Em um gás, há muitas moléculas viajando em muitas diferentes velocidades. Aqui está um modelo para pensar sobre isso.

O que é a distribuição de Maxwell-Boltzmann?

As moléculas de ar ao nosso redor não estão se deslocando à mesma velocidade, mesmo que todo o ar esteja a uma única temperatura. Algumas das moléculas de ar se movem extremamente rápido, algumas se movem com velocidades médias, e outras praticamente não se movem. Por isso, não podemos fazer perguntas do tipo "qual é a velocidade de uma molécula de um gás?", porque uma molécula em um gás pode ter qualquer uma dentre diversas velocidades possíveis.
Então, ao invés de perguntar sobre uma molécula de gás específica, fazemos perguntas como, "qual é a distribuição de velocidades em um gás a uma certa temperatura?" No final dos anos 1800, James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann descobriram a resposta para essa pergunta. O resultado que eles obtiveram é chamado de distribuição de Maxwell-Boltzmann, porque mostra como as velocidades das moléculas são distribuídas em um gás ideal. A distribuição de Maxwell-Boltzmann geralmente é representada com o gráfico a seguir.
O eixo y do gráfico de Maxwell-Boltzmann pode ser visto como o número de moléculas por unidade de velocidade. Então, se o gráfico está mais alto em uma dada região, significa que há mais moléculas de gás se movendo com aquelas velocidades.
Observe que o gráfico não é simétrico. Há uma "cauda" mais longa na região das altas velocidades, na extremidade direita do gráfico. O gráfico continua à direita para velocidades extremamente altas, mas à esquerda o gráfico deve terminar em zero (já que uma molécula não pode ter uma velocidade menor que zero).
A equação matemática real da distribuição de Maxwell-Boltzmann é um pouco assustadora, e normalmente não é necessária em muitas aulas de introdução à álgebra.

O que significa raiz da velocidade quadrática média?

Você pode achar que a velocidade localizada diretamente abaixo do pico do gráfico de Maxwell-Boltzmann é a velocidade média das moléculas do gás, mas isso não é verdade. A velocidade localizada diretamente abaixo do pico é a velocidade mais provvel aˊvp\redD{ \text{velocidade mais provável } v_{p}}, já que é mais provável que encontremos moléculas a essa velocidade.
A velocidade mdia eˊvmed\blueD{ \text{velocidade média } v_{med}} das moléculas do gás está, na verdade, localizada um pouco à direita do pico, devido à "cauda" maior no lado direito do gráfico de distribuição de Maxwell-Boltzmann. Essa cauda mais longa puxa a velocidade média um pouco para a direita do pico do gráfico.
Outra grandeza útil é conhecida como raiz da velocidade quadrtica mdia aˊeˊvrms\greenD{ \text{raiz da velocidade quadrática média } v_{rms}}. Essa grandeza é interessante porque sua definição está escondida no próprio nome. Raiz da velocidade quadrática média é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades vetoriais. Podemos escrever a raiz da velocidade quadrática média matematicamente como
vrms=1N(v12+v22+v32+...)v_{rms}=\sqrt {\dfrac{1}{N}(v_1^2+v_2^2+v_3^2+...)}
Pode parecer que essa técnica de encontrar um valor médio é desnecessariamente complicada, já que elevamos todas as velocidades vetoriais ao quadrado somente para tirar a raiz quadrada depois. Você pode pensar, "Por que não podemos simplesmente tirar uma média das velocidades vetoriais?", mas lembre-se de que a velocidade vetorial é um vetor e tem uma direção. A velocidade vetorial média das moléculas de gás é zero, já que há tanto moléculas de gás indo para a direita (velocidade vetorial +) quanto para a esquerda (velocidade vetorial -). É por isso que primeiro elevamos as velocidades vetoriais ao quadrado, para torná-las positivas. Isso garante que tirar a média (isto é, o valor médio) não resultará em zero. Os físicos geralmente usam esse truque para encontrar valores médios de grandezas que podem receber valores positivos e negativos (por exemplo, a tensão e a corrente em um circuito de corrente alternada).
Devemos observar que todas essas três grandezas (vp\redD{v_{p}}, vmed\blueD{v_{med}}, and vrms\greenD{v_{rms}}) são bastante grandes, mesmo para um gás em temperatura ambiente. Por exemplo, o gás neon em temperatura ambiente (293 K293\text{ K}) tem uma velocidade mais provável, velocidade média e raiz da velocidade quadrática média de cerca de
vp=491ms\redD{v_p}=491\dfrac{\text m}{\text s}\qquad (ou 1100mihr)1100 \dfrac{\text{mi}}{\text{hr}})
vavg=554ms\blueD{v_{avg}}=554\dfrac{\text m}{\text s}\quad (ou 1240mihr)1240 \dfrac{\text{mi}}{\text{hr}})
vrms=602ms\greenD{v_{rms}}=602\dfrac{\text m}{\text s}\qquad (ou 1350mihr)1350\dfrac{\text{mi}}{\text{hr}})

O que a área abaixo de uma distribuição de Maxwell-Boltzmann representa?

O eixo y do gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann dá o número de moléculas por unidade de velocidade. A área total sob toda a curva é igual ao número total de moléculas no gás.
Se aquecermos o gás a uma temperatura maior, o pico do gráfico vai se deslocar para a direita (já que a velocidade molecular média vai aumentar). Conforme o gráfico se desloca para a direita, sua altura diminui para manter a mesma área total sob a curva. Da mesma forma, conforme o gás é resfriado para uma temperatura menor, o pico do gráfico é deslocado para a esquerda. Conforme o gráfico se desloca para a esquerda, sua altura aumenta para manter a mesma área sob a curva. Isso pode ser visto nas curvas abaixo, que representam a amostra de gás (com um número constante de moléculas) a temperaturas diferentes.
Conforme o gás fica mais frio, o gráfico fica mais alto e mais estreito. Da mesma forma, conforme o gás fica mais quente, o gráfico fica mais baixo e mais largo. Isso é necessário para que a área sob a curva (por exemplo, o número total de moléculas) permaneça constante.
Se mais moléculas fossem inseridas na amostra, a área total sob a curva aumentaria. Da mesma forma, se moléculas fossem retiradas da amostra, a área total sob a curva diminuiria.

Como são os exemplos resolvidos envolvendo a distribuição de Maxwell-Boltzmann?

Exemplo 1: Esfriando um gás

Um gás de nitrogênio diatômico está fechado em um contêiner. O contêiner lacrado é colocado em uma banheira de gelo e atinge uma temperatura de equilíbrio menor devido ao banho de gelo.
O que acontece com as seguintes grandezas conforme o gás esfria? (selecione duas afirmativas corretas)

Exemplo 2: Variação no gás

Um gás tem uma distribuição de velocidades da seguinte forma:
Qual das seguintes séries de ações poderia fazer o gráfico de distribuição mudar da curva 1 para a curva 2, como mostrado abaixo?
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