamos incluir isso dentro da variação então é delta mv sobre variação de tempo isso é apenas a variação no momento linear certo portanto isso é igual à variação no momento linear sobre a variação no tempo então essa é outra forma de escrever a força portanto qual será a variação no momento linear para essa partícula bem era bater nesse muro nessa direção exatamente agora tem algum momento linear seu momento é igual a mv e vai trombar nessa parede então vai ricochetear diretamente para trás e qual o seu momento linear bem ter a mesma massa ea mesma velocidade vamos supor que é uma colisão completamente elástica na de perdido para calor ou qualquer outra coisa mas a velocidade está na outra direção portanto um novo momento linear vai ser mv negativo porque a velocidade mudou de direção agora chego com o momento linear dmv ricocheteiam de volta com o momento linear dmv negativo qual será a minha variação de momento linear de avaliação do momento linear na volta da batida na parede é igual bem é a diferença entre esses dois que é 2 m v agora isso não me fornece a força preciso saber avaliação do momento linear por unidade de tempo qual a frequência que isso ocorre com freqüência bem vai acontecer toda vez que chegamos aqui vamos bater nessa parede então a partícula irá viajar por aqui trombar naquela parede e voltar para cá e trombar de novo portanto esta é a freqüência em que isso vai ocorrer então qual é o intervalo de tempo que temos que esperar em três colisões bem a partícula tem que percorrer x para trás vai colidir terá que percorrer x para a esquerda esta distância é x deixe me fazer isso em uma cor diferente essa distância aqui é x terá que percorrer x de volta portanto terá que percorrer a distância de 2 x e quanto tempo levará para percorrer essa distância de 2 x bem o tempo delta tse igual a sabemos disso a distância é igual à taxa vezes tempo ou se fizermos a distância dividido pela taxa vamos obter a quantidade de tempo que levamos isso é apenas nossa fórmula básica de movimento nosso delta terá a distância que temos de percorrer de um lado a outro então é 2x / com a nossa taxa bem nossa taxa a nossa velocidade / ver muito bem então esse aqui é o nosso delta t então nossa variação no momento linear por tempo é igual a duas vezes nosso momento incidente porque trombamos de volta com a mesma magnitude mas com o momento negativo então essa é a nossa variação no momento então a variação no tempo é esse valor aqui é a distância total que temos que percorrer entre as colisões com essa parede dividido pela nossa velocidade então é 2 x 1 / v é igual a duas mv vezes o valor recíproco disso então este é apenas um cálculo de infração vez sobre 2 x e qual o resultado cancelo os dois números 2 então isso é igual à m ao quadrado sobre x interessante já estão chegando em um lugar interessante se isso não parece interessante continue comigo por um instante agora esta é a força sendo aplicada por uma partícula é isso força de uma partícula nessa parede agora o que era a área queremos saber a pressão inscrevemos ela aqui em cima a pressão é igual à força por área então essa é a força daquela partícula então mv o quadrado sobre x dividido pela área da parede bem e qual é a área da parede área da parede aqui de cada lado é xis e se desenhar mas a parede ali é xxx ao quadrado então dividido pela área da parede é x ao quadrado e qual o resultado disso é igual a mv ao quadrado sobre x ao cubo podemos dizer apenas que isso é vezes um sobre x ao quadrado quando tudo isso se torna x ao cubo e isso é apenas matemáticas de infração então temos algo interessante a pressão ocasionada por essa única partícula vamos chamá lo dessa única partícula é igual a mv ao quadrado sobre x ao cubo agora o que é x ao cubo é o volume do nosso recipiente sobre o volume bom vou fazê lo como um v maiúsculo certo então vejamos se possam relacionar isso a alguma outra coisa que seja interessante portanto isso significa que a pressão exercida por essa única partícula bem na verdade deixe me fazer diferente então essa é uma partícula nessa parede certo isso é de uma partícula nessa parede agora de todas as partículas temos n partículas ao cubo qual a proporção delas que vai bater na parede que estavam fazendo exatamente a mesma coisa que essa partícula bem acabei de dizer um terço estarão indo nessa direção um terço estarão indo para cima e para baixo e um terço estarão indo e voltando portanto se possui um total de n partículas n sobre três vão estar fazendo exatamente o que essa partícula está fazendo esta é a pressão dessa partícula se quisesse a pressão de todas as partículas daquela parede então a pressão total na parede seria dn sobre três das partículas as outras partículas não estão batendo naquela parede então não temos que nos preocupar com elas portanto se quisermos a pressão total naquela parede ou