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Biblioteca de Física
Curso: Biblioteca de Física > Unidade 7
Lição 2: Torque, momento e momento angular- Introdução ao torque
- Momentos
- Momentos (parte 2)
- Encontrando o torque para forças angulares
- Torque
- Versão rotacional da segunda lei de Newton
- Mais sobre momento de inércia
- Inércia rotacional
- Energia cinética rotacional
- Rolando sem problemas de escorregar
- Momento angular
- Momento angular constante quando não há torque resultante
- Momento angular de um objeto expandido
- Exemplo de momento angular de uma bola atingindo um bastão
- Produto vetorial e torque
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Rolando sem problemas de escorregar
Como resolver problemas onde um objeto rola sem escorregