Momento angular de um objeto expandido

RKA2MP - Nos vídeos passados, nós vimos que uma bola de massa "m" está realizando um movimento circular com velocidade "v" e raio R. Nesta situação, a bola possui algo que chamamos de momento angular. E o símbolo que usamos para representar o momento angular é um "L" maiúsculo. A quantidade de momento angular seria a massa da bola, vezes a velocidade da bola. Até aqui nós temos a intensidade do momento linear, mas, então, multiplicamos pelo raio do círculo que a bola cria ao se mover e isso nos dá o momento angular dessa bola em movimento circular, o que é ótimo e bom sabermos. Mas às vezes você não tem uma bola em um movimento circular e mesmo assim você precisa saber o momento angular. Por exemplo, ao invés deste caso que acabamos de ver, digamos que a gente tem um outro caso em que, ao invés de uma bola em movimento circular, a gente tenha uma haste de massa "m" e raio R, em que toda a haste se move em torno de um círculo. Vamos dizer que a extremidade da haste viaja com uma velocidade "v", assim como a bola. Então, a pergunta aqui é: a haste também terá o momento angular igual a mvR? A resposta para isso é: não. Provavelmente, você já deve ter se convencido de que isso ocorre porque, para a bola, toda a massa está viajando a uma velocidade "v" e toda a massa está na extremidade do círculo que a bola traça. Em outras palavras, toda a massa está viajando com o mesmo raio R. Mas, para esta haste, apenas uma parte da massa (a que se encontra na extremidade da haste) é que está viajando em um raio R. Esta é a parte que está viajando nesse raio R. Ah, sim, o restante da massa da haste, esta parte da haste aqui, também traça um círculo, mas o círculo que esta parte da haste traça não é igual ao raio R. Esta parte traça um círculo cujo valor de R é menor. Então, como podemos determinar o momento angular de um objeto cuja massa é distribuída de uma maneira que uma parte da massa está próxima ao eixo e outra parte da massa está longe do eixo? Isso o que vamos ver neste vídeo. Esse é nosso objetivo. E a abordagem que os físicos têm para isso é quase sempre a mesma. Nós temos a fórmula para o momento angular de uma única partícula se movendo em um único raio. Sabendo disso, vamos continuar imaginando que o objeto é composto por um grupo de massas individuais, todas se movimentando em um único raio. Se eu dividir essa massa contínua em peças individuais, se imaginarmos que esta peça seja partida em todos esses pequenos pedaços, caso a gente encontre o momento angular de cada uma dessas partes, basta somar tudo e, assim, teremos o momento angular total para este objeto. Vamos tentar fazer isso, então. O momento angular de alguma parte deste objeto, vamos dizer que esta pequena parte da massa, eu vou chamar de "m" a parte da massa deste objeto (esta não é toda a massa da haste, tudo bem? É apenas a massa desta pequena parte aqui). Assim, nós temos que o momento angular desta massa vai ser a massa, vezes a velocidade e também vezes o raio que essa parte da massa cria ao se mover de forma circular. Para deixar um pouco mais claro, vamos escrever isto como sendo a parte 1 da haste. Assim, teremos que isto é m₁, v₁ e R₁. E esse é o momento angular deste pequeno pedaço. Nós podemos fazer da mesma forma para esta outra parte. Podemos chamar esta parte de 2. Assim, teremos que o momento angular de 2 vai ser m₂ vezes v₂ vezes R₂. Lembre-se que todas as velocidades descritas aqui são diferentes. A velocidade da parte da extremidade é a maior. Já a velocidade desta outra parte não será tão grande. Lembre-se que, quanto mais próximo ao eixo, menor será a velocidade, porque esta parte traças círculos menores. Já esta parte, mais na extremidade, traça círculos maiores no mesmo decorrer do tempo. Por isso, a sua velocidade é maior. Talvez, neste momento, você esteja preocupado, pensando que este é um problema muito difícil de resolver. Já que teremos diferentes velocidades, também teremos diferentes raios e você deve estar se questionando como podemos resolver isso. Mas isso, meu amigo, é algo bem simples de se fazer e eu vou te mostrar agora como você pode resolver. Se nós imaginarmos que estamos somando todas estas partes (eu só desenhei duas aqui), nós temos que imaginar que há infinitas partes deste objeto. E eu sei que, fazendo isso, pode parecer que resolver o problema ficará ainda mais difícil. Mas imagine que estamos partindo esta haste em infinitas partes de massas distintas, e considerando que o momento angular individual de cada uma dessas partes será algo muito pequeno. Porque este m₁ seria uma massa extremamente pequena. E vamos somar cada um desses pequenos momentos angulares para ver o que temos no total. Se somarmos tudo isso, todos momentos angulares (mvR) de cada uma das partes da haste, isso será igual ao momento angular total da haste. No nosso exemplo, temos m₁v₁R₁ e m₂v₂R₂. E, assim, vai tomar todas essas partes individuais. Assim, teremos infinitas quantidades destas partes. É claro que a gente não vai conseguir escrever tudo, porque é uma quantidade infinita de partes. Mas imagine isso, o somatório de todas estas infinitas partes. Mas a minha pergunta para você agora é: o que podemos fazer com isto? Como podemos melhorar este somatório? Quando você está resolvendo um problema de física, você não quer resolver uma série infinita escrevendo cada termo infinitamente. A gente quer uma forma um pouco mais