Diagramas PV e trabalho de expansão

RKA3JV No último vídeo, vimos que um sistema poderia realizar trabalho ao se expandir. Na situação que ilustramos, tínhamos uma situação em que o teto era móvel. Tínhamos este pistão e, como no vídeo do nosso processo, tínhamos um monte de pedras. Removemos uma pedra, então, a pressão no nosso sistema, se pensássemos que era tão pequena que a pressão era constante, empurraria o pistão com alguma força. Descobrimos essa força, desde que pressão é força por área, apenas multiplicando pressão vezes a área do nosso pistão e obtivemos o valor de força que estávamos aplicando. Aplicamos isso e, depois, multiplicamos isso vezes a distância que empurrou o pistão para cima e obtivemos o valor de trabalho realizado pela expansão ou o trabalho de expansão. Dissemos que poderíamos ter reescrito isso. Se disséssemos pressão vezes a área, vezes distância, em vez disso, poderíamos escrever como pressão vezes a área, vezes a distância. E a área vezes a distância é a variação no volume. Então, chegamos a uma fórmula interessante, que o trabalho realizado por um sistema deveria ser escrito como a pressão vezes a variação no volume. Neste caso, eu escrevi a fórmula da energia interna, na qual temos trabalho realizado pelo sistema. Então, eu coloquei um sinal negativo, certo? Porque quando realizamos um trabalho estamos transferindo a energia para outra coisa. Então, nesta situação colocamos um sinal de menos. E ao invés de escrever trabalho, poderíamos dizer: menos a pressão vezes a variação no volume. E lembre-se, este é um processo quase estático, e fazemos isso com incrementos muito pequenos. Estamos supondo que esta variação no volume é muito pequena e que a pressão é mais ou menos constante enquanto fazemos isso. E, claro, isso não é o caso, se fizéssemos isso, se isso fosse um número de volume grande, ou se isso acontecesse de repente, se essas pedras fossem pedras bem grandes, a nossa pressão iria variar à medida que expandíssemos. Por isso, é difícil dizer qual é a pressão vezes a variação no volume. Mas, se supormos que as coisas estão sendo realmente realizadas em incrementos muito, muito, muito pequenos, poderíamos dizer: ok, vamos supor que a pressão era constante sobre o pequeno incremento, então, podemos multiplicar isso pela variação no volume. Agora, vamos ver como isso pode se relacionar com alguma coisa que vimos antes com o diagrama PV. E até agora tudo que vimos no diagrama PV, ou para o que a gente utilizava, era para meio que explicar a diferença entre os processos quase estáticos, ou melhor, quando os macroestados são definidos. Bom, mas agora eu vou fazer algo mais interessante com ele. E isso vai dar uma ideia, ou iniciar a dar uma ideia do motivo pelo qual as pessoas que estudam termodinâmica adoram tanto isso. Então, antes de fazer qualquer coisa, quando meu tambor estava aqui, com pedras sobre ele, estávamos em um estado de equilíbrio. Eu poderia descrever tudo de seus macroestados, a pressão, o volume, a temperatura. Poderia descrever também sua energia interna. Deixe-me ilustrá-lo aqui. Então, digamos que eu estava neste estado, este era o estado número 1. O estado número 1 estava bem aqui. Então, digamos que eu comecei a remover as pedras. Lembre-se, se remover todas as pedras de uma vez, o sistema vai entrar em fluxo, não estaríamos realizando um processo quase estático ou um processo reversível, que nem sempre é a mesma coisa. Mas, para os nossos processos, não estariam em equilíbrio o tempo todo e teríamos que esperar para chegar ao equilíbrio. Em um certo momento, tínhamos uma determinada pressão e o volume que estão aqui embaixo. E isso ocorreria se não estivéssemos realizando como um processo quase estático. Agora, estamos. O que mostrei no último vídeo, estamos fazendo isso, estamos tentando nos aproximar de um processo quase estático, porque estamos fazendo isso em