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Demonstração: Índices de volume em um ciclo de Carnot

Transcrição de vídeo

basicamente o objetivo desse vídeo é provar um resultado um tanto quanto simples e esta é a relação entre os volumes deixe me escrever isso esta é a relação entre o volume no estado b o volume no estado a então a relação desse volume com aquele volume é igual há em nosso ciclo de carne ou é igual a relação entre o volume no estado ser portanto esse volume e aquele volume então o volumes e em relação ao volume de então é isso que estou prestes a fazer para provar um resultado bastante simples que talvez seja mesmo se olharmos para isso parece certo então se você já está contente apenas saber aquilo então não precisa assistir ao resto do vídeo mas se está curioso para saber como chegamos ali incentivarei para que o assistem embora fique um pouco matemático mas creio que a parte legal disso irá deixá-lo satisfeito isso é verdade mas há outra coisa é que poderemos estudar um pouco mais os processos a diabéticos dessa forma apenas para pular para isso a prova inteira gira em torno dessa etapa aqui e dessa etapa bem aqui quando vamos de de pará então por definição um processo adiabático é aquele que não há transferência de calor assim a transferência de calor em um processo o diabético é zero então se voltarmos a definição original desde mostrá-los isso bem aqui nessa etapa nessa etapa não temos transferência de calor se voltarmos para lá adiabático estamos completamente isolados do resto do mundo não há nada para transferir calor ou receber calor então se voltarmos a nossa definição ou quase definição a nossa primeira lei da termodinâmica sabemos que a variação de energia interna é igual o calor aplicado o sistema - o trabalho realizado pelo sistema e o trabalho realizado pelo sistema é igual a pressão do sistema x alguma alteração no volume pelo menos talvez seja uma alteração muito pequeno volume enquanto a pressão é constante mas se estivermos realizando um processo quase estático podemos escrever dessa forma pressão é possível visualizá lo como sendo um tanto constante para aquela pequena alteração no volume então é isso que temos ali agora se é diabético sabemos que a 0 e se isso é zero podemos adicionar te delta ver em ambos os lados da equação então teremos aquilo e isso somente será verdade se for diabético aquele delta o nosso alteração de energia interna mas a pressão vezes alteração no volume é igual a zero e vamos ver se é possível fazer isso de alguma forma podemos fazer alguma coisa com essa equação para chegar àquele resultado que estou tentando chegar então alguns vídeos atrás provei que aquele delta ou a energia interna em qualquer ponto de se inscrever aqui a energia interna em qualquer ponto é igual a 3 sobre dois vezes n vezes r vezes te que também é igual a 3 sobre 2 vezes pv agora se tiver uma variação de energia interna o que pode mudar nesse lado alguma coisa deve ter sido alterada bem 3 sobre dois não pode variar e não pode variar não vamos alterar o número de moléculas que temos a constante universal de gás também não pode variar então a temperatura tem que variar então temos temos o delta o que poderia ser reescrito como deixe me fazer uma cor diferente delta eo poderia ser reescrito como 3 sobre 2m e zé rico e nossa variação na temperatura e é por isso que continuo dizendo aqui especialmente quando estamos lidando com uma situação na qual toda a energia interna é basicamente energia cinética que se não tivermos variação na temperatura não iríamos ter variação de energia interna da mesma forma se não tivermos uma variação de energia interna não iríamos ter uma variação na temperatura deixe me colocar isso aqui do lado vou fazer a substituição lá atrás vamos ver se é possível fazer alguma coisa com esse pt ac bem vamos recorrer a nossa equação do gás é ideal porque estamos lidando com gás ideal o pv igual a nrt você já deve ter decorado isso nesse momento então se quisermos encontrar o p temos p que é igual a nr de sobre via muito bem então vamos separar essas duas e substituí las nessa fórmula 1 então delta1 é igual a isso isso significa que 3 sobre dois e nr delta temais e e é isso aqui mas nrt sobre v vezes delta v é igual a zero interessante então o que podemos fazer daqui pra frente vou de certa forma dizer para onde vamos com isso isso me disse que a minha variação de energia interna sobre um delta teria muito pequeno e isso me disse que o resultado é realizado pelo sistema sobre o delta haver muito pequeno e estamos dizendo que sobre cada pequeno aumento eles vão adicionar até 0 deixa eu voltar para o gráfico original portanto isso está sobre um delta vê muito pequeno aqui fazer uma cor mais vibrante