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Transcrição de vídeo

vamos tratar do momento de inércia é um conceito sobre qual as pessoas costumam ter bastante dúvida primeiro vamos lembrar que o momento de inércia é realmente a inércia de votação em outras palavras ela indica o quanto algo existe para ser angolano mente acelerado por exemplo se este sistema tiver um momento de inércia muito grande vai ser muito difícil acelerá lo por outro lado se o momento de inércia é pequeno é muito fácil de acelerá lo então momento de inércia indica isso o quão fácil o difícil é acelerar angular dente um objeto e essa ideia está justamente relacionada com a segunda lei de newton no caso análogo para o movimento circular a aceleração angular relaciona o torque eo momento de inércia sendo que a aceleração angular é igual ao torque resultante dividido pelo momento de inércia do objeto estudado observe que como o momento de inércia está no denominador quanto maior ele for menor vai ser alfa a aceleração angular para um dado um toque resultante do mesmo jeito o contrário se o momento de inércia for pequeno o resultado dessa divisão é maior então alfa aceleração goulart será maior vamos olhar primeiramente para o momento de inércia de um ponto material e o que queremos dizer com ponto material é a idéia de que toda a massa de um objeto possa estar concentrada em um ponto que está constantemente a mesma distância do centro do movimento circular por exemplo aqui se eu tiver uma bola bin pesada conectada no extremo de uma corda bem leve cuja massa é desprezível e ela estiver descrevendo o movimento circular portanto com raio constante a massa da bola vai estar sempre a mesma distância do centro do movimento e já verificamos que o momento de inércia para um ponto material nestas circunstâncias é a massa do corpo visys a distância a que ele está do centro vá ao quadrado indicado aqui por r então para um ponto material na extremidade do raio de um movimento circular o momento de inércia é m vezes é o quadrado mas nós podemos ter situações um pouco mais complicadas também por exemplo se ao invés de uma única massa amarrada na extremidade da corda nós tivéssemos três massas ao longo da corda nós olhamos isso em vídeo anterior e um momento de inércia neste sistema é a somatória de todas as contribuições de momento de inércia dos corpos envolvidos ou seja a somatória do mv 0 enquadrado de cada um deles nesta simbologia matemática isso significa m1 vezes o r1 ao quadrado mais m2 r2 quadrado que a mesma situação para o corpo indicado por dois ea mesma coisa para o m3 cm3 vezes r3 ao quadrado se você tiver mais massas você vai adicionando todas as contribuições para o momento de inércia você pode questionar dizendo que temos aqui três corpos cada uma distância do centro mas observa que no cálculo do momento de inércia nós já estamos levando em consideração as diferenças distância de cada um até o centro da circunferência neste exemplo o corpo um teria momento de inércia e mil vezes a ao quadrado a a distância do objeto até o centro da circunferência mas agora vamos ver para o corpo dois note que aqui eu desenhei os pontos materiais bem grandes para que você pudesse enxergar mas a idéia é que eles tenham um raio tão pequeno quanto siqueira e que não vai interferir nas medidas que necessitamos aqui para o corpo 2 o momento de inércia então m2 vezes a distância dele até o centro é a mais b elevada ao quadrado da mesma maneira a contribuição do m3 para o momento de inércia vai ser me três vezes a mais bem mais e ao quadrado essa somatória então é o momento de inércia total para este sistema e faz sentido observar que quanto maior a massa de sistema mais difícil é colocá-lo em votação é acelerá lo e como podemos alterar isto para que este sistema fique mais fácil de ser relacionado temos movimentar estas massas em direção ao centro da circunferência porque o r de cada um deles vai diminuir portanto o momento de inércia também será menor e ficará mais fácil rotacionar los observe como exemplo o taco de beisebol ele tem a maior parte da massa concentrada longe do centro da votação que é justamente onde você normalmente segura esse taco se você segurar o taco pela extremidade contrária ou seja na parte onde ele é mais largo você conseguirá rotacionado com mais facilidade porque a massa está concentrada próxima ao centro da rotação evidentemente que para o jogo não é isso desejável já que embora você rotacione mais rapidamente o taco por ele ficar com menor momento de inércia você não conseguiria acertar tão facilmente a bola nem tão pouco fazer com que ela voasse muito longe outra maneira de reduzir o momento de inércia do sistema evidentemente reduzindo as massas envolvidas mas agora uma pergunta muito simples e se eu tiver um sistema em que eu não consigo identificar pontos materiais cada um com a sua massa o que aconteceria se eu tivesse algo como isto trata-se de uma haste presa em uma das extremidades e que vai rotacionar descrevendo o movimento circular você poderia pensar em usar esta fórmula igual nvr quadrado para determinar o momento de inércia desta ace mas somente o ponto mais externo da haste é que está girando em torno de uma distância r do centro que seria o raio dessa circunferência mais externa e na verdade temos infinitos pontos cada uma distância do centro nesta haste por exemplo que eu posso pegar um ponto que esteja a metade do comprimento da haste de distância do centro um outro ponto aqui que está a uma distância do centro que é um oitavo do comprimento da haste em outras palavras sendo m a massa desta arte e l o seu comprimento total eu não posso dizer que o seu momento de inércia m vezes é o quadrado simplesmente porque a massa total dessa haste que está distribuída ao longo ela não está toda rotacionando concentrada no ponto mais externo da haste a massa está igualmente distribuída por toda a parte temos aqui que analisar os infinitos pontos que temos ao longo da haste suas massas ea distância de cada um deles até o centro do movimento para poder determinar o momento de inércia total da arte em outras palavras não posso usar diretamente essa fórmula pensando na haste inteira verdade é que você precisa de ferramentas avançadas de cálculo para obter uma fórmula que