pequenos incrementos, com essas pedras bem pequenas. Bom, e se estas aqui não são pequenas o bastante, é possível fazer com pedras menores. Então, estamos movendo de forma incremental. Por exemplo, naquele último vídeo, talvez movemos daqui, removemos uma pedra e chegamos aqui. Removemos outra pedra e fomos para cá, removemos uma outra pedra e fomos para cá. E o benefício de realizar esses processos quase estáticos é que realmente obtemos um caminho de um estado para o próximo. Digamos que quando removemos todas essas pedras, exceto uma, bem, isso descreve o nosso caminho, digamos que estamos no estado 2 e removemos todas, exceto uma. Deixe-me ilustrar isso. O estado 2 será parecido com isso. Vou desenhar isso rapidamente. Então, este é o nosso recipiente, este é o nosso pistão. Temos apenas uma pedra restante na parte superior e, é claro, temos agora o gás. Deixe-me escrever isso. Este é o estado 2, e deixe-me escrever que o estado 1 era parecido com este. Estado 1 a parte superior era mais baixa. Tínhamos um monte de pedras aqui em cima e tínhamos um volume menor, e o gás batendo muito mais na parte superior, nas paredes e no chão. Eu vou ilustrar o mesmo número. Então, tínhamos uma pressão maior, a pressão era alta e o volume era baixo. Agora, no estado 2, então, isso é pressão alta, esta é a pressão e este é o eixo, este é o volume. Tínhamos pressão alta, volume baixo e chegamos a uma situação após remover as pedras, exceto uma. Estávamos fazendo isso lentamente, por isso estávamos sempre em equilíbrio. Temos, então, um caminho. Isso depois de remover cada uma das pedras para que os macroestados de nossa pressão e volume sejam sempre bem definidos. Mas, no estado 2 agora temos uma pressão baixa e o volume alto. O volume é alto, assim como é possível de se ver, porque continuamos a empurrar o pistão para cima, bem lentamente, tentando nos manter em equilíbrio para que os macroestados estejam sempre definidos. E nossa pressão somente é mais baixa, porque poderíamos ter o mesmo número de partículas. Mas elas vão tombar nas paredes um pouco menos, uma vez que possuem um pouco mais de espaço para se movimentar. E isso é perfeitamente simples. Então, isso descreve o caminho de nosso sistema à medida que ocorreu a transição, ou à medida que experimentou este processo, que era um processo quase estático, tudo era definido a todo momento. Dissemos que o trabalho realizado pelo sistema em determinado momento é a pressão vezes a variação no volume. Agora, qual a relação com isso aqui? A variação no volume é apenas uma determinada distância ao longo deste eixo "x" ou, deveria falar ao longo do eixo do volume. Esta é uma variação no volume, começamos neste volume e digamos que quando removêssemos uma pedra chegaríamos a este volume. Agora, queremos multiplicar isso vezes a nossa pressão. Desde que fizemos isso, em relação ao incremento tão pequeno, e estamos tão próximos do equilíbrio, poderíamos supor que a nossa pressão é mais ou menos constante ao longo desse período de tempo. Então, poderíamos dizer que a pressão é constante ao longo desse período de tempo. Então, o quanto de trabalho que realizamos? A pressão é bem aqui, vezes este volume, que é a área deste retângulo bem aqui. E para vocês que assistiram aos meus vídeos de cálculo, isso pode estar começando a ficar um pouco familiar. O que ocorre quando tiramos a próxima pedra? Bem, agora a nossa pressão é um pouco menor. Esta é a nossa nova pressão, a nossa pressão é um pouco menor. E multiplicamos isso vezes a nossa alteração no volume, vezes essa variação no volume, e temos aquele incremento de trabalho. Novamente, é a área deste retângulo. E se continuarmos fazendo isso, a quantidade de trabalho que realizamos é basicamente a área de todos estes retângulos à medida que movemos cada pedra. Agora, você poderá dizer especialmente para quem não assistiu aos meus vídeos de