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Mais sobre momento de inércia

Neste vídeo David explica mais sobre o que significa momento de inércia, bem como dá os momentos de inércia para objetos de formas usuais. Versão original criada por David SantoPietro.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Vamos tratar do momento de inércia. É um conceito sobre o qual as pessoas costumam ter bastante dúvida. Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia é realmente a inércia de rotação. Em outras palavras, ela indica o quanto algo resiste para ser angularmente acelerado. Por exemplo, se este sistema tiver um momento de inércia muito grande, vai ser muito difícil acelerá-lo. Por outro lado, se o momento de inércia é pequeno, é muito fácil de acelerá-lo. Então o momento de inércia indica isso, o quão fácil ou difícil é acelerar angularmente um objeto. E essa ideia está justamente relacionada com a Segunda Lei de Newton no caso análogo para o movimento circular. A aceleração angular relaciona o torque e o momento de inércia, sendo que a aceleração angular é igual ao torque resultante dividido pelo momento de inércia do objeto estudado. Observe que, como o momento de inércia está no denominador, quanto maior ele for, menor vai ser "α", a aceleração angular, para um dado um torque resultante. Do mesmo jeito ao contrário, se o momento de inércia for pequeno, o resultado dessa divisão é maior, então, "α", aceleração angular, será maior. Vamos olhar primeiramente para o momento de inércia de um ponto material. O que queremos dizer com ponto material é a ideia de que toda a massa de um objeto possa estar concentrada em um ponto que está constantemente à mesma distância do centro do movimento circular. Por exemplo aqui, se eu tiver uma bola bem pesada conectada no extremo de uma corda bem leve, cuja massa é desprezível, e ela estiver descrevendo o movimento circular, portanto com raio constante, a massa da bola vai estar sempre à mesma distância do centro do movimento. Já verificamos que o momento de inércia para um ponto material nestas circunstâncias é a massa do corpo vezes a distância a que ele está do centro elevada ao quadrado, indicado aqui por "r". Então, para um ponto material na extremidade do raio de um movimento circular, o momento de inércia é mr². Mas nós podemos ter situações um pouquinho mais complicadas também. Por exemplo, se ao invés de uma única massa amarrada na extremidade da corda nós tivéssemos 3 massas ao longo da corda? Nós olhamos isso em vídeo anterior, e o momento de inércia neste sistema é a somatória de todas as contribuições de momento de inércia dos corpos envolvidos, ou seja, a somatória do mr² de cada um deles. Nesta simbologia matemática, isto significa m₁r₁² + m₂r₂², que é a mesma situação para o corpo indicado por 2, e a mesma coisa para o m₃, m₃r₃². Se você tiver mais massas, você vai adicionando todas as contribuições para o momento de inércia. Você pode questionar dizendo que temos aqui 3 corpos, cada um a uma distância do centro, mas observe que no cálculo do momento de inércia, nós já estamos levando em consideração as diferentes distâncias de cada um até o centro da circunferência. Neste exemplo, o corpo 1 teria momento de inércia m₁a². "a" é a distância do do objeto até o centro da circunferência. Mas, agora vamos ver para o corpo 2. Note que aqui eu desenhei os pontos materiais bem grandes para que você pudesse enxergar, mas a ideia é que eles tenham um raio tão pequeno quanto se queira e que não vai interferir nas medidas que necessitamos aqui. Para o corpo 2, o momento de inércia então é m₂ vezes, a distância dele até o centro é (a + b)². Da mesma maneira, a contribuição do m₃ para o momento de inércia vai ser m₃ vezes (a + b + c)². Esta somatória então, é o momento de inércia total para este sistema, e faz sentido observar, que quanto maior a massa deste sistema, mais difícil é colocá-lo em rotação, é acelerá-lo. Como podemos alterar isto para que este sistema fique mais fácil de ser rotacionado? Podemos movimentar estas massas em direção ao centro da circunferência, porque o "r" de cada um deles vai diminuir, portanto, o momento de inércia também será menor e ficará mais fácil rotacioná-los. Observe