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Fórmulas da cinemática rotacional

Fórmulas da cinemática rotacional e alguns exemplos de como usá-las. Versão original criada por David SantoPietro.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Em vídeos anteriores, definimos estas variáveis relacionadas ao movimento circular. Nós as definimos exatamente da mesma maneira como foram definidas estas variáveis relacionadas ao movimento retilíneo. Então, o deslocamento angular foi definido da mesma forma como o deslocamento linear. Por exemplo aqui, a posição angular é definida analogamente com a posição no movimento retilíneo. Da mesma forma, a velocidade angular é o deslocamento angular por tempo, assim como a velocidade linear era o deslocamento pelo tempo. E finalmente, a aceleração angular era variação da velocidade angular por tempo, assim como a aceleração linear era a variação da velocidade linear por tempo. Já que estas definições são exatamente as mesmas, exceto pelo fato de que as variáveis angulares estão no movimento circular e as variáveis que indicam grandezas do movimento retilíneo estão evidentemente no movimento retilíneo, todas as equações resultam de princípios que utilizamos no movimento retilíneo. Então, basta você usar as variáveis relacionadas a cada tipo de movimento e as equações são as mesmas. Isso funciona também graficamente. Vamos ver aqui, gráficos de velocidade por tempo. Se tivermos um movimento uniformemente variado teremos este gráfico, e sabemos que no movimento de uma dimensão o coeficiente angular desta reta indicará a aceleração. No gráfico de velocidade angular por tempo temos a mesma ideia se for um movimento uniformemente variado. Este vai ser o gráfico de velocidade angular por tempo, e o coeficiente angular vai ser α, a aceleração angular. Isso acontece porque a relação entre "ω" e "α" é a mesma relação que existe entre "V'' e "A". Em um certo intervalo, a área sobre o gráfico de velocidade por tempo indica o deslocamento nesse intervalo da mesma maneira que a área sob a curva em um certo intervalo do gráfico da velocidade angular pelo tempo representa o deslocamento angular. Da mesma forma que você nos áreas sob gráficos no movimento retilíneo para obter relações e fórmulas, podemos fazer a mesma coisa para o movimento circular. Vamos verificar isto. Aqui estão as fórmulas do movimento uniformemente variado do caso retilíneo. Todas estas fórmulas só funcionam se a aceleração for constante. Estas fórmulas relacionam as variáveis relacionadas ao movimento retilíneo. Se nós quisermos as fórmulas análogas a estas para o movimento circular, nós podemos deduzi-las desde o começo usando, por exemplo, área sob curvas. Mas, em vez de fazer isso, podemos simplesmente substituir as variáveis relacionadas ao movimento retilíneo pelas correspondentes no movimento circular. Fazendo isso, vamos começar aqui. Em vez de "V" vamos ter a velocidade angular que é "ω". Em vez de V₀, que é a velocidade inicial, vamos ter a velocidade angular inicial ω₀. Ao invés de "a" como aceleração, vamos ter "α", que é a aceleração angular. O tempo é simplesmente tempo, não há como diferenciar em uma situação ou outra. Vamos lembrar também, que da mesma forma como para o movimento retilíneo, estas fórmulas no movimento circular só serão válidas se a aceleração angular "α" for constante. Então, enquanto aqui era a posição no movimento retilíneo, vamos ter θ como a posição angular no movimento circular. Vamos trocar todos os "x" por θ, vamos trocar todas as acelerações indicadas por "a" pelo "α". Finalmente aqui, ainda temos V₀, vamos trocar respectivamente por "ω" e ω₀. Agora nós temos aqui, então, as equações para o movimento circular uniformemente variado. Elas são válidas apenas se a aceleração angular α for constante, e se ela for constante, estas são maneiras convenientes de relacionar todas estas variáveis. Você pode resolver muitos problemas usando estas fórmulas do movimento circular uniformemente variado. De fato, você usa estas do movimento circular, da mesma forma como você usaria as do movimento retilíneo. Você identifica as variáveis que você já conhece, você identifica as