escrever parede sob pressão a pressão total na parede será a pressão de uma partícula em me ver o quadrado sobre o volume vezes o total de número de partículas que bater na parede o número total de partículas é m dividido por três porque apenas três estavam indo naquela direção portanto a pressão total naquela parede é igual a mv ao quadrado sobre o volume de nosso recipiente vezes o total de partículas dividido por três vejamos se é possível manipular um pouco isso então se multiplicarmos ambos os lados por vejamos o que podemos fazer se multiplicássemos ambos os lados por três vias teríamos pv vezes três é igual a mv ao quadrado vezes n em que n é o número de partículas vamos dividir ambos os lados por n temos que três pv sobre na verdade não vou deixar o n ali vamos dividir ambos os lados da equação por dois então o que vamos ter temos que 3 sobre dois pv é igual a agora esse interessante é igual a eni o número de partículas que temos vezes em me ver o quadrado sobre dois lembre-se apenas dividir essa equação bem aqui por dois para obter isso e fiz isso por um motivo muito particular o que é em nível quadrados sobre 2004 sobre dois e energia cinética daquela pequena partícula que vimos no começo é a fórmula para energia cinética a energia cinética é igual a um nível quadrados sobre dois então essa energia cinética de uma partícula agora estamos multiplicando isso vezes o número total de partículas que temos vezes n então n vezes a energia cinética de uma partícula vai ser a energia cinética de todas as partículas logicamente aqui também fizemos outra suposição devo afirmar que supôs que todas as partículas estão se movimentando com a mesma velocidade e possui a mesma massa uma situação real as partículas podem ter velocidades diferentes mas essa foi uma das nossas suposições para simplificação então fizemos a suposição que todas elas são assim portanto se multiplicar a ene vezes que essa declaração aqui é energia cinética do sistema agora estamos quase lá na verdade estamos lá acabamos de estabelecer que a energia cinética do sistema é igual a 3 sobre 2 vezes a pressão vezes o volume do sistema agora qual a energia cinética do sistema é a energia interna porque dissemos que toda a energia do sistema por se tratar de um cais mono atômico ideal simples toda energia no sistema está em forma de energia cinética então poderíamos dizer que a energia interna do sistema é igual à que é apenas energia cinética total do sistema é igual a 3 sobre 2 vezes a nossa pressão total vezes nosso volume total agora você pode estar dizendo você apenas descobriu a pressão nesse lado ea pressão naquele lado e naquele lado e naquele outro lado e em todos os lados do cubo bem a pressão em todos os lados do cubo é o mesmo valor portanto tudo o que temos que fazer é encontrar a pressão de um lado e esta será basicamente a pressão do sistema então o que mais podemos fazer com isso bem sabemos que o pv é igual a nrt na nossa forma de gás ideal pv é igual a nr de onde isso é o número de mortos de gás e isso é constante de gás ideal e essa é a nossa temperatura em kelvin portanto se substituíssemos diríamos que a energia interna também pode ser descrita como 3 sobre 2 vezes um número de mortos que temos vezes a constante do gás ideal vezes a nossa temperatura agora fiz um monte de coisas e temos que utilizar um pouco de matemática mas esses resultados são interessantes porque agora temos uma relação direta se soubermos a pressão eo volume vamos saber qual é a energia interna real ou a energia cinética total do sistema ou se soubermos qual é a temperatura eo número de moléculas que temos será possível também saber qual é a energia interna do sistema e há algumas formas prontas principais que gostaria de passar se a nossa temperatura não variar em nossa situação ideal aqui se delta que foi igual a zero se isso não variar o número de partículas não vai variar então a nossa energia interna também não vai variar portanto se dissemos que há alguma variação de energia interna e utilizarmos isso em futuras demonstrações poderíamos dizer que é igual a 3 sobre 2 vezes nr vezes bem a única coisa que pode variar no número de moléculas não há constante do gás ideal vezes delta t ou poderia ter escrito também como 3 sobre 2 vezes delta pv não sabíamos essas duas constantes por isso temos de dizer avaliação do produto de qualquer forma envolver um tanto razoável de matemática peço desculpas por isso mas eu espero ter dado um pouco mais de sentido de que isso na verdade é somente a soma de todas as energias cinéticas conseguimos relacioná-la algumas dessas variáveis de macro estado como pressão volume e tempo agora que já fiz um vídeo sobre isso podemos realmente utilizar esse resultado em outras demonstrações ou pelo menos você não reclamaria muito se eu fizesse isso de qualquer forma vejo vocês no próximo vídeo