como exemplo, o taco de beisebol. Ele tem a maior parte da massa concentrada longe do centro da rotação, que é justamente onde você normalmente segura este taco. Se você segurar o taco pela extremidade contrária, ou seja, na parte onde ele é mais largo, você conseguirá rotacioná-lo com mais facilidade porque a massa está concentrada próxima ao centro da rotação. Evidentemente que para o jogo não é isso o desejável, já que embora você rotacione mais rapidamente o taco, por ele ficar com menor momento de inércia, você não conseguiria acertar tão facilmente a bola tampouco fazer com que ela voasse muito longe. Outra maneira de reduzir o momento de inércia do sistema, evidentemente, é reduzindo as massas envolvidas. Mas agora, uma pergunta muito simples: e se eu tiver um sistema em que eu não consigo identificar pontos materiais, cada um com a sua massa? O que aconteceria se eu tivesse algo como isto? Trata-se de uma haste presa em uma das extremidades e que vai rotacionar, descrevendo o movimento circular. Você poderia pensar em usar esta fórmula, I = mr² para determinar o momento de inércia desta haste, mas somente o ponto mais externo da haste é que está girando em torno de uma distância "r" do centro, que seria o raio desta circunferência mais externa. Na verdade, temos infinitos pontos, cada um a uma distância do centro nesta haste. Por exemplo, aqui eu posso pegar um ponto que esteja à metade do comprimento da haste de distância do centro. Um outro ponto aqui que está a uma distância do centro, que é 1/8 do comprimento da haste. Em outras palavras, sendo "m" a massa desta haste e "L" o seu comprimento total, eu não posso dizer que o seu momento de inércia é mL², simplesmente porque a massa total desta haste que está distribuída ao longo dela não está toda rotacionando concentrada no ponto mais externo da haste, a massa está igualmente distribuída por toda a haste. Temos aqui que analisar os infinitos pontos que temos ao longo da haste, suas massas e a distância de cada um deles até o centro do movimento para poder determinar o momento de inércia total da haste. Em outras palavras, não posso usar diretamente esta fórmula pensando na haste inteira. A verdade é que você precisa de ferramentas avançadas de cálculo para obter uma fórmula que dê o momento de inércia desta haste, que é um corpo extenso. Se você ainda não estudou o cálculo, quando você estudar, eu sugiro que você tente desenvolver a fórmula que dá o momento de inércia desta haste contínua. Primeiro, uma breve ideia do que podemos esperar para o cálculo do momento de inércia desta haste, a pergunta é: o momento de inércia da haste deve ser maior que, menor que, ou de fato igual a mL²? O fato, é que o momento de inércia tem que ser menor que o mL², isso porque mL² seria o momento de inércia se toda a massa da haste estivesse concentrada no seu extremo externo da circunferência. E não é isso que acontece, os outros pontos da haste estão mais próximos do centro, eles têm uma distância menor até o centro. Portanto, cada pontinho tem uma contribuição menor para o momento de inércia conforme está mais perto do centro do movimento. Já que o momento de inércia desta barra é menor que mL², a questão é quanto menor, e a verdade é que fazendo os cálculos, vamos chegar a 1/3 do mL². Este é o momento de inércia para uma barra homogênea presa em uma extremidade descrevendo o movimento circular. Agora, uma pergunta. E se o centro do movimento fosse deslocado para o centro da barra? Ou seja, se ela girasse em torno do seu próprio centro? O seu momento de inércia seria igual ao que já calculamos para quando ela está presa por uma extremidade? Seria maior ou menor? O fato, é que o momento de inércia fica menor, porque todos os valores do "r" que é a distância de cada ponto da haste até o centro, ficou menor. O maior valor possível para "r" vai ser L/2. Então, o momento de inércia nestas circunstâncias para esta barra vai ser menor que 1/3 do mL². Se você usar as ferramentas de cálculo integral, você vai obter um 1/12 de mL². Então, este é o momento de inércia para uma barra em que o eixo, o centro da rotação, está no centro da barra. Vamos a um outro caso típico, que é o cilindro, também chamado de disco. Vamos considerar