fácil de lidar com isso. E existe uma forma muito mais fácil de lidar com esse somatório. É isso que vamos ver aqui agora. Se a gente escrever L como sendo igual ao somatório de mvR, o único problema aqui é que cada massa tem uma velocidade diferente. Se eu puder retirar isso de dentro do somatório, isso realmente iria ajudar, porque poderíamos simplificar as coisas. Eu poderia colocar este fator do lado de fora. Mas eu não poderia colocar o fator R para fora, porque todos estes aqui têm raios diferentes a partir do eixo. E nós sempre devemos medir os raios a partir do eixo principal. Outro detalhe: cada pedacinho da haste terá uma velocidade diferente. Mas lembre-se que a gente pode escrever isso em termos das variações angulares. Porque as variações angulares são as mesmas para cada pedacinho desta massa. Assim, cada ponto da haste em rotação tem uma velocidade "v" diferente, mas cada uma dessas partes terá a mesma velocidade angular ômega. E este é o "pulo do gato" que vai nos ajudar na resolução deste problema. Isso é o que nós normalmente fazemos em problemas como este e é o que faremos agora. Vamos escrever isto como sendo o somatório de "m", mas, ao invés de escrevermos apenas "v", vamos escrever isto como R vezes ômega (ω). Anote isso em algum lugar. Para determinadas coisas que estão em rotação circular, a velocidade "v" vai ser igual a R vezes ω. Então, eu vou substituir isso nesta fórmula. A velocidade em qualquer ponto aqui é igual ao raio desse ponto, vezes a velocidade angular da haste em rotação circular. A gente já substituiu por "v", não é? Mas nós temos que multiplicar por R, então, é isso que vamos fazer. Nós temos que L vai ser igual ao somatório de mR² vezes ω. E isso é muito bom. O ω é o mesmo para qualquer massa. Cada uma das massas se move à mesma velocidade angular. Então, nós podemos colocar esse fator do lado de fora do somatório. Imaginando que todos estes termos tenham o mesmo ω, nós podemos colocar esse fator do lado de fora. E isso realmente simplificaria o somatório. Então, vamos escrever isto como sendo o somatório de mR². Para deixar mais organizado, vou colocar parênteses aqui. Então, isto é o somatório e tudo isso está sendo multiplicado por ω. Isso porque nós estamos apenas retirando o ω do somatório. Tudo bem, talvez você nem esteja muito impressionado com isso, pensando o seguinte: "Ok, grande ideia, mas nós ainda temos uma soma infinita aqui. O que eu vou fazer com isso?" Na verdade, você não tem que fazer nada com isso. E é aqui que a mágica acontece. Olhe para este somatório. Nós temos a soma de todos os mR². Você lembra o que é mR²? mR² é o momento de inércia de um ponto da massa. E, se somarmos todos os mR², nós teremos o momento de inércia da massa total de todo este objeto. E o legal é que isso que nós encontramos foi uma maneira realmente útil para escrevermos o momento angular deste objeto. Com isso, chegamos a esta relação do momento de inércia deste objeto e a velocidade angular de rotação deste objeto. Esta é uma ótima fórmula e ela faz total sentido. Vamos pensar um pouco sobre o momento linear. O momento linear "p" é igual a mv. Se a gente tentar determinar o momento angular sem fazer essa derivação, podíamos simplesmente dizer o seguinte: para determinar o momento angular, basta substituir a massa pela massa angular e a massa angular pela inércia angular e a inércia angular é o momento de inércia. Agora, basta substituir a velocidade pela velocidade angular. Desta forma, foi muito mais fácil determinar o momento angular sem fazer toda a derivação anterior. E isso faz muito sentido, porque, se você substituir todas as quantidades lineares por suas correspondentes angulares, você na verdade terá o momento angular de um objeto em rotação. E é isso que estamos fazendo aqui. Se você tem um objeto comprido, cuja massa está distribuída por todo esse objeto, se você pegar o momento de inércia do objeto e multiplicar por sua velocidade angular, você terá o momento angular desse objeto. Por exemplo: se esta haste tem uma massa de, digamos, 3 kg e a massa está distribuída uniformemente pelo objeto e o raio do objeto em movimento é 2 metros, esta é a distância entre o eixo e a extremidade. Vamos dizer também que a velocidade angular desse objeto é igual a 10 radianos por segundo. Podemos determinar o momento angular dessa haste dizendo que o momento angular é igual ao momento de inércia (o momento de inércia de uma haste é igual a 1/3 de mL²), e então, multiplicamos isto pela velocidade angular do objeto. Se colocarmos em termos numéricos, teremos que o momento angular desta haste será igual a 1/3 vezes 3 kg, vezes o comprimento do objeto (que é igual a 2 metros), e colocamos isso ao quadrado. Em seguida, nós multiplicamos pela velocidade angular, que é 10 radianos por segundo, o que nos dá o momento angular de 40 kg.m²/s. Revisando tudo isso que eu acabei de falar: se você tem uma massa em que toda essa massa gira no mesmo raio e você quer encontrar o momento angular, a maneira mais fácil de resolver esse problema é com a fórmula mvR. No entanto, se você tem uma massa distribuída por todo o objeto em diferentes pontos e esses pontos têm raios diferentes, a maneira mais fácil de obter o momento angular desse objeto é através da fórmula "I" vezes ω, em que "I" é o momento de inércia do objeto e ω é a velocidade angular do objeto. Eu espero que você tenha gostado deste vídeo e te vejo no próximo vídeo!