uma variação muito pequena conforme vamos daqui para lá teremos alguma variação no volume e não vemos a temperatura que então não tem nem imaginar quando calculamos a integral que devemos considerá la em algum dos termos da área mas vamos integrar em relação à variação da temperatura também a temperatura varia um pouco daqui até ali então o que eu quero fazer está bem aqui sobre uma pequena variação quero integrar no final das contas sobre todas as variações que ocorrem durante o nosso processo adiabático então vamos ver se é possível simplificar antes de começar o cálculo se dividirmos ambos os lados por nrt o que temos vamos dividi lo pelo nrt e pedindo pelo nrt temos que fazer isso de ambos os lados da equação nrt bem nesse caso n é cancelado bem como r aqui neste nrt cancela com esse outro nrte o que sobrou sobrou 3 sobre dois temos esse 1 sobre tv vezes um sobre te delta t mas um sobreviver e delta ver é igual a ben 10 / qualquer coisa igual a zero agora vamos integrar sobre um grupo de delta tese delta vez bem pequenos deixe me apenas mudá los para a nossa tecnologia de cálculo vamos fazer uma soma infinita sobre variações infinitesimalmente pequena no delta tv e no delta ver então vou escrever isso como 3 sobre 21 tdt mas um sobre vdv que é igual a zero lembre se isso significa apenas uma variação muito muito pequeno volume essa é uma variação muito muito pequena uma variação infinitesimalmente pequena temperatura e agora quero fazer a avaliação total na temperatura que era integrar a variação total na temperatura ea variação total no volume vamos fazer isso então quero ir sempre de onde a temperatura começa até onde a temperatura termina e aqui será de onde o nosso volume começa até onde termina muito bem vamos resolver as integrais isso tem de aparecer bastante em termodinâmica sant derivadas ante derivada de um sobre tv é o log natural de t então isso é igual a 3 sobre 2 vezes o log natural de t vamos avaliá lo na temperatura final então na temperatura inicial mas o blog natural ante derivada de um sobre ver o lago natural de ver mas o blog natural de ver calculados a partir do nosso volume final e vamos subtrair o volume inicial isso vai ser igual a zero certo quero dizer poderemos integrar ambos os lados bem se toda a variação fica esmal foi igual à soma for igual a zero a soma de todas as variações infinitas e mais também serão igual a zero então isso é igual a zero percebo que podemos fazer aqui então poderíamos reescrever esta parte verde é 3 sobre 2 vezes log natural da temperatura final tf - o log natural da temperatura inicial ts que é utilizando as propriedades de log o log natural de etf sobre o blog natural dts certo ao avaliar calculamos o homem natural de etf - o log natural dts isso é a mesma coisa disso além disso pela mesma razão o log natural do volume final vf corp na atual do volume inicial vs ao avaliar isso o log natural de ver efe - o log natural dvs pode ser simplificado disso para isso de acordo com as propriedades logarítmicas então isso é igual a 0 e agora podemos podemos utilizar no coeficiente daqui pra frente a nossas propriedades logarítmicas em vez de colocar um log natural de 3 sobre dois podemos reescrever isso como o log natural de etf sobre ets elevado 3 sobre dois agora podemos continuar com nossas propriedades logarítmicas pegamos um blog de alguma coisa mais um blog de alguma coisa que é igual o lobby do produto deles então isso é igual a vou mudar de cores o log natural de etf sobre ets elevado 3 sobre dois veja o blog natural dvf sobre vs e essa é uma prova fatigante muito bem e tudo isso será igual a zero agora o que podemos dizer bem estamos dizendo que é elevado a 0 logo natural é logo na base é elevado a 0 é igual a isso então isso deve ser um é elevado a 0 é um podemos dizer então estamos quase lá aquele tf nossa temperatura final sobre nossa temperatura inicial elevado a 3 sobre dois vejo nosso volume final sobre o nosso volume inicial é igual a um agora vamos pegar esse resultado que trabalhamos razoavelmente duro para produzir lembre-se que dissemos que estamos lidando com o processo é diabético e iniciamos do princípio para saber qual é a definição de energia interna então substituímos com os nossos resultados de pv e as fórmulas nrt embora isso fosse uma espécie de pvs energia interna em qualquer ponto que é igual a 3 sobre 2 vezes pv então integramos todas as variações e como disse esse é um processo a diabético então a variação total a soma de todas as variações na energia interna e o trabalho realizado pelo sistema tem que ser zero então utilizamos a propriedade do blog para chegar a esse resultado agora vamos fazer isso para esses dois processos a diabéticos aqui então o que poderíamos