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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 7
Lição 2: Torque, momento e momento angular- Introdução ao torque
- Momentos
- Momentos (parte 2)
- Encontrando o torque para forças angulares
- Torque
- Versão rotacional da segunda lei de Newton
- Mais sobre momento de inércia
- Inércia rotacional
- Energia cinética rotacional
- Rolando sem problemas de escorregar
- Momento angular
- Momento angular constante quando não há torque resultante
- Momento angular de um objeto expandido
- Exemplo de momento angular de uma bola atingindo um bastão
- Produto vetorial e torque
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Momento angular de um objeto expandido
Neste vídeo David deriva e mostra como usar a fórmula para o momento angular de um objeto expandido. Versão original criada por David SantoPietro.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - Nos vídeos passados,
nós vimos que uma bola de massa "m" está realizando um movimento circular
com velocidade "v" e raio R. Nesta situação, a bola possui algo
que chamamos de momento angular. E o símbolo que usamos para representar
o momento angular é um "L" maiúsculo. A quantidade de momento angular seria
a massa da bola, vezes a velocidade da bola. Até aqui nós temos a intensidade
do momento linear, mas, então, multiplicamos pelo raio
do círculo que a bola cria ao se mover e isso nos dá o momento angular
dessa bola em movimento circular, o que é ótimo e bom sabermos. Mas às vezes você não tem uma bola
em um movimento circular e mesmo assim você precisa saber
o momento angular. Por exemplo, ao invés deste caso
que acabamos de ver, digamos que a gente tem um outro caso em que, ao invés de uma bola
em movimento circular, a gente tenha uma haste
de massa "m" e raio R, em que toda a haste se move
em torno de um círculo. Vamos dizer que a extremidade da haste
viaja com uma velocidade "v", assim como a bola.
Então, a pergunta aqui é: a haste também terá o momento angular
igual a mvR? A resposta para isso é: não. Provavelmente, você já deve ter se
convencido de que isso ocorre porque, para a bola, toda a massa está viajando
a uma velocidade "v" e toda a massa está na extremidade
do círculo que a bola traça. Em outras palavras, toda a massa
está viajando com o mesmo raio R. Mas, para esta haste,
apenas uma parte da massa (a que se encontra na extremidade da haste) é que está viajando em um raio R. Esta é a parte que está viajando
nesse raio R. Ah, sim, o restante da massa da haste,
esta parte da haste aqui, também traça um círculo, mas o círculo que esta parte da haste
traça não é igual ao raio R. Esta parte traça um círculo
cujo valor de R é menor. Então, como podemos determinar
o momento angular de um objeto cuja massa é distribuída de uma maneira que uma parte da massa
está próxima ao eixo e outra parte da massa está longe do eixo? Isso o que vamos ver neste vídeo. Esse é nosso objetivo. E a abordagem que os físicos têm para isso
é quase sempre a mesma. Nós temos a fórmula para o momento
angular de uma única partícula se movendo em um único raio. Sabendo disso, vamos continuar imaginando que o objeto é composto por um grupo
de massas individuais, todas se movimentando em um único raio. Se eu dividir essa massa contínua
em peças individuais, se imaginarmos que esta peça seja partida
em todos esses pequenos pedaços, caso a gente encontre o momento angular
de cada uma dessas partes, basta somar tudo e, assim, teremos o momento angular
total para este objeto. Vamos tentar fazer isso, então. O momento
angular de alguma parte deste objeto, vamos dizer que esta pequena parte
da massa, eu vou chamar de "m" a parte da massa
deste objeto (esta não é toda a massa da haste,
tudo bem? É apenas a massa desta
pequena parte aqui). Assim, nós temos que o momento angular
desta massa vai ser a massa, vezes a velocidade
e também vezes o raio que essa parte da massa cria
ao se mover de forma circular. Para deixar um pouco mais claro, vamos escrever isto como sendo
a parte 1 da haste. Assim, teremos que isto é m₁, v₁ e R₁. E esse é o momento angular
deste pequeno pedaço. Nós podemos fazer da mesma forma
para esta outra parte. Podemos chamar esta parte de 2. Assim, teremos que o momento angular de 2 vai ser m₂ vezes v₂ vezes R₂. Lembre-se que todas as velocidades
descritas aqui são diferentes. A velocidade da parte da extremidade
é a maior. Já a velocidade desta outra parte
