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Transcrição de vídeo

nos vídeos passados nós vimos que uma bola de massa m está realizando um movimento circular com velocidade ver e raio r nessa situação essa bola possui algo que chamamos de momento angular e o símbolo que usamos para representar o momento angular é um l em maiúsculo a quantidade de momento angular seria a massa da bola vezes a velocidade da bola até aqui nós temos a intensidade do momento linear mas então nós multiplicamos pelo raio do círculo que a bola cria ao se movia e isso nos dá o momento angular dessa bola em movimento circular o que é ótimo e bom sabermos mas às vezes você não tem uma bola em um movimento circular e mesmo assim você precisa saber o momento angular então por exemplo ao invés desse caso que acabamos de vir digamos que a gente tem um outro caso em que ao invés de uma bola em movimento circular a gente tem uma haste de massa m e raio r em que toda a gente se move em torno de um círculo vamos dizer que a extremidade da arte viaja como a velocidade vê assim como a bola então a pergunta aqui é acho que também terá o momento angular igual a mvr bem a resposta para isso é não provavelmente você já deve ter se convencido de que os ocorre porque para bola toda a massa está viajando a uma velocidade ver e toda a massa está na extremidade do círculo que a bola traça em outras palavras toda a massa está viajando com o mesmo raio r mas para essa arte parte da massa apenas uma parte dessa massa a que se encontra na extremidade da arte é que está viajando em um raio r essa é a parte que está viajando esse raio r assim o restante da massa da acha essa parte da haste que também traz um círculo mas o círculo que essa parte da xi traça não é igual ao raio r essa parte traz um círculo cujo valor de r é menor então como podemos determinar o momento angular de um objeto cuja massa é distribuída de uma maneira que uma parte da massa está próxima o bicho e outra parte da massa está longe do eixo bem isso o que vamos ver nesse vídeo esse é nosso objetivo ea abordagem que os físicos têm pra isso é quase sempre a mesma nós temos a fórmula para o momento angular de uma única partícula se movendo em um único raio então sabendo disso vamos continuar imaginando que nosso objeto é composto por um grupo de massas individuais todas se movimentando em um único raio então se eu dividir essa massa continua em peças individuais se imaginarmos que essa peça que seja partida em todos esses pequenos pedaços caso a gente encontra o momento angular de cada uma dessas partes basta a gente somar tudo e assim teremos um momento angular total para esse objeto bem vamos tentar fazer isso então assim o momento angular de alguma parte desse objeto vamos dizer que essa pequena parte da massa que e eu vou chamar de m a parte da massa desse objeto essa daqui não é toda massa da china não tudo bem é apenas a massa dessa pequena parte aqui e assim nós temos que o momento angular dessa massa vai ser a massa vezes a velocidade e também vezes o raio que essa parte da massa cria ao se mover de forma circular bem pra deixar daqui um pouco mais claro vamos escrever isso aqui como sendo a parte 1 da arte assim teremos que isso daqui m1 v1 e r 1 e esse é o momento angular desse pequeno pedaço nós podemos fazer isso da mesma forma para essa outra parte aqui podemos chamar essa parte de dois e assim teremos que o momento angular de 2 vai cm2 vezes v2 vezes r 2 lembre se que todas as velocidades descritas aqui são diferentes a velocidade da parte da extremidade é a maior já a velocidade dessa outra parte que não será tão grande lembre se que quanto mais próximo o eixo menor será a velocidade porque essa parte traças círculos menores já essa parte mais na extremidade traça círculos maiores no mesmo decorrer do tempo e por isso a sua velocidade maior talvez nesse momento você esteja preocupado pensando que esse é um problema muito difícil de resolver já que teremos diferente a velocidade também teremos diferentes raios e você deve estar se questionando como podemos resolver isso mas isso meu amigo é algo bem simples de se fazer e eu vou te mostrar agora como você pode resolver se nós imaginarmos que estamos somando todas essas partes eu só desenhei duas aqui ok nós temos que imaginar que há infinitas partes desse objeto e eu sei que fazer isso pode parecer que resolver o problema ficar ainda mais difícil mas imagine que estamos partindo dessa ache infinitas parte de massas distintas e considerando que o momento angular individual de cada uma dessas partes será algo muito pequeno porque esse m 1 seria uma massa extremamente pequena ea gente vai somar cada um desses pequenos momentos angulares pra ver o que temos no total e se somarmos tudo isso que todos os momentos angulares mvr de cada uma dessas partes da xvii e isso será igual ao momento angular total da ach bem aqui no nosso exemplo a gente tem m um fio r1 e m2 v2 r 2 e assim vai tomar todas essas partes individuais assim teremos infinitas quantidades dessas partes não é é claro que a gente não vai conseguir escrever tudo porque é uma quantidade infinita de partes mas imagine isso há o somatório de todas as infinitas partes aqui mas a minha pergunta pra você agora é o que podemos fazer com isso como podemos melhorar esse somatório aqui quando você tenta resolver um problema de física você não quer resolver uma série infinita escrevendo cada termo infinitamente a gente quer uma forma um pouco mais fácil de lidar com isso e existe uma forma muito mais fácil de lidar com esse