Trabalho feito por processo isotérmico

RKA1JV Vamos começar com um sistema clássico que uso sempre, isso porque esse sistema mostrou-se muito útil para o ensino. Este é também um sistema mais usado em sala de aula. Esperamos que isso seja produtivo para você e seu trabalho escolar. Portanto, tem esse recipiente com um pistão móvel em cima ou uma parte superior móvel e, claro, dentro do sistema há muitas moléculas ou átomos saltitantes, criando uma pressão sobre o sistema. Digamos que haja uma pressão "P₁", este volume aqui vamos chamá-lo de "V₁" e digamos que haja também essa temperatura inicial, tudo está em equilíbrio. Lembre-se de que esses são macroestados, a única maneira de determinar o volume, a pressão ou a temperatura é se o sistema estiver em equilíbrio, se tudo nele for uniforme, se a temperatura for constante em todo o sistema. E, a fim de manter o pistão para baixo, eu tenho que colocar algumas pedras em cima, eu já fiz isso em vários processos até agora e, claro, estou fazendo essas pedras bem pequenininhas porque elas serão removidas lentamente, porque eu quero aproximar-me de um processo quase estático ou de um sistema que esteja sempre perto o suficiente do equilíbrio e que me permita definir os macroestados, a pressão, a temperatura ou volume, vou colocar "V" para volume. Neste vídeo, vou estudar o que é chamado de processo isotérmico, isso significa que a temperatura será mantida sempre a mesma, "iso" significa o mesmo, você provavelmente se lembra de quando estudamos a tabela periódica, os isótopos são os mesmos elementos, mas com números de massa diferentes, portanto, essa é a mesma temperatura em que o processo será executado. Minha pergunta é: como podemos fazer isso? Ao remover as pedrinhas, o que vai acontecer? Se eu fizesse isso sem qualquer, se eu fosse, digamos, completamente isolado do mundo, na verdade, eu vou incluir uma palavra bem aqui, se fosse um processo adiabático, se fosse adiabático, é uma palavra bem requintada. Isso significa completamente isolado no mundo, portanto, não há calor entrando ou saindo desse sistema. Se esse fosse o caso, o que aconteceria se eu liberar ou remover algumas dessas pequenas partículas? Bom, vou copiá-lo e colá-lo, na verdade, vou refazer o desenho, tem uma parede, tem outra parede, tem outra parede e ao retirar algumas pedrinhas, uma de cada vez, o volume vai aumentar. Portanto, o volume será ligeiramente maior, o volume vai aumentar. Agora, tem menos pedrinhas aqui e como o número de moléculas é o mesmo, elas irão se chocar nesse recipiente muito menos, portanto, a pressão diminuirá e o volume aumentará. E se o sistema fosse adiabático, se não houvesse calor adicional ou adicionado ao sistema, o que vai acontecer com a temperatura? Pense nisso dessa maneira: foi realizado o trabalho, inicialmente, a parte superior estava, talvez, nesse ponto aqui, ela foi empurrada para cima com alguma força por alguma distância, portanto foi realizado o trabalho, dessa forma, mudamos alguma energia cinética ou transferimos alguma energia cinética para fora do sistema. Basicamente, foi isso que o trabalho realizou, a energia cinética foi transformada em trabalho. A temperatura nada mais é do que a medida macro da energia cinética média. Na verdade, nós apenas, não vou falar sobre isso, mas, no último vídeo, a demonstração desejada, se você não assistiu porque não quis ver a parte de matemática, é mais do que justo, porque, geralmente, isso não seria feito em um curso introdutório de Química. Eu mostrei que a energia interna é igual a energia cinética total que foi igual a 3 sobre 2 vezes o número de mols vezes "R", vezes a temperatura. Dessa forma, a temperatura nada mais é, por algum fator de escala, que uma medida da energia cinética. Ao realizar algum trabalho é, basicamente, uma transferência de energia cinética, essa energia cinética não pode ser substituída pelo calor porque o sistema é adiabático, não há calor entrando ou saindo do sistema. Nesta situação, a energia cinética do sistema diminuiu, a energia cinética média do sistema diminuiu, a temperatura também teria diminuído e, na verdade, apenas como um bônus, o que aconteceu com a energia interna? A energia interna é a energia