Relacionando variáveis de movimento angular e regular

RKA8JV - No vídeo anterior, nós definimos as novas variáveis relacionadas ao movimento circular. E nós podemos vê-las nesta bola de tênis amarrada a uma corda descrevendo um movimento circular. Todos os pontos da corda, incluindo a bola de tênis, terão o mesmo deslocamento angular, a mesma velocidade angular e a mesma aceleração angular. Entretanto, podemos ter situações em que é necessário calcular os valores das variáveis relacionadas ao movimento linear desta bola de tênis por exemplo, e por isso, vamos estudar como relacionar as variáveis angulares com as lineares. A ideia deste vídeo é justamente esta, verificar como podemos usar os valores das variáveis angulares, ou seja, do movimento circular, neste caso, com as variáveis relacionadas no movimento linear. Vamos começar com a mais simples das variáveis, que é o deslocamento angular representado por Δθ, que indica exatamente o ângulo percorrido no movimento circular, neste caso, efetuado pela bola de tênis. Na Física, nós optamos tipicamente por medir o Δθ em radianos por razões que veremos logo mais. Como eu converto isto em uma variável de movimento linear? E qual seria essa variável? Uma vez que estamos falando do deslocamento angular, vamos relacioná-la com o deslocamento linear. Mas deixe-me esclarecer que agora não estamos olhando exatamente para o vetor deslocamento, que seria este aqui, uma vez que a bola saiu daquele ponto e veio parar neste. O vetor deslocamento seria este que você está vendo aqui. Para calculá-lo precisaríamos da lei dos cossenos e algumas contas, e em geral ele não é tão usual de ser trabalhado quanto outra ideia, que é a seguinte: o comprimento do arco percorrido pela bola neste movimento. O comprimento do arco, ou seja, o comprimento deste trajeto que a bola fez neste trecho de movimento circular, é muito mais usual, muito mais importante, em uma variedade grande de problemas envolvendo estas situações. A melhor notícia é que ele é muito mais fácil de calcular em relação ao vetor deslocamento linear. A variável usada para o comprimento do arco muitas vezes é "L", outras vezes é "S". Eu vou usar "S", como nós estamos acostumados no movimento retilíneo. Você pode pensar que é um pouco difícil calcular este valor, mas não é. Agora, entra a razão pela qual usamos radianos para a medida do deslocamento angular. Para calcular "S", basta tomar o raio do movimento circular, que neste caso é justamente o comprimento da corda, e multiplicar pela medida do deslocamento angular, medida em radianos. Por isso fica muito fácil encontrar "S" quando Δθ está medido em radianos. Ou seja, ao multiplicar o raio do movimento pelo deslocamento angular medido em radianos, nós sabemos quantos metros o objeto se deslocou percorrendo o arco que estamos destacando aqui. Isso parece meio milagroso, mas não é, isso funciona muito bem justamente pela maneira como o radiano é definido. 1 radiano é definido pelo ângulo que se determina ao viajar sobre o arco da circunferência, o tamanho exatamente de 1 raio. E esta é a razão pela qual fica muito fácil optar pelo radiano para medir o deslocamento angular e relacionar essa medida com o deslocamento linear. Aqui, a unidade que teremos para o comprimido do arco, ou seja, para o deslocamento sobre ele, é metros. Então, já temos a primeira relação, entre o deslocamento angular e deslocamento linear, ou seja, qual ângulo foi deslocado no movimento circular em relação a quantos metros esse objeto se deslocou em torno do arco definido na situação. A próxima relação envolve a velocidade angular e a velocidade linear. No vídeo anterior, definimos a velocidade angular como o deslocamento angular dividido por tempo. Representamos essa velocidade angular pela letra "ω". A velocidade angular é a taxa de qual deslocamento angular nós temos por unidade de tempo. Quanto maior a velocidade angular mais rápido esse objeto está descrevendo o movimento circular, e uma velocidade angular menor determina que o objeto está descrevendo o movimento mais lentamente. É fácil perceber que existe então uma relação entre a velocidade angular e