um cilindro maciço uniforme de massa "m" cujo raio da base é "r" e ele gira em torno do seu próprio centro. Qual seria o seu momento de inércia? De novo, esperamos que o momento de inércia deste cilindro seja menor do que mr², porque não é a massa toda do cilindro concentrada na extremidade do raio, ela está distribuída ao longo do corpo. De novo, se você usar cálculo integral você vai deduzir que o momento de inércia para este cilindro é de 1/2 mr². Isto, repetindo, vale para o cilindro que está sendo rotacionado em torno do seu próprio centro da base. Veja que o que estamos colocando aqui para o cálculo de momento de inércia destes corpos não é suficiente simplesmente sabendo de que corpo se trata, mas é fundamental definir onde está o centro do movimento circular, ou seja, onde está o eixo desse movimento. Observe que para a barra, quando girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia tem um valor e para quando a barra gira em torno do seu próprio centro, o momento de inércia tem outro valor. E reforçando, a justificativa para essas diferenças, é que, dependendo de onde está o centro da rotação, os valores de "r" envolvidos para o cálculo do momento de inércia ficam diferentes. Um outro objeto que aparece também com muita frequência é a esfera. Vamos considerar a esfera rotacionando em torno do seu próprio eixo, assim como o planeta Terra. As massas que estão próximas aos pólos têm um momento de inércia diferente das massas que estão próximas ao Equador, porque as distâncias até o centro do movimento são diferentes. Então, de novo, esperamos que o momento de inércia para a esfera seja menor que mr². Usando ferramentas de cálculo integral, chegamos que o momento de inércia da esfera girando em torno do seu próprio eixo é de 2/5 mr². Repetindo, isso vale para a esfera rotacionando em torno do seu próprio eixo, evidentemente o eixo passando pelo seu centro. E você pode dizer: mas em exemplos anteriores nós usamos a esfera e consideramos que o momento de inércia era mr². Mas, atenção: nos exemplos anteriores, consideramos a esfera como um ponto material dadas as suas dimensões em relação ao sistema e a esfera estava presa a uma distância fixa do centro do movimento, ou seja, estávamos considerando toda a massa da esfera sempre à mesma distância do centro do movimento. Portanto, ali cabia I = mr². Quando olhamos para a esfera como um corpo extenso, que é o último caso que mencionamos, girando em torno do seu próprio eixo que passa pelo seu centro, então, as massas distribuídas ali não estão todas a mesma distância "r" do centro. Então, recapitulando, o momento de inércia é um número que informa o quão difícil é acelerar angularmente um corpo. Se toda a massa desse corpo está a uma mesma distância "r" do centro do movimento circular, então o momento de inércia é I = mr². Se você tem vários pontos materiais, você pode calcular o momento de inércia do sistema adicionando os momentos de inércia de cada um deles. Se você tiver uma barra homogênea rotacionando em torno de uma de suas extremidades, seu momento de inércia vai ser 1/3 mL². Uma barra rotacionando em torno do próprio centro, você vai ter 1/12 mL² como momento de inércia. Um cilindro rotacionando em torno de seu próprio centro, com eixo perpendicular às bases, tem um momento de inércia calculado por 1/2 mr². Uma esfera rotacionando em torno do seu próprio eixo que passa pelo seu centro tem um momento de inércia como 2/5 mr². Estes corpos têm o momento de inércia menores que mr², porque as suas massas estão distribuídas a diferentes distâncias do centro e essas distâncias são menores do que o raio do próprio objeto. Portanto, o momento de inércia também tem que ser menor do que se comparássemos com toda a massa concentrada na extremidade daquele objeto, daquele movimento. Ou seja, o momento de inércia é reduzido quando reduzimos a medida "r". Você não precisa necessariamente memorizar todas estas fórmulas, porque cada corpo, cada forma tem um momento de inércia, também considerando onde está o centro do movimento, mas nos seus livros e evidentemente online, você encontra facilmente uma lista dos momentos de inércia para certos objetos que giram em torno de um certo centro. Até o próximo vídeo!