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Relação entre velocidade angular e velocidade escalar

Transcrição de vídeo

RKA5MP - Digamos que eu tenho um objeto que se desloca em uma trajetória circular. Digamos que esse é o centro do objeto, o centro da trajetória aqui, o centro do círculo, então, o objeto se movimenta em uma trajetória circular, que se parece com algo assim, uma trajetória circular no sentido anti-horário. Podemos fazer no sentido horário também. O que eu quero fazer é pensar sobre com que velocidade ela está girando ou orbitando ao redor do centro, como isso se relaciona à sua velocidade. Então, digamos, que esse objeto aqui está realizando 5 rotações por segundo. Portanto, em 1 segundo faz 1, 2, 3, 4, 5. Está fazendo isso a cada segundo, está completando 5 rotações. Então, como poderíamos relacionar isso a quantos radianos ele está percorrendo por segundo. Lembre-se que radianos é apenas uma forma de medir ângulos. Podemos usar graus por segundo. Se fizéssemos com graus, cada rotação teria 360°. Se fizermos com radianos, sabemos que cada rotação é 2π radianos. Se você completar toda a volta de um círculo, se completar toda a volta de um círculo, você terá completado 2π radianos, o que simplesmente é o mesmo que dizer que você completou 2 raios de π, qualquer que seja o raio do círculo. E é daí que vem a verdadeira definição de radianos. Então, se você está fazendo 5 rotações por segundo, a cada rotação, possui 2π, então você pode fazer uma pequena análise dimensional. Esses se anulam. E 5 vezes 2π, o que resulta em 10π. 10 radianos de π por segundo. Isso funciona com análise dimensional, e espero que isso também faça sentido para você de um modo intuitivo. Se você estiver completando 5 rotações por segundo, para cada uma daquelas rotações é 2 radianos de π, então, se você está fazendo 10π por segundo, você só está indo 1, 2, 3, 4, 5, ou 2π, 2π, 2π, 2 radianos de π, a cada vez, e você está fazendo isso 5 vezes em 1 segundo. Portanto, você está fazendo 10 radianos de π por segundo. Portanto, esse aqui, tanto faz 5 rotações por segundo ou 10 radianos de π por segundo, em essência, estão medindo a mesma coisa, a velocidade com a qual está orbitando ao redor desse ponto central. E essa medição de velocidade com a qual você orbita em torno de um ponto central é chamada de velocidade angular. Velocidade angular é chamada de velocidade angular porque, se você parar para pensar, isso está nos dizendo com que rapidez o nosso ângulo se altera. Deixe-me escrever dessa forma, velocidade da variação do ângulo. E, quando você está fazendo isso em 2 dimensões, é assim que normalmente tratamos disso num curso de física básica, embora seja chamada de velocidade angular, ela tende a ser tratada como a aceleração angular. Na verdade, é uma quantidade vetorial e um pouco racional, o vetor está saltando da página. É um pseudovetor. Portanto, isso é uma quantidade vetorial, e a direção do vetor depende do lado em que o objeto está girando. Então, por exemplo, quando o objeto está girando em uma direção anti-horária, existe um vetor, o vetor de velocidade angular salta para fora da página. Assim, se você começa a pensar em operá-lo em 3 dimensões, se tivesse indo no sentido horário, se tivesse vindo aqui, então a velocidade angular cairia para dentro da página. A forma como você encara aquela regra da mão direita, curve seus dedos da mão direita na direção em que o objeto está girando e o seu polegar está apontando na direção que o vetor real, o pseudovetor, vai atingir. Mas nós não precisamos nos ater muito a isso agora. Bom, para o que a gente está querendo aqui, quando estamos apenas pensando em um plano bidimensional, podemos realmente pensar na velocidade angular como um termo oficial pseudo-escalar, mas podemos tratá-la como uma quantidade escalar, contanto que, efetivamente, especifiquemos para qual lado ela está girando. Isso bem aqui, esses 10 radianos de π por segundo, podemos chamar isso de velocidade angular do objeto, e isso tende a ser denotado por uma letra ômega, um ômega