não será tão grande. Lembre-se que,
quanto mais próximo ao eixo, menor será a velocidade,
porque esta parte traças círculos menores. Já esta parte, mais na extremidade, traça círculos maiores
no mesmo decorrer do tempo. Por isso, a sua velocidade é maior. Talvez, neste momento,
você esteja preocupado, pensando que este é um problema
muito difícil de resolver. Já que teremos diferentes velocidades,
também teremos diferentes raios e você deve estar se questionando
como podemos resolver isso. Mas isso, meu amigo,
é algo bem simples de se fazer e eu vou te mostrar agora
como você pode resolver. Se nós imaginarmos que estamos
somando todas estas partes (eu só desenhei duas aqui), nós temos que imaginar
que há infinitas partes deste objeto. E eu sei que, fazendo isso, pode parecer que resolver o problema ficará
ainda mais difícil. Mas imagine que estamos
partindo esta haste em infinitas partes de massas distintas, e considerando que o momento angular
individual de cada uma dessas partes será algo muito pequeno. Porque este m₁ seria uma massa
extremamente pequena. E vamos somar cada um desses
pequenos momentos angulares para ver o que temos no total. Se somarmos tudo isso, todos momentos angulares (mvR)
de cada uma das partes da haste, isso será igual ao momento angular
total da haste. No nosso exemplo, temos m₁v₁R₁ e m₂v₂R₂. E, assim, vai tomar todas essas
partes individuais. Assim, teremos infinitas quantidades
destas partes. É claro que a gente
não vai conseguir escrever tudo, porque é uma quantidade infinita
de partes. Mas imagine isso, o somatório de todas
estas infinitas partes. Mas a minha pergunta para você agora é: o que podemos fazer com isto?
Como podemos melhorar este somatório? Quando você está resolvendo
um problema de física, você não quer resolver uma série infinita
escrevendo cada termo infinitamente. A gente quer uma forma um pouco mais fácil
de lidar com isso. E existe uma forma muito mais fácil
de lidar com esse somatório. É isso que vamos ver aqui agora. Se a gente escrever L como sendo
igual ao somatório de mvR, o único problema aqui é que cada massa
tem uma velocidade diferente. Se eu puder retirar isso
de dentro do somatório, isso realmente iria ajudar,
porque poderíamos simplificar as coisas. Eu poderia colocar este fator
do lado de fora. Mas eu não poderia colocar
o fator R para fora, porque todos estes aqui têm raios
diferentes a partir do eixo. E nós sempre devemos medir
os raios a partir do eixo principal. Outro detalhe: cada pedacinho da haste
terá uma velocidade diferente. Mas lembre-se que a gente pode escrever
isso em termos das variações angulares. Porque as variações angulares
são as mesmas para cada pedacinho desta massa. Assim, cada ponto da haste em rotação
tem uma velocidade "v" diferente, mas cada uma dessas partes terá
a mesma velocidade angular ômega. E este é o "pulo do gato" que vai
nos ajudar na resolução deste problema. Isso é o que nós normalmente fazemos em problemas como este
e é o que faremos agora. Vamos escrever isto como sendo
o somatório de "m", mas, ao invés de escrevermos
apenas "v", vamos escrever isto como R vezes
ômega (ω). Anote isso em algum lugar. Para determinadas coisas
que estão em rotação circular, a velocidade "v" vai ser igual
a R vezes ω. Então, eu vou substituir isso
nesta fórmula. A velocidade em qualquer ponto aqui
é igual ao raio desse ponto, vezes a velocidade angular
da haste em rotação circular. A gente já substituiu por "v", não é? Mas nós temos que multiplicar por R,
então, é isso que vamos fazer. Nós temos que L vai ser igual
ao somatório de mR² vezes ω. E isso é muito bom. O ω é o mesmo para qualquer massa. Cada uma das massas se move
à mesma velocidade angular. Então, nós podemos colocar esse fator
do lado de fora do somatório. Imaginando que todos estes termos
tenham o mesmo ω, nós podemos colocar
esse fator do lado de fora. E isso realmente simplificaria
o somatório. Então, vamos escrever isto
como sendo o somatório de mR². Para deixar mais organizado,
vou colocar parênteses aqui. Então, isto é o somatório e tudo isso
está sendo multiplicado por ω. Isso porque nós estamos apenas
retirando o ω do somatório. Tudo bem, talvez você nem esteja muito
impressionado com isso, pensando o seguinte: "Ok, grande ideia, mas nós ainda temos
uma soma infinita aqui. O que eu vou fazer com isso?" Na verdade, você não tem
que fazer nada com isso. E é aqui que a mágica acontece.
