O que é a inércia rotacional?

Como a inércia rotacional se relaciona com a 2ª Lei de Newton?

Um motor capaz de produzir um torque constante de $100\mathrm{Nm}$‍ e uma velocidade de rotação máxima de $150\mathrm{rad}/\mathrm{s}$‍ é ligado a um pêndulo com inércia rotacional $0,1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$‍. Qual aceleração angular o pêndulo experimentará quando o motor for ligado?

Solução

Solução:

Reorganizando a versão rotacional da 2ª Lei de Newton, e substituindo os números, encontramos:

$\begin{array}{rl}\alpha & =\frac{\tau }{I}\\ & =\frac{100\mathrm{Nm}}{0,1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2}\\ & =1000\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$‍

Quanto tempo o pêndulo levará para alcançar uma velocidade escalar constante, se iniciado a partir do repouso?

Solução

Usando a cinemática rotacional,

$\omega ={\omega }_0+\alpha t$‍

Como sabemos a velocidade máxima de rotação do motor, podemos resolver a equação para descobrir o tempo que levou para acelerar até atingir aquela velocidade de rotação.

$\begin{array}{rl}t& =\frac{{\omega }_{\max }}{\alpha }\\ & =\frac{150\mathrm{rad}/\mathrm{s}}{1000\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2}\\ & =0,15\mathrm{s}\end{array}$‍

Como podemos calcular a inércia rotacional em geral?

Considere o objeto mostrado na Figura 3(a). Qual é a sua inércia rotacional?

Solução

Somando todos os termos $m{r}^2$‍ para cada massa,

$\begin{array}{rl}I& =(1\mathrm{kg}\cdot 1^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot 1,5^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot 0,{75}^2{\mathrm{m}}^2)+(2\mathrm{kg}\cdot 0,{75}^2{\mathrm{m}}^2)\\ & =4,9375\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍.

Considere o caso alternativo da Figura 3(b), do mesmo sistema girando sobre um eixo diferente. O que você esperaria da inércia rotacional neste caso?

Solução

Embora o sistema de massas seja o mesmo que antes, agora eles estão girando sobre um eixo muito mais perto. Por causa da dependência quadrática da distância ao eixo rotacional, esperamos que a inércia rotacional seja significativamente menor.

$\begin{array}{rl}I& =(2\mathrm{kg}\cdot 0,5^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot 0,5^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot 0,5^2{\mathrm{m}}^2)+(1\mathrm{kg}\cdot 0,5^2{\mathrm{m}}^2)\\ & =1,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Como podemos encontrar a inércia rotacional de formas complexas?

Se a forma mostrada na Figura 5 é feita pela soldagem de três discos de metal de $10\mathrm{mm}$‍ de espessura (cada um com $50\mathrm{kg}$‍ de massa) a um anel de aço com massa $100\mathrm{kg}$‍. Se estiver sendo rotacionada em torno de um eixo central (fora da página), qual é a inércia rotacional do objeto?

Solução

Solução:

Começamos por encontrar a inércia rotacional das quatro componentes separadamente.

Utilizando a equação anteriormente determinada para um cilindro oco, podemos encontrar a inércia rotacional $I_b$‍ para o disco grande. Este centróide deste componente já coincide com o eixo de rotação da parte final então nenhuma correção é necessária.

$\begin{array}{rl}{I}_b& =\frac{1}{2}m(r_i^2+r_o^2)\\ & =\frac{1}{2}(100\mathrm{kg})\cdot (0,{75}^2+1^2){\mathrm{m}}^2\\ & \simeq 78,125\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Usando o mesmo procedimento para os discos menores, por enquanto centrados nos seus próprios eixos rotacionais:

$\begin{array}{rl}{I}_s& =\frac{1}{2}m{r}_c^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot (50\cdot \mathrm{kg})(0,30\mathrm{m}{)}^2\\ & =2,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Como cada um dos três discos está girando a uma distância $d$‍ dos seus respectivos baricentros, podemos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar a inércia rotacional efetiva $I_s^{\prime }$‍.

$d=\frac{1}{2}(1+0,75)=0,875\mathrm{m}$‍

$\begin{array}{rl}{I}_s^{\prime }& =I_s+m{d}^2\\ & =(2,25\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2)+(50\mathrm{kg})\cdot (0,875\mathrm{m}{)}^2\\ & \simeq 40,5\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Como os três discos pequenos estão à mesma distância do eixo da peça, podemos tratá-los como uma parte com três vezes a inércia rotacional. Finalmente, a inércia rotacional do objeto é:

$\begin{array}{rl}I& \simeq 78+3\cdot 40,5\\ & \simeq 200\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$‍

Em quais outros lugares mais a inércia rotacional aparece em física?