cinética total do sistema, e eu poderia escrever a fórmula original. A variação em energia interna é igual variação, não vou fazer isso porque eu disse que não deveria, é igual ao calor adicional do sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Esse é trabalho realizado pelo sistema, é por isso que é subtraído, o sistema é adiabático, portanto, não há calor adicionado ao sistema, a variação em energia interna é igual a menos o trabalho realizado pelo sistema. Nessa situação, o sistema realizou o trabalho, ele empurrou esse pistão para cima por alguma distância com alguma força, portanto, o Δu é negativo, é inferior a zero, o "u" diminuiu e isso faz sentido. Se houvesse variação em temperatura, então haverá variação em energia interna, e, para o nosso sistema simples, no qual a energia interna é representada pela energia cinética dessas moléculas, isso será sempre válido, sem variação em temperatura, não haverá variação em energia interna. Se a temperatura aumentar, a energia interna aumenta, se a temperatura diminuir, a energia interna diminui, mas, claro, elas não são a mesma coisa, a diferença entre a energia interna e a temperatura é o fator de escala, 3 sobre 2 vezes o número de moléculas, vezes a constante do gás ideal. Muito bem, eu fiz todo esse exercício apenas para mostrar-lhe que, se o sistema fosse completamente isolado e se algumas dessas pedrinhas fossem removidas, a temperatura diminuiria, eu já lhe disse que quero fazer um processo isotérmico, quero manter esse processo mantendo a temperatura a mesma, então, como posso fazer isso? O que vou fazer é colocar meu sistema em cima do que chamamos de reservatório. Um reservatório que pode ser visto como uma quantidade infinitamente grande de algo que está em uma temperatura igual com a do início, portanto, esse é o reservatório T₁, mesmo se eu pegasse duas coisas relativas de tamanho comparável. Digamos, temperatura "A", e essa é a temperatura "B" e coloquei-as uma ao lado da outra, será atingido uma média, "A" mais "B" dividido por 2, independentemente do valor das temperaturas, mas se "B" for enorme, se "A" for apenas uma partícula minúscula, digamos que seja pó de ferro, enquanto "B" é a Torre Eiffel, então, basicamente, a temperatura "B" não variará muito, a temperatura "A" vai se tornar temperatura "B", um reservatório é teoricamente infinitamente grande. Se algo estiver ao lado de um reservatório e passar tempo suficiente, ele assumirá sempre o calor do reservatório ou a temperatura do reservatório, o que vai acontecer? O sistema é adiabático, mas agora ele está colocado próximo a um reservatório, então, isso não acontecerá, a situação adiabática não acontecerá, haverá uma situação na qual a temperatura será mantida a mesma. Como poderíamos representar isso no diagrama PV? Vou desenhar aqui um diagrama PV. Essa é a pressão, esse é o volume e este é o ponto de partida, bem aqui. Estou dizendo que se eu fizer um processo isotérmico, ou seja, eu fico removendo essas pedrinhas, começamos nesse estado bem aqui, vou copiar e colá-lo, porque já fiz muita arte aqui. Portanto, vamos desse ponto para esse ponto, no qual estou removendo algumas partículas, digamos que eu tenha removido algumas delas aqui e, por causa disso, o volume aumentou, digamos que o volume não esteja mais ali, digamos que seja um pouco maior, digamos que o volume tenha se expandido um pouco porque algumas partículas foram removidas, que o mantém para baixo. É como o processo adiabático, mas em vez de diminuir, a temperatura se mantém em "T₁", a temperatura se mantém em "T₁" o tempo inteiro devido à proximidade com essa coisa teórica chamada de reservatório. Por isso, vou movimentar-me ao longo do que vamos chamar de isoterma e esse é o primeiro estado. No final, estarei provavelmente em algum ponto aqui, esse é o segundo estado, portanto esse é o segundo estado e esse é o primeiro estado. O que estou dizendo é que o movimento entre esses dois estados será uma hipérbole retangular, ou pelo menos parte dele. Se eu fosse adicionar pedras ao pistão para comprimi-lo, eu afirmo que o diagrama PV ficaria assim. Se eu continuasse a remover pedras neste diagrama, eu afirmo que o diagrama PV ficaria assim. Então o que