variáveis cujo valor você quer descobrir, e usa adequadamente aquela fórmula ou aquelas fórmulas que vão resolver o problema. Vamos usar estas ideias em alguns problemas. Neste primeiro problema, temos: A barra de 4 m de comprimento abaixo inicia em repouso e rotaciona durante 5 revoluções com uma aceleração angular constante de 30 rad/s². A primeira pergunta é: quanto tempo essa barra levou para completar as 5 revoluções ou rotações? O que temos aqui, é esta barra que inicia em repouso e faz 5 revoluções, ou seja, 5 voltas completas com uma aceleração constante de 30 rad/s². Precisamos saber quanto tempo essa barra levou para completar estas 5 voltas. Como vamos atacar este problema? Primeiro vamos identificar aquelas variáveis que já conhecemos para em seguida, identificar aquelas que nós não conhecemos e resolver usando as fórmulas que nós já temos. Aqui, a informação de 5 revoluções está nos dizendo algo a respeito do deslocamento angular, mas a unidade utilizada é revolução, e não graus ou radianos. Nós sabemos, portanto, que o Δθ equivale a 5 revoluções, mas nós queremos é o Δθ em radianos. 5 revoluções equivalem a quantos radianos? Nós sabemos que 1 volta corresponde a 2π radianos, portanto, 5 voltas corresponderão a 5 vezes 2π, que são 10π radianos. Temos então, o valor de Δθ que é 5 vezes 2π, portanto, da 2π radianos. Outra informação que temos aqui é a aceleração angular "α", que é 30 rad/s², e uma questão importante, este "α" será positivo ou negativo? Vai ser positivo porque a barra inicia em repouso e a sua velocidade angular vai aumentando, então, o sentido do deslocamento angular e o sentido da aceleração angular tem de ser os mesmos. O fato de o objeto está sendo acelerado quer dizer que a aceleração angular tem que ter o mesmo sinal da velocidade angular, e a velocidade angular tem que ter o mesmo sinal do deslocamento angular. Então aqui "α" é +30 rad/s². Se a barra em questão estivesse sendo desacelerada, a velocidade estivesse diminuindo, teríamos que tomar o cuidado de colocar um sinal negativo para "α". Até agora temos os valores de apenas 2 variáveis, e nós sabemos que precisamos de 3 valores para calcular um quarto valor desconhecido. Qual é a terceira variável cujo valor nós conhecemos neste problema? No enunciado temos a resposta, que é justamente o fato de que a barra inicia esta situação em repouso. Este é o código para "ω₀ = 0". A velocidade angular inicial é zero, já que a barra inicia esta situação em repouso. Agora sim, temos os valores de 3 variáveis, podemos resolver para uma quarta variável usando aquelas equações que já temos. A pergunta é justamente aqui no item "a", quanto tempo foi gasto para tudo isto acontecer? Portanto, a variável desconhecido é o "t". Agora, precisamos nos perguntar sobre qual fórmula vamos utilizar. Basta verificar as variáveis que já conhecemos e qual queremos descobrir o valor. Observe que a velocidade angular final "ω" não aparece aqui, portanto, vamos escolher a fórmula que não tem "ω". Das 4 fórmulas que temos aqui, apenas a terceira não apresenta "ω", portanto, ela é que nos interessa neste momento. Vamos utilizá-la aqui, sabendo que o Δθ é 10π radianos, sabemos que o ω₀ é zero, portanto todo este termo é zero, e aqui temos 1/2 vezes a aceleração angular "α", que é 30 rad/s² vezes o tempo, que é o "t", é a variável que queremos calcular, elevado ao quadrado. Então agora basta resolver isto para "t", ou seja, isolar "t". Vou começar multiplicando os dois lados por 2, para cancelar o denominador 2, vamos ter 20 π radianos divididos por 30. Aquele 30 eu estou dividindo os dois lados por 30 rad/s², que era a aceleração, e precisamos obter a raiz quadrada de tudo isso, porque tínhamos t². Resolvendo esta conta, vamos chegar que o t = 1,45 s. Observe que nas unidades, radianos cancelam radianos, e na raiz quadrada do segundo ao quadrado ficamos simplesmente com o segundo. Vamos para a parte "b", que pergunta qual vai ser a velocidade angular da barra após as 5 revoluções que aconteceram. Observe que quando resolvemos o item "a", nós conseguimos conhecer o valor de todas as variáveis, exceto do "ω", que é a velocidade final. Então agora, eu tenho