deu um momento de inércia desta haste que é um corpo extenso se você ainda não estudou o cálculo quando você estudar eu sugiro que você tem que desenvolver a fórmula que dá um momento de inércia desta ace contínua primeiro uma breve idéia do que podemos esperar para o cálculo do momento de inércia desta arte a pergunta é o momento de inércia da ásia deve ser maior que menor que o de fato igual a emi vezes é o quadrado o fato é que o momento de inércia tem que ser menor que o ml quadrado isso porque ml quadrados seria o momento de inércia que toda a massa da haste estivesse concentrada no seu extremo externo da circunferência e não é isso que acontece os outros pontos da as estão mais próximos do centro eles têm uma distância menor até o centro portanto cada pontinho tem uma contribuição menor para o momento de nesta conforme está mais perto do centro do movimento e já que o momento de inércia desta barra é menor que miele quadrado a questão é quanto menor ea verdade é que fazendo os cálculos vamos chegar a um terço do ml quadrado esse é o momento de inércia para uma barra homogênea presa em uma extremidade descrevendo o movimento circular agora uma pergunta e se o centro do movimento fosse deslocado para o centro da barra ou seja se ela girasse em torno do seu próprio centro o seu momento de inércia seria igual ao que já calculamos para quando ela está presa por uma extremidade seria maior ou menor tu é que o momento de inércia fica menor porque todos os valores do r que a distância de cada ponto da se até o centro ficou menor o maior valor possível para r vai ser ele sobre dois então o momento de inércia nestas circunstâncias para esta barra vai ser menor que um terço do ml quadrado se você usar as ferramentas de cálculo integral você vai obter um doze avos de ml ao quadrado então esse é o momento de inércia para uma barra em que o eixo o centro da votação está no centro da barra vamos a outro caso típico que é o cilindro também chamado de disco vamos considerar um cilindro maciço uniforme de massa m cujo raio da base r e ele gira em torno do seu próprio centro qual seria o seu momento de inércia de novo esperamos que o momento de inércia desde seguindo seja menor do que mr quadrado porque não é a massa toda do cilindro concentrada na extremidade do raio ela está distribuída ao longo do corpo de novo se você usar cálculo integral você vai deduzir que o momento de inércia para este cilindro é de meio mr quadrado isto repetindo vale para o cilindro que está sendo rotacionado em torno do seu próprio centro da base veja que estamos colocando aqui para o cálculo de momento de inércia destes corpos não é suficiente simplesmente sabendo de que corpo se trata mas é fundamental definir onde está o centro do movimento circular ou seja onde está o eixo desse movimento observa que para a barra quando girando em torno de uma extremidade o momento de inércia tem um valor e para quando a barra gira em torno do seu próprio centro o momento de inércia tem outro valor e reforçando a justificativa para essas diferenças é que dependendo de onde está o centro da rotação os valores de r envolvidos para o cálculo do momento de inércia ficam diferentes um outro objeto que aparece também com muita freqüência é a esfera vamos considerar a esfera rotacionando em torno do seu próprio eixo assim como planeta terra as massas que estão próximas aos pólos têm um momento de inércia diferente das massas que estão próximas ao equador porque as distâncias até o centro do movimento são diferentes então de novo esperamos que o momento de inércia para esfera seja menor que mr quadrado usando ferramentas de cálculo integral chegamos que o momento de inércia da esfera girando em torno do seu próprio eixo é de dois quintos de mr quadrado repetindo isso vale para a esfera rotacionando em torno do seu próprio eixo evidentemente hoje passando pelo seu centro e você pode dizer mas em exemplos anteriores nós usamos a esfera e consideramos que o momento de inércia era mvr quadrado mas atenção nos exemplos anteriores consideramos a esfera como um ponto material dadas as suas dimensões em relação ao sistema ea esfera estava presa a uma distância fixa do centro do movimento ou seja estávamos considerando toda a massa da esfera sempre a mesma distância do centro do movimento portanto a lhe cabia igual a mr quadrado quando olhamos para a esfera como um corpo extenso que o último caso que mencionamos girando em torno do seu próprio eixo que passa pelo seu centro então as massas distribuídas ali não estão todas a mesma distância r do centro então recapitulando o momento de inércia é um número que informa o quão difícil é acelerar angular mente um corpo se toda a massa desse corpo está uma mesma distância r do centro do movimento circular então o momento de inércia é igual mr quadrado se você tem vários pontos materiais você pode calcular o momento de inércia do sistema adicionando os momentos de inércia de cada um deles se você tiver uma barra homogênea rotacionando em torno de uma de suas extremidades seu momento de inércia vai ser um terço dml quadrado uma barra rotacionando em torno do próprio centro você vai ter um doze avos de ml quadrado como momento de inércia um cilindro rotacionando em torno de seu próprio centro com o eixo perpendicular as bases têm um momento de inércia calculado por um meio de mr quadrado uma esfera rotacionando em torno do seu próprio eixo que passa pelo seu centro tem um momento de inércia como dois quintos de mr quadrado estes corpos têm o momento de inércia menores que mr quadrado porque as suas massas estão distribuídas a diferentes distâncias do centro e essas distâncias são menores do que o raio do próprio objeto portanto o momento de inércia também tem que ser menor do que se comparássemos com toda a massa concentrada na extremidade daquele objeto daquele movimento ou seja o momento de inércia é reduzido quando reduzimos a medida r você não precisa necessariamente memorizar todas estas fórmulas porque cada corpo cada forma tem um momento de inércia também considerando onde está o centro do movimento mas nos seus livros e evidentemente online você encontra facilmente uma lista dos momentos de inércia para certos objetos que giram em torno de um certo o centro até o próximo vídeo