cálculo: sabe, podemos estar nos aproximando, mas, a área destes retângulos não é exatamente a área desta curva? É um pouco inexato, há um pequeno erro aqui. O que eu diria, seria: bem, se você se preocupou com isso, o que deveria fazer é utilizar incrementos menores de volume. E se quiser obter variações menores no volume em cada etapa, o que é necessário fazer é remover pedras ainda menores e voltamos a tentar chegar àquele processo quase estático. Então, se fizer isso, consequentemente os ΔV iriam ficar cada vez menores, e os retângulos cada vez mais finos. E teríamos que fazer isso em cada vez mais etapas. Mas, consequentemente, chegaríamos a um momento, se considerássemos variações muito pequenas em nosso ΔV, no mundo dos cálculos, as variações infinitamente pequenas são representadas por "dv". Então, se somarmos todas as pressões vezes os "dv", chegaríamos à área sob essa curva. Então, a maneira de raciocinar isso ao olhar para este diagrama PV, se alguém disser estar indo deste ponto a esta pressão e este volume, para esta pressão e este volume. E, então, perguntam quanto trabalho foi realizado. Aí você diz: bem, apenas tive que descobrir a área sob essa curva. Caso queiram saber o cálculo matemático real por trás disso, caso possa obter a pressão como uma função do volume e caso não tenham assistido aos vídeos de cálculo, você pode ignorar este pequeno parêntese que abrirei aqui. Isso é essa curva bem aqui. Se você pudesse escrevê-la desta forma, digamos que fosse possível escrever a pressão como função do volume. Quando lidamos com álgebra, aprendemos que a curva é "y" em função de "x". Mas, aqui o "y" é a pressão e o "x" é o volume. Portanto, é a pressão em função do volume. A área abaixo desta curva é a integral da pressão como função do volume, que é a altura de um determinado ponto vezes a nossa variação muito pequena no volume. Portanto, vezes a nossa pequena variação no volume. E temos a soma de nosso volume inicial. Então, o nosso volume inicial ao volume final. E faremos isso no futuro, especialmente quando começarmos a falar de entropia. Mas, este é um resultado interessante. Mesmo se você não souber realizar o cálculo, ou se isso é confuso para você, se você nunca viu uma integral antes, apenas ignore. No entanto, é possível olhar para isso de forma intuitiva e perceber que o trabalho que realizei é a área sob essa curva. Agora, deixe-me fazer mais uma pergunta. Digamos que um trabalho está sendo realizado ao sistema, começamos a adicionar algumas pedras de volta. Digamos, na verdade, vamos falar que estamos vindo dessa direção. Digamos que estamos no estado 2 e vamos para aquela direção. Portanto, a direção é um fator importante. Digamos que estamos indo naquela direção bem aqui. Deixe-me colocar algumas setas. Eu não estou sobrecarregando muito essa figura. Na verdade, deixe-me fazer uma figura nova. Provavelmente é a melhor coisa a se fazer. Então, a pressão, o volume. Eu vou, na verdade, fazer os dois. Vou fazer pressão e volume. Eu vou fazer dois gráficos aqui, muito bem! Então, no primeiro é pressão, volume, pressão, volume. Começamos aqui em 1 e fomos até aqui em 2. Então, nosso sistema estava basicamente empurrando o pistão para cima, poderia ser uma curva ou uma linha. Eu não vou ser muito específico agora, mas estava indo nessa direção. E podemos dizer que o trabalho realizado era pressão vezes um aumento no volume a qualquer momento. Portanto, o trabalho realizado era a área sob essa curva. Agora, se começássemos na posição 2 e fôssemos à posição 1 (2 para 1), agora, o que está acontecendo? Agora, estamos comprimindo. Então, se estivermos indo naquela direção, você poderá pensar: tudo bem, talvez o trabalho realizado por esse sistema ainda seja uma área sobre a curva. Estamos bem próximos a isso. O que está acontecendo agora? Estamos comprimindo o sistema ou adicionando as pedras de volta. Estamos