condições de usar qualquer uma destas 3 equações. A primeira delas me parece mais simples porque não temos raízes quadradas ou elevados ao quadrado. Temos que o ω = ω₀ + ɑt. No lugar do ω₀ eu ponho zero, no lugar do "α" temos 30 rad/s² vezes o tempo que já calculamos no item anterior, que é 1,45 s. Fazendo as contas, chegamos que "ω" é 43,5 rad/s. Isso significa que após 5 voltas desta barra em torno de um círculo com 30 rad/s² de aceleração esta barra vai ter uma velocidade angular de 43,5 rad/s². Vamos a outro exemplo. A barra de 4 m de comprimento abaixo inicia com uma velocidade angular de 40 rad/s² e desacelera com uma desaceleração constante até parar após 20 revoluções. Pergunta da letra "a": Qual é a velocidade inicial da extremidade da barra e m/s?" Em outras palavras, este ponto da barra vai ter uma certa velocidade linear, aqui indicada por este vetor, queremos saber qual é a sua magnitude inicialmente. Podemos utilizar aquela fórmula que relaciona a velocidade linear "V" com a velocidade angular "ω", que é V = Rω, sendo que "R" é a distância do centro do movimento até o ponto onde nós queremos conhecer a velocidade linear. Observe que aqui, o comprimento da barra é justamente a distância entre o eixo e o ponto cuja velocidade linear queremos calcular. Substituindo o "R" por 4 m, e "ω", que é a velocidade angular inicial, evidentemente, por 40 rad/s, vamos chegar a uma velocidade linear deste ponto de 160 m/s, ele estava realmente rápido. Note que este é o ponto de maior velocidade desta barra. Se nós tomássemos um ponto aqui, por exemplo, na metade da barra, sua velocidade seria exatamente a metade da velocidade do que está na extremidade da barra. Isso porque, se eu fosse fazer as mesmas contas aqui, o "R" seria de 2 m menor portanto, e o resultado para ''V" seria menor, ou seja, quanto mais perto do eixo, menor a velocidade linear daquele ponto. Entretanto, todos os pontos da barra têm a mesma velocidade angular, todos eles estão rotacionando com o mesmo número de rad/s. Entretanto, a distancia de cada um deles até o centro do círculo que eles descrevem como trajetória é diferente, portanto, as suas velocidades são diferentes. Com isso, finalizamos o item "a", e para o item "b", nós queremos saber qual foi a aceleração angular da barra. Para isso, vou usar alguma daquelas equações que nós já temos, e evidentemente vou identificar as variáveis que eu já conheço e aquelas cujo valor eu quero calcular. Temos que a velocidade angular inicial ω₀ é 40 rad/s, temos também que ocorreram 20 revoluções, ou seja, 20 voltas completas, isso é o Δθ, mas nós temos que colocar na unidade adequada, que é o radiano. Basta fazermos 20 revoluções vezes 2π, porque 2π radianos corresponde ao giro de uma volta, vamos ter 40π radianos para o Δθ. Temos aqui a informação de que a barra vai diminuindo a sua velocidade até parar, portanto, a velocidade angular final é "ω = 0". A pergunta é justamente qual é a aceleração angular, ou seja, "α". Basta olhar nas equações e verificar qual está mais adequada para calcular o "α". Observe que neste caso não estamos envolvendo o tempo, então é mais confortável encontrar a equação em que não aparece a variável "t", e, neste caso, seria a quarta equação. Nesta quarta equação, ω² é zero ao quadrado, igual, ω₀ é 40 rad/s² mais 2 vezes o "α", o "α" é justamente o que queremos calcular, vezes o Δθ que já sabemos ser 40π. Vamos resolver algebricamente para encontrar o "α", ou seja, vamos isolar o "α". o 40² vai pro outro lado, fica -40², e vamos dividir isso por 2 vezes o 40π. Fazendo esta conta, vamos encontrar -6,37 rad/s². E por que esta aceleração é negativa? Porque nós estamos freando a barra, nós estamos fazendo com que a velocidade angular dela vá diminuindo. Então, recapitulando, temos aqui as 4 equações do movimento circular uniformemente variado, que são válidas apenas se a aceleração angular for constante, e sendo a aceleração do angular constante, conhecendo 3 variáveis, é possível, usando estas fórmulas, calcular uma quarta variável. Observando que aquela variável que não faz parte daquela parte do problema, é interessante deixar de lado. É isso, até o próximo vídeo!