a velocidade linear do objeto, porque quanto mais rápido ele gira, mais rápido ele percorre o mesmo tanto do arco da circunferência. Mas qual é essa relação? A única coisa que precisamos fazer é transformar este número, que representa o "ω", que está rad/s, para um número em m/s, que é justamente o que representa a velocidade linear. Basta tomar esta equação e multiplicar os dois lados por "R", que é o raio. Vamos ter Rω = RΔθ/Δt. Mas observe que RΔθ é justamente o comprimento do arco descrito na situação que estamos estudando, ou seja, "S", e ainda está dividido por Δt. Mas "S", que é o comprimento do arco descrito dividido por Δt é justamente a velocidade que o objeto tem ao percorrer este comprimento de arco em um intervalo de tempo, ou seja, ΔS/Δt = V, que é a velocidade linear. E observe que não estamos falando do vetor velocidade, porque nós não usamos o vetor deslocamento para calculá-la, nós verificamos quantos metros ele percorreu nesta trajetória circular por unidade de tempo. Estamos falando da distância que o objeto viajou dividida pelo tempo. Bom, enfim, o que temos aqui é que Rω = V, ou seja, a velocidade escalar deste objeto nessa trajetória circular é igual a Rω. Essas duas relações são muito importantes. Vamos destacar aqui. A primeira relaciona o número de radianos descritos pelo movimento do objeto e quantos metros ele percorreu na borda e da circunferência que ele está descrevendo. Esta fórmula aqui abaixo relaciona a velocidade angular "ω" com a velocidade escalar do objeto nesta trajetória circular que ele descreve, ou seja, relaciona o número de rad/s com que ele está rotacionando com o número de m/s que ele percorre nesta trajetória. Agora que já relacionamos os deslocamentos e as velocidades, vamos olhar para as acelerações. A aceleração angular, indicada pela letra grega "α", foi definida como a variação da velocidade angular Δω por unidade de tempo, dividido por Δt. No caso aqui da bola de tênis, se ela se move com velocidade angular constante, "α" é zero porque não há variação da velocidade angular. Mas, se inicialmente a velocidade angular é pequena e depois começa a ficar maior e maior, nós temos uma aceleração angular diferente de zero. Agora, o que precisamos ver é como relacionar a aceleração angular com a aceleração no contexto linear. Você já pode supor que vamos utilizar o mesmo truque que utilizamos para obter a relação entre as velocidades aqui para a relação entre as acelerações. Vamos pegar esta equação e multiplicar os dois lados por "R". Vamos ficar com "R vezes α", que é a aceleração angular, igual a RΔω/Δt. Agora basta observar do lado direito, RΔω, e isso é a mesma coisa que "R vezes (ω final - ω inicial)". Isto é a variação da velocidade angular. Tudo isto dividido por Δt. Se fizermos a distribuição do "R", vamos ter "R vezes ω final" menos "R vezes ω inicial", tudo dividido por Δt. Mas nós já sabemos que Rω é a velocidade escalar, então, "R vezes ω final" é a velocidade escalar final, menos a velocidade escalar inicial, que vemos no "R vezes ω inicial". Temos então, portanto, a velocidade escalar final menos a inicial dividido por Δt. Ora, mas o que temos aqui então é a variação da velocidade escalar pela variação do tempo, e isto é nada mais nada menos que a aceleração no contexto linear. Mas temos que ter cuidado, porque não estamos falando simplesmente do vetor aceleração, estamos falando da aceleração escalar. A aceleração vetorial que encontraríamos na bola de tênis descrevendo este movimento teria que envolver os vetores deslocamento e velocidade. Nós vimos que não estamos fazendo isso, ok? Estamos considerando apenas a variação da magnitude da velocidade, do módulo a velocidade, por unidade de tempo para definir a aceleração linear aqui, ou seja, a aceleração escalar. Aqui, isso tudo pode ficar um pouquinho confuso, deixe-me tentar esclarecer. Se esta bola de tênis está rotacionando, descrevendo uma circunferência, o simples fato desta bola estar rotacionando em torno do centro da circunferência significa que ela tem uma aceleração. Mesmo que o módulo da velocidade não sofra alterações, mas a direção da velocidade