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Inércia rotacional

Saiba como a distribuição de massa pode afetar a dificuldade de se provocar aceleração angular.

O que é a inércia rotacional?

A inércia rotacional é uma propriedade de qualquer objeto que possa ser girado. É um valor escalar que nos diz o quão difícil é alterar a velocidade de rotação do objeto em torno de um eixo de rotação pré-determinado.
Inércia rotacional desempenha um papel semelhante na mecânica rotacional ao da massa na mecânica linear. Na verdade, a inércia rotacional de um objeto depende de sua massa. Depende também da distribuição dessa massa em relação ao eixo de rotação.
Quando uma massa se move para mais longe do eixo de rotação, torna-se cada vez mais difícil alterar a velocidade rotacional do sistema. Intuitivamente, isto ocorre pois a massa agora está carregando mais momento com ela ao redor do círculo (devido à alta velocidade) e porque o vetor de momento está mudando mais rapidamente. Ambos os efeitos dependem da distância até o eixo.
A inércia rotacional é definida pelo símbolo I. Para um único objeto, como uma bola de tênis de massa m (mostrado na Figura 1), girando com um raio r em relação ao eixo de rotação, a inércia rotacional é
I=mr2
e, consequentemente, a inércia rotacional, em unidades do SI, é dada por kgm2.
A inércia rotacional também é comumente conhecida como momento de inércia. Também é, por vezes, chamada de segundo momento de massa; o termo 'segundo' se refere, aqui, ao fato de que depende do comprimento do braço de momento ao quadrado.
Figura 1: Uma bola de tênis amarrada rotacionando próxima de um ponto central.

Como a inércia rotacional se relaciona com a 2ª Lei de Newton?

A inércia rotacional assume o lugar da massa na versão rotacional da 2ª Lei de Newton.
Considere uma massa m ligada a uma extremidade de uma haste sem massa. A outra extremidade da haste é articulada para que o sistema possa girar em torno do ponto central da articulação, conforme mostrado na Figura 2.
Figura 2: Uma massa girando devido a uma força tangencial.
Agora, começamos a rotação do sistema aplicando uma força tangencial FT sobre a massa. Da 2ª lei de Newton,
FT=maT.
isto também pode ser escrito como
FT=m(rα).
A 2ª Lei de Newton se refere à força de aceleração. Já o torque mecânico rotacional τ assume o lugar da força. Multiplicando ambos os lados pelo raio, temos a expressão que queremos.
FTr=m(rα)rτ=mr2ατ=Iα
Esta expressão pode, agora, ser usada para encontrar o comportamento de uma massa em resposta a um torque conhecido.
Exercício 1a:
Um motor capaz de produzir um torque constante de 100 Nm e uma velocidade de rotação máxima de 150 rad/s é ligado a um pêndulo com inércia rotacional 0,1 kgm2. Qual aceleração angular o pêndulo experimentará quando o motor for ligado?
Exercício 1b:
Quanto tempo o pêndulo levará para alcançar uma velocidade escalar constante, se iniciado a partir do repouso?

Como podemos calcular a inércia rotacional em geral?

Geralmente, sistemas mecânicos são feitos de muitas massas ligadas entre si ou de formas complexas.
É possível calcular a inércia rotacional total para qualquer forma, em qualquer eixo, somando-se a inércia rotacional de cada massa.
I=m1r12+m2r22+=Σmiri2
Figura 3: Um sistema rígido de massas mostrado com dois eixos de rotação diferentes.
Exercício 2a:
Considere o objeto mostrado na Figura 3(a). Qual é a sua inércia rotacional?
Exercício 2b:
Considere o caso alternativo da Figura 3(b), do mesmo sistema girando sobre um eixo diferente. O que você esperaria da inércia rotacional neste caso?

Como podemos encontrar a inércia rotacional de formas complexas?

Para formas mais complexas, em geral, é necessário usar cálculo para encontrar a inércia rotacional. No entanto, para muitas formas geométricas comuns, é possível encontrar tabelas de equações para a inércia rotacional em livros ou outras fontes. Essas tabelas fornecem o momento de inércia para uma forma rotacionada em torno de seu centroide (que frequentemente corresponde ao centro de massa das formas).
Por exemplo, a inércia rotacional de um cilindro sólido com raio r girado em torno de um eixo central é
I=12mr2
e para um cilindro oco com raios interno e externo ri e ro, respectivamente,
I=m(ri2+ro2)2
Expressões para outras formas simples são mostradas na Figura 4.
Figura 4: Equações para a inércia rotacional de algumas formas simples em rotação.
Formas complexas, muitas vezes, podem ser representadas como combinações de formas simples, para as quais existe uma equação conhecida para a inércia rotacional. Então, podemos combinar estas inércias rotacionais para encontrar a do objeto composto.
O problema com o qual provavelmente vamos nos deparar ao combinar formas simples, é que as equações nos informam a inércia rotacional encontrada em torno do centroide da forma, e isso não necessariamente corresponde ao eixo de rotação de nossa forma composta. Podemos usar o teorema dos eixos paralelos.
O teorema dos eixos paralelos nos permite encontrar o momento de inércia de um objeto sobre um ponto o, desde que conheçamos o momento de inércia da forma em torno de seu centroide c, a massa m e a distância d entre os pontos o e c.
Io=Ic+md2
Exercício 3:
Se a forma mostrada na Figura 5 é feita pela soldagem de três discos de metal de 10 mm de espessura (cada um com 50 kg de massa) a um anel de aço com massa 100 kg. Se estiver sendo rotacionada em torno de um eixo central (fora da página), qual é a inércia rotacional do objeto?
Figura 5: Um sistema composto de um disco grande oco e três discos menores cheios.

Em quais outros lugares mais a inércia rotacional aparece em física?

A inércia rotacional é importante em quase todos os problemas da física que envolvem a massa em movimento rotacional. Ela é usada para calcular o momento angular e nos permite explicar (através da conservação do momento angular) como o movimento rotacional muda quando a distribuição de massa é alterada. Ela também é necessária para encontrar a energia que é armazenada como energia cinética rotacional em um pêndulo giratório.

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