Olhe para este somatório. Nós temos a soma de todos os mR². Você lembra o que é mR²? mR² é o momento de inércia
de um ponto da massa. E, se somarmos todos os mR², nós teremos o momento de inércia
da massa total de todo este objeto. E o legal é que isso que nós encontramos
foi uma maneira realmente útil para escrevermos o momento angular
deste objeto. Com isso, chegamos a esta relação
do momento de inércia deste objeto e a velocidade angular de rotação
deste objeto. Esta é uma ótima fórmula
e ela faz total sentido. Vamos pensar um pouco
sobre o momento linear. O momento linear "p" é igual a mv. Se a gente tentar determinar o momento
angular sem fazer essa derivação, podíamos simplesmente dizer o seguinte: para determinar o momento angular, basta
substituir a massa pela massa angular e a massa angular pela inércia angular e a inércia angular
é o momento de inércia. Agora, basta substituir a velocidade
pela velocidade angular. Desta forma, foi muito mais fácil
determinar o momento angular sem fazer toda a derivação anterior. E isso faz muito sentido, porque, se você
substituir todas as quantidades lineares por suas correspondentes angulares, você na verdade terá o momento angular
de um objeto em rotação. E é isso que estamos fazendo aqui. Se você tem um objeto comprido, cuja massa está distribuída
por todo esse objeto, se você pegar o momento de inércia
do objeto e multiplicar por sua velocidade angular, você terá o momento angular desse objeto. Por exemplo: se esta haste tem
uma massa de, digamos, 3 kg e a massa está distribuída uniformemente
pelo objeto e o raio do objeto em movimento
é 2 metros, esta é a distância entre
o eixo e a extremidade. Vamos dizer também
que a velocidade angular desse objeto é igual a 10 radianos por segundo. Podemos determinar o momento angular
dessa haste dizendo que o momento angular
é igual ao momento de inércia (o momento de inércia de uma haste
é igual a 1/3 de mL²), e então, multiplicamos isto
pela velocidade angular do objeto. Se colocarmos em termos numéricos, teremos que o momento angular
desta haste será igual a 1/3 vezes 3 kg, vezes o comprimento do objeto
(que é igual a 2 metros), e colocamos isso ao quadrado. Em seguida, nós multiplicamos
pela velocidade angular, que é 10 radianos por segundo, o que nos dá o momento angular
de 40 kg.m²/s. Revisando tudo isso
que eu acabei de falar: se você tem uma massa em que
toda essa massa gira no mesmo raio e você quer encontrar o momento angular, a maneira mais fácil de resolver
esse problema é com a fórmula mvR. No entanto, se você tem
uma massa distribuída por todo o objeto em diferentes pontos e esses pontos têm raios diferentes, a maneira mais fácil de obter
o momento angular desse objeto é através da fórmula "I" vezes ω, em que "I" é o momento de inércia
do objeto e ω é a velocidade angular do objeto. Eu espero que você tenha gostado
deste vídeo e te vejo no próximo vídeo!