fazer para o primeiro esse aqui que iríamos do volume bpat11 volumes e até 21 assista o vídeo do ciclo de carne ou caso tenha esquecido disso isso era bebê tudo isso aqui em cima estava temperatura um tudo isso aqui em baixo estava na temperatura 2 então estamos na temperatura um aqui em cima e na temperatura dois aqui em baixo o volume c então vamos olhar para isso na parte da direita naquele processo da direita nossa temperatura final era temperatura 2 deixa de notar temperatura 2 nossa temperatura inicial era temperatura 1 onde iniciamos no ponto b e levado 3 sobre 2 vezes qual é o nosso volume final nosso volume final é o volume ser dividido pelo volume e b isso vai ser igual a um legal esse é o resultado que conseguimos desse processo adiabático temos aquela fórmula nos dizendo que este é um processo ao diabético fizemos um monte de contas então só substituímos para os nossos volumes e temperaturas iniciais e finais vamos fazer isso na mesma forma vamos de de pará então quando vamos deparar qual é a nossa temperatura final não quero que você fique som junto comigo subindo isso bem a nossa temperatura final vamos de de parar então a nossa temperatura final é t1 em nosso volume final é o volume a furtando então nossa temperatura final e t1 nossa temperatura inicial é de 2 vamos de de pará e levado a 3 sobre 2 vezes deixe me inscrever a fórmula ali nosso volume final é o volume a foi para onde nos movemos e nos movemos de nosso volume ing e isso vai ser igual a um ótimo bom estamos quase lá caso seus olhos já estejam começando a fechar mas isso é interessante e se alguma coisa bem é legal ter um pouco de matemática para acordá lo pela manhã vejamos é quase é possível relacionar essas duas coisas poderíamos definir las iguais entre si mas ainda não é muito satisfatório vamos resolver a reciprocidade dos dois lados da equação aqui então obviamente se resolvermos a reciprocidade disso e poderíamos apenas dizer que isso é ter dois sobre tem um elevado à menos 3 sobre dois é a mesma coisa que ter um sobre de 2 elevado 3 sobre dois certo essa é a reciprocidade estamos levando ambos os lados a -1 então vamos levar isso ao menos um bebê sobre vc e obtemos a reciprocidade de um que é igual a um isso ainda é igual a um isso é também igual como poderíamos dizer que é igual a isso aqui então isso é igual a ter um sobre t2 elevado 3 sobre dois vezes se vê a sobreviver de agora essas duas são iguais entre si podemos nos livrar de um esses dois bem deixe me pagar isso aqui não quero que fique o símbolo de diferente elas são iguais ambas são iguais a 1 portanto são iguais entre si isso e isso são a mesma coisa tem um sobre t2 e levado três sub 21 sobre t2 e levado 3 sobre dois então vamos dividir os dois lados por isso esses eram cancelados o que sobrou acho que já é possível ver a linha de chegada à linha de chegada está próxima temos vb sobrevivesse é igual a vi a sobreviver de agora este ainda não é o resultado que queríamos mas é preciso um pouco de aritmética simples para chegar até lá vamos multiplicar em cruz temos vb vezes ver de quem é igual a vc vezes vê a agora se dividirmos ambos os lados por ver bbc na verdade vamos fazer isso de outra forma vamos dividir os dois por v de v a vamos dividir os dois lados por v de v a o que temos esses são cancelados e esses também e ficamos como vb sobrea é igual a vc sobre ver de tudo isso para um belo e simples resultado bom bem melhor do que ter um monte de trabalho para conseguir um resultado gigantesco e bastante cabeludo então é isso que nos propusemos a provar que o vb sobrea é igual a vc sobre o dvd e conseguimos tudo isso por termos noção de que estamos lidando com o processo adiabático em que a variação de calor é zero e simplesmente chegamos a nossa fórmula ou nossa definição de variação de energia interna a primeira lei da termodinâmica que se tivermos qualquer variação de energia interna ela deverá ser igual à quantidade de trabalho realizado pelo sistema ou pelo menos uma negativa do trabalho realizado pelo sistema quando adicionamos obter 10 então utilizamos aquele resultado de alguns vídeos atrás em que dissemos que a energia interna em qualquer ponto é 3 sobre 2 vezes nrt por isso a variação de energia interna é isso vezes delta te porque a única coisa que pode variar utilizamos pv igual nrt então integramos todas essas variações pequenas na temperatura e no volume conforme movimentos por essa linha conforme nos movemos por essa linha tínhamos a integral dissemos que deveria ser igual a zero e acabamos com essa fórmula que e apenas aplicamos aos nossos dois processos a diabéticos e fomos de b para c e d pará e chegamos a esses resultados e chegamos à nossa linha de chegada bom então até o próximo vídeo até lá