podemos intuir? Se a temperatura continuar constante, basicamente, o movimento será ao longo dessa hipérbole. Vamos pegar a fórmula do gás ideal. Vou separar essas coisas aqui, se eu pegar a fórmula do gás ideal, PV = nRT. Se "T" for constante, sabemos que "R" é uma constante, a constante do gás ideal, sabemos que o número de mols de partículas não varia, isso significa que PV é igual a uma constante, tudo isso é igual a uma constante. Então, se quiséssemos escrever "P" como uma função de "V", teríamos que escrever "P" é igual a "K" sobre "V", isso pode não lhe parecer totalmente familiar, mas, se eu escrever essa forma em termos algébricos, se eu lhe pedir para fazer o gráfico de "y" é igual a 1 sobre "x", isso se parece com o quê? Essa hipérbole retangular. isso se parece com isso, esse é o eixo "y" e esse é o eixo "x", pelo menos nesse quadrante se parece com isso, também se parece com isso no terceiro quadrante, mas não vamos nos preocupar demais com isso. Sempre que a temperatura se mantiver constante, estamos em uma hipérbole retangular como esta, como uma isoterma. Se a temperatura fosse uma temperatura diferente, se a temperatura fosse mais baixa, estaríamos em uma isoterma diferente, estaria em uma isoterma que seria assim, talvez aqui. Seria também uma hipérbole retangular, mas a um estado inferior, por que isso? Porque uma temperatura mais baixa para qualquer volume, a pressão deveria ser mais baixa e isso funciona, por isso que esta é uma temperatura T₂ que é inferior a T₁. Quero fazer algumas coisas neste vídeo, eu te expliquei inadvertidamente o que é um processo adiabático e porque a temperatura diminuiria, naturalmente, se não houver esse reservatório aqui. Mas, a razão pela qual pensei em fazer este vídeo, é que eu queria que você se sentisse confortável com essa ideia de que, primeiro, um reservatório irá assegurar um estado isotérmico, ele irá manter a mesma temperatura, e que, se você mantiver a mesma temperatura, o movimento será ao longo dessa isoterma, dessas hipérboles retangulares e cada temperatura é associada a uma isoterma. Se eu for considerar isso, vamos fazer mais um passo, vamos pensar no trabalho real realizado durante um movimento desse estado para esse estado, ou, se você quiser visualizar isso a partir da lenta remoção das pedrinhas, com esse reservatório aqui embaixo o tempo inteiro, desse estado para esse estado no qual o volume aumentou e a pressão diminuiu, mas a temperatura permaneceu a mesma o tempo inteiro. Vários vídeos atrás aprendemos que o trabalho realizado é a área sobre esse gráfico, é a área sobre esse gráfico, ou, se quisermos usar o cálculo, estou prestes a fazer o cálculo, por isso, se você não quiser ver o cálculo é melhor cobrir seus olhos e ouvidos, seria a integral, e até o final desse vídeo vamos fazer um pouco mais de matemática. E acho que essa especificação deveria ser feita no título do vídeo, mas, se eu quiser calcular essa área, agora eu posso fazê-lo. A suposição de que haja uma isotérmica facilita a nossa matemática, porque sabemos que PV = nRT. A lei do gás ideal. Poderíamos dizer que "P", se dividirmos os dois lados por "V", é igual a "nRT" dividido por "V", portanto temos isso: "P" como uma função de "V". Essa função bem aqui, esse gráfico bem aqui é esse, poderíamos escrever "P" como uma função de "V" é igual a "nRT" sobre "V". Portanto, se queremos determinar a área sobre a curva, basta integrar essa função de "V₁" inicial para "V₂" final. Então, qual será o resultado? Vamos integrar de "V₁" para "V₂". Na verdade, isso não deveria ser um "=", o trabalho vai ser a integral de "V₁" para "V₂" vezes nossa função, "P" como uma função de "V" vezes "dv". Estamos somando todos esses pequenos retângulos, fizemos isso alguns vídeos atrás, então, quanto é "P" como uma função de "V"? Portanto, o trabalho realizado é igual a, de "V₁" para "V₂", "nRT" sobre "V" vezes "dv". Essa é a nossa hipótese simplificadora, dissemos que estamos em cima de um reservatório e que esse reservatório mantém a temperatura a mesma o tempo inteiro. Bom, vamos aprender, daqui a pouco, isso é possível através da transferência de calor para o sistema, vamos calcular, agora, quanto calor está sendo transferido para o sistema. Se olharmos para isso bem aqui, a temperatura, já que a hipótese é que estamos em uma isoterma, é uma constante, "n" e "R" são, com certeza, constantes. Podemos reescrever essa integral como a integral de "V₁" para "V₂" de 1 sobre "V", "dv", ou então, poderíamos colocar o "nRT" aqui, eu deveria ter feito isso antes, "nRT" nada mais é do que um termo constante. Qual é a uma primitiva de 1 sobre "V"? É o logaritmo natural de "V". Portanto, o trabalho é igual a "nRT" vezes o logaritmo natural, esta é a primitiva de "V" calculado em "V₂" menos "V" calculado em V₁, e isso é igual a "nRT" vezes, calculado em "V₂", ou seja, o logaritmo natural de "V₂" menos o logaritmo natural de "V₁". Das propriedades dos logaritmos, sabemos que isso significa "nRT" vezes o logaritmo natural de "V₂" sobre "V₁". É isso, calculamos o valor real, sabemos o volume inicial e o volume final, podemos, de fato, determinar o trabalho realizado nesse processo isotérmico, O trabalho realizado nesse processo isotérmico é a área sob essa curva, e determinamos o que significa isso. Ao empurrar esse pistão, obtemos o "nRT", isto é, o número de mols, a constante do gás ideal, e a temperatura do recipiente embaixo, seria "T₁" nesse caso, e o logaritmo natural do volume final dividido pelo volume inicial. Vou fazer agora uma pergunta complementar. Quanto calor foi colocado no sistema por essa isoterma? Foi colocado calor para manter a temperatura alta, caso contrário, a temperatura teria diminuído, o calor estava entrando no sistema o tempo inteiro. Qual foi a quantidade de calor? Por ser uma isoterma e porque a temperatura não sofreu variações, o que sabemos sobre a energia interna? A energia interna sofreu variações? A temperatura não sofreu variações, o que significa que a energia cinética não sofreu variações. Se a energia cinética não sofreu variações, então, a energia interna também não sofreu variações, e sabemos que a variação da energia interna é igual ao calor aplicado ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Bom, se isso for igual a zero, sabemos que isso não sofreu alterações, porque a temperatura não sofreu alterações. Isso significa que zero é igual a "Q" menos o trabalho realizado pelo sistema, ou que "Q" é igual a trabalho realizado pelo sistema. Portanto, esse é o trabalho realizado pelo sistema, o resultado será em joules, e isso também é igual ao calor aplicado ao sistema, é também igual a "Q". Ao olhar para isso, se desenhássemos essa parte da curva, vou desenhar de novo para que as coisas fiquem bem claras, quero lhe mostrar um pouco da convenção que as pessoas no mundo da Termodinâmica tendem a aplicar. Vou fazer um desenho bem claro aqui. Começamos aqui no estado 1, e nos movimentamos ao longo dessa hipérbole retangular, que é uma isoterma, para o estado 2. Calculamos a área sob essa curva, que é o trabalho realizado, que foi esse valor bem aqui. Vou escrevê-lo ali, é "nRT", logaritmo natural de "V₁" sobre "V₂", este é de "V₂", este é "V₁". Esse eixo interno, lembre-se, foi o eixo "V", o eixo do volume, esse eixo aqui foi o eixo da pressão. A convenção é que, por ter realizado trabalho em uma temperatura constante, a energia interna não sofreu variações, foi necessário adicionar energia ao sistema para compensar o trabalho realizado, algum calor deve ter sido adicionado ao sistema. Em seguida, eles colocaram essa pequena seta aqui para baixo e escreveram um "Q" bem ali, portanto, algum calor foi adicionado ao sistema durante esse processo isotérmico. A quantidade exata de calor foi aplicada ao sistema de acordo com o trabalho realizado e, por causa disso, a energia interna não sofreu alterações, ou, pode-se dizer que a temperatura não sofreu alterações ou vice-versa. Por que a temperatura não sofreu alterações? É necessário que essas duas coisas sejam iguais. Bom, eu vou parar aqui, eu espero que você tenha noção de como funcionam os diagramas PV e que tenha noção do que isotermas e adiabáticos querem dizer. A coisa mais importante é que, ao usar um pouco de matemática, esse resultado pode ser útil para apresentar outras coisas interessantes sobre muitos desses sistemas térmicos com os quais estamos trabalhando. Até o próximo vídeo!