está sofrendo alterações, então, vetorialmente, nós temos uma variação de velocidade, portanto, existe ali uma aceleração não nula. E essa aceleração existe justamente pela força centrípeta, que é o que "puxa" a bola de tênis para mantê-la no movimento circular. Essa aceleração centrípeta não é a aceleração de que estamos tratando escalarmente aqui nestas equações. Nós sabemos que a aceleração centrípeta tem direção do raio apontando para o centro da trajetória. Inclusive, essa aceleração centrípeta é calculada em cada ponto como a velocidade elevada ao quadrado dividido por "R". A aceleração centrípeta é a componente da aceleração responsável por fazer a direção da velocidade do objeto mudar. Tudo que está em movimento circular está sujeito a uma aceleração centrípeta, que é, novamente, aquela que faz com que a velocidade mude de direção. Mas voltando aqui às nossas equações, o que temos aqui é a aceleração escalar, e observe, se a bola de tênis estiver em um movimento circular uniforme, o módulo da velocidade linear dela não se altera, portanto, a aceleração escalar é zero. Como é que eu posso representar este "a" aqui no desenho? Eu o represento na direção tangente à circunferência no ponto onde eu estou analisando o movimento. Aqui podemos visualizar que a componente da aceleração que é perpendicular ao vetor velocidade naquele ponto, determina a mudança de direção da velocidade, que é justamente a aceleração centrípeta. Entretanto, a componente paralela à direção da velocidade naquele ponto faz com que o módulo da velocidade seja alterado, e é dessa aceleração, do módulo dessa aceleração que nós estamos falando nestas equações. Evidentemente, o sentido da aceleração determina se o módulo da velocidade vai aumentar ou diminuir. Se o sentido da aceleração é o mesmo da velocidade, a velocidade será aumentada, o módulo da velocidade será aumentado, porém, se a aceleração tiver sentido oposto ao sentido da velocidade, a velocidade será diminuída, nós estaríamos freando o objeto. E é justamente sobre essa aceleração que estamos falando nas nossas equações aqui, e ela é chamada de aceleração tangencial. A aceleração tangencial então é Rα, que é a componente da aceleração que faz variar o módulo da velocidade linear do objeto no movimento circular. Vou destacar aqui. Esta é a fórmula da aceleração tangencial relacionando-se com a aceleração angular do movimento circular. Ao trabalhar com essas acelerações, pode ser que você queira calcular a aceleração total do objeto em questão, e para isso, basta usar o teorema de Pitágoras. Já que a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta são perpendiculares, então, teríamos aceleração total ao quadrado igual à aceleração tangencial ao quadrado mais a aceleração centrípeta ao quadrado, o teorema de Pitágoras. Olhando vetorialmente, qual seria a direção da aceleração total? Vamos analisar supondo que não temos a aceleração tangencial diminuindo o módulo da velocidade, mas aqui, aumentando o módulo da velocidade perpendicular à aceleração centrípeta, que está na direção do raio. A aceleração total teria que ter esta direção aqui, porque estamos fazendo a soma dos 2 vetores. Lembre-se de que estou determinando isto imaginando que eu estou deslocando, ou projetando, a aceleração centrípeta aqui nesta posição para fechar o triângulo retângulo, e a hipotenusa é a aceleração total. Então, recapitulando, há duas componentes da aceleração, a aceleração tangencial, que é Rα, e é responsável por aumentar ou diminuir o módulo da velocidade linear do objeto em movimento circular, e a aceleração centrípeta, que é responsável por modificar a direção da velocidade do objeto. Você pode relacionar a velocidade linear e a velocidade angular do objeto multiplicando-a por "R", que é o raio da trajetória, e você pode relacionar o comprimento do arco descrito pelo objeto, ou seja, a distância que ele percorreu ao longo deste arco, com o deslocamento angular multiplicando-o por "R". Então, estas são as 3 equações com as quais você relaciona as variáveis do movimento linear com as variáveis correspondentes do movimento angular. Até o próximo vídeo!