somatório e é isso que vamos vir aqui agora a gente escrever que l como sendo igual ao somatório de mvr o único problema aqui é que cada massa tem uma velocidade diferente bem se eu puder retirar isso de dentro do somatório isso realmente ajudar porque poderíamos simplificar as coisas eu poderia colocar esse fato aqui do lado de fora mas eu não poderia colocar esse fato r para fora porque todos esses aqui têm raios diferentes a partir do eixo e nós sempre devemos medir os raios a partir do lixo principal e outro detalhe também cada pedacinho da haste terá uma velocidade diferente mas lembre se que a gente pode escrever isso em termos das variações angulares porque as variações regulares são as mesmas para cada pedacinho dessa massa assim cada ponto da arte em rotação tem uma velocidade verde diferente mas cada uma dessas partes ter a mesma velocidade angular ômega e esse é o pulo do gato que vai nos ajudar na resolução desse problema e isso é o que nós normalmente fazemos em problemas como este e é o que faremos agora vamos escrever isso aqui como sendo o somatório de m mas ao invés de escrever mas apenas ver vamos escrever isso como r vezes ômega a norte-sul em algum lugar para determinadas coisas que estão em rotação circular a velocidade ver vai ser igual a r vezes o mika então eu vou substituir isso nessa fórmula que então a velocidade em qualquer ponto aqui é igual ao raio desse ponto vezes a velocidade angular da arte em rotação circular a gente já substituiu por vir não é mas nós temos que multiplicar por r então é isso que a gente vai fazer a gente tem aqui que 'ele vai ser igual ao somatório de nr ao quadrado vezes ômega e isso é muito bom o ômega é o mesmo para qualquer massa que cada uma das massas se move a mesma velocidade angular então nós podemos colocar esse fator do lado de fora do somatório então imaginando que todos esses termos tenha o mesmo ômega nós podemos colocar esse fator do lado de fora e isso realmente sempre ficaria o somatório então vamos escrever isso aqui como sendo o somatório de mr o quadrado pra deixar isso mais organizado vou colocar um parêntesis aqui então isso aqui é o somatório e tudo isso está sendo x ômega e isso porque nós estamos apenas retirando o ômega do somatório tá tudo bem talvez você nem esteja muito impressionado com isso pensando o seguinte ó que grande ideia mas nós ainda temos uma soma infinita que e o que eu vou fazer com isso bem na verdade você não tem que fazer nada com isso e é aqui que a mágica acontece olha para esse somatório nós temos a soma de todos os mr ao quadrado e você lembra o que mr o quadrado mr o quadrado é o momento de inércia de um ponto da massa e se somarmos todos os mr ao quadrado nós teremos um momento de inércia da massa total de todo esse objeto eo legal e que isso que nós encontramos foi uma maneira realmente útil para escrevermos momento angular desse objeto e com isso chegamos a essa relação do momento de inércia desse objeto ea velocidade angular de rotação desse objeto e essa é uma ótima forma ela faz total sentido olha só vamos pensar um pouco sobre o momento linear o momento linear p é igual a emi vi bem se a gente tentar determinar o momento angular sem fazer essa derivação eu podia simplesmente dizer o seguinte aqui para determinar o momento angular basta substituir a massa pela massa goulart ea massa angular pela inércia goulart ea inércia lá é o momento de inércia e agora baixa ou substituir a velocidade pela velocidade angular e dessa forma foi muito mais fácil determinar o momento angular sem fazer toda a elevação anterior e isso faz muito sentido não é porque se você substituir todas as quantidades lineares por suas correspondentes angulares você na verdade terá o momento angular de um objeto em rotação e é isso que estamos fazendo aqui se você tem um objeto objeto cumprido cuja massa está distribuída por todo esse objeto se você pegar um momento de inércia do objeto e multiplicar por sua velocidade angular você terá um momento angular desse objeto assim por exemplo se essa arte tem uma massa de digamos três quilogramas ea massa está distribuída uniformemente pelo objeto e ohio do objeto em movimento é dois metros então essa daqui é a distância entre o eixo ea extremidade agora vamos dizer também que a velocidade angular desse objeto é igual a 10 radian anos por segundo podemos determinar o momento angular dessa arte dizendo que o momento angular é igual ao momento de inércia bem o momento de inércia de marcha é igual a um terço de mr e ao quadrado e então multiplicamos isso pela velocidade angular do objeto se colocarmos em termos numéricos teremos que o momento angular dessa arte será igual a um tenso vezes três quilogramas vezes o comprimento do objeto que é igual a dois metros e colocamos isso ao quadrado em seguida nós multiplicamos pela velocidade angular que é 10 radian anos por segundo o que não está o momento angular de 40 quilogramas metros ao quadrado por segundo então realizando tudo isso que eu acabei de falar se você tem uma massa em que toda essa massa gira no mesmo raio e que você quer encontrar o momento angular a maneira mais fácil de resolver esse problema com a fórmula mvr no entanto se você tem uma massa essa massa distribuída por todo o objeto em diferentes pontos e esses pontos têm raios diferentes a maneira mais fácil de obter o momento angular desse objeto é através da fórmula e vezes ômega em que é o momento de inércia do objeto e ômega é a velocidade angular do objeto eu espero que você tenha gostado desse vídeo e te vejo no próximo vídeo