minúsculo (ω) bem aqui. Um ômega maiúsculo seria parecido com isso (Ω). Ômega minúsculo (ω) é o que as pessoas tendem a utilizar para a velocidade angular. Portanto, há alguns modos de considerar isso. Você poderia dizer que a velocidade angular é igual à mudança do ângulo, a variação do ângulo sobre a variação do tempo. Por exemplo, isso está nos dizendo 10 radianos de π por segundo, ou, se você quiser fazer isso em termos de cálculo, se quisesse dizer velocidade angular instantânea, mas isso é apenas a velocidade angular instantânea, seria a derivada, a derivada do ângulo em relação ao tempo, como o ângulo está variando em relação ao tempo. Agora, tirando isso da frente, gostaria de verificar como isso se relaciona com a velocidade. Como isso se relaciona com a velocidade tangencial do objeto? Para obter a aceleração do objeto, só temos que pensar a que distância esse objeto está se deslocando a cada rotação que ele realiza. O que podemos fazer aqui, digamos que esse raio seja "r". Então, em cada rotação ele está se deslocando 2πr, 2πr, digamos que isso é metros. Vamos pegar algumas unidades disso. Então, a circunferência aqui vai ser 2πr. 2πr metros. Digamos que, a velocidade angular, velocidade angular, digamos que ela seja igual a ômega, ω radianos por segundo. Então, há quantas rotações por segundo? Bem, podemos voltar ao que fizemos bem aqui. Então, 1 rotação é igual a 2π radianos e, às vezes, só para esclarecer, às vezes, a velocidade angular é medida em rotações por segundo, mas a unidade no sistema internacional está em rad/s. Então, se quisermos converter radianos por segundo em rotações por segundo, os radianos se anulam, e obtemos ômega sobre 2 rotações de π segundo. Mas nós já sabemos quantos metros temos por rotação. Nós temos 2πr metros por rotação. Então, vamos anotar isso aqui, eu vou copiar e colar isso. Então, a nossa velocidade angular, se quiséssemos em rotações por segundo, vai ser o ômega sobre 2 rotações de π por segundo. O ômega está em radianos por segundo. Se colocarmos em rotações por segundo, ômega dividido por 2 rotações de π por segundo, então, vamos multiplicar isso por... nós queremos converter isso em metros por segundo. Portanto, quantos metros nós temos por rotação? Bem, nós vamos percorrer toda a circunferência por rotação. Então, vamos ter 2πr metros por rotação, então esses 2 se anulam, os 2π se anulam com os 2π. Então, você acaba obtendo ômega vezes "r". O ômega vezes "r" metros, metros por segundo. Exatamente assim, nós temos o módulo da velocidade, eu acho que poderíamos dizer, a velocidade do objeto conforme ele percorre o círculo. Então, o que podemos falar é sobre o módulo da velocidade. Vou especificar isso por "v". Quero deixar claro que isso não é uma grandeza vetorial, isso não é a velocidade. Isso é o módulo da velocidade. Então, poderíamos dizer que isso é a velocidade, vai ser igual a ômega vezes "r", então aceleração. Então, "v" é igual a velocidade angular vezes "r". Acho que poderíamos dizer o módulo da velocidade angular vezes o raio, então deixe-me transcrever isso em palavras. Eu não quero que vocês se confundam. Eu estou dizendo que isso é uma grandeza vetorial. E se isso fosse um vetor, eu colocaria uma seta bem ali. Então, estaria me referindo ao objeto saltando para fora da página, mas, aqui, eu só estou falando do módulo da velocidade angular. Então, transcrevendo isso em palavras, vocês obtêm que a velocidade é igual à velocidade angular. E, se vocês quiserem ser específicos sobre isso, nós diremos que isso é intensidade da velocidade angular vezes o raio do círculo que você percorre. Se você quisesse descobrir a velocidade angular, você dividiria ambos os lados pelo raio, e você obteria a velocidade angular, que resulta na velocidade escalar para a qual estamos utilizando a letra "v". Portanto, "v" vai ser igual a velocidade dividida pelo raio. Portanto, nós podemos utilizar essas informações para fazer outras coisas interessantes mais tarde, mas eu espero que isso lhes dê uma noção de como todas essas coisas estão relacionadas.