adicionando energia no sistema. Se fizermos isso, o trabalho realizado pelo sistema seria a pressão vezes o aumento no volume. Agora, será a pressão vezes a redução no volume. Quando voltarmos nessa direção, a área não será mais o trabalho realizado pelo sistema, será o trabalho realizado em relação ao sistema. Talvez seja melhor fazer isso com uma cor diferente. Verde, para o trabalho realizado pelo sistema. Agora, deixe-me mostrar uma outra ideia interessante, e essa é realmente uma ideia chave. É bom utilizar a intuição aqui. Deixe-me fazer um diagrama PV bem simples, mais uma vez. Então, digamos que começamos em algum estado aqui, estado 1. Eu faço alguma coisa, estou em processo quase estático. Algo estranho está acontecendo e chego ao estado 2 e está indo nessa direção, meu volume está aumentando. Portanto, nessa direção, qual é o trabalho realizado pelo sistema? Muito fácil, é a área sob essa curva. Agora, digamos que eu continuasse realizando algum tipo de processo quase estático, mas tomando um caminho diferente. Eu estou fazendo alguma outra coisa além de adicionar as pedras diretamente de volta. Então, o meu novo caminho parece um pouco com isso para retornar ao estado 1. Então, essas setas estão indo para trás. Agora, qual é o trabalho realizado ao sistema? Bem, meu volume está diminuindo, assim como a área sob a segunda curva. A área sob a segunda curva é o trabalho realizado ao sistema. Por isso, se quiser saber qual o trabalho líquido realizado pelo sistema, indo do estado 1 ao estado 2 e depois voltando ao estado 1, lembre-se, este é o diagrama de pressão e o volume, então, o que é isso? Bem, o trabalho que o sistema realizou foi esta área total sob esta curva marrom. Então, realizou algum trabalho ao sistema, que é a área sob essa curva magenta. Então, o trabalho líquido realizado é basicamente a área branca, a área total menos esta área vermelha. Portanto, trabalho líquido realizado seria basicamente apenas a área interna deste ciclo. E por sorte não é necessário saber cálculo para fazer isso, embora tivesse que fazer contas para calcular essas áreas. Mas, eu gostaria apenas de passar a intuição que a área dentro desse ciclo fechado é, na verdade, a quantidade de trabalho que nosso sistema realizou. O mais importante é a direção que está indo. Então, o volume aumentou aqui e diminuiu aqui. Portanto, é uma espécie de movimento em um sentido horário. Este é o trabalho realizado pelo nosso sistema que, não sei, para mim é algo interessante. Posteriormente, podemos utilizar esse movimento para pensar em algumas outras ideias por trás de nossas variáveis de estado. Abrirei um pequeno parêntese aqui. Lembre-se, nossa variável de estado, pressão e volume, fizemos algumas coisas com ele e depois retornamos aquele estado. Isso continuou o mesmo. E quero dizer outra coisa, para nossos objetivos, quando lidamos com gases ideais, em que a energia interna é basicamente a energia cinética do sistema, se fôssemos lá e fizéssemos todos os tipos de coisas malucas e voltássemos, a nossa energia interna não iria variar. Portanto, a energia interna será sempre a mesma neste momento. Então, se eu disser que fiz todas essas coisas aqui e voltei aqui, qual é a minha variação na energia interna? A variação é zero. Agora, se dissesse que tinha ido daqui até aqui, teria uma energia interna diferente e minha variação seria algo real. Mas, já que esta é uma função de estado, não importa como cheguei ali. Se pegar todos esses ciclos e retornar ali, significa apenas que, veja bem, se eu estou neste ponto do diagrama PV, minha energia interna é a mesma coisa. Então, se começar neste ponto e acabar neste ponto novamente, não terei tido nenhuma variação na energia interna. Bom, falaremos mais sobre isso no próximo vídeo. Mas, eu gostaria apenas de ficar por aqui e passar essa intuição por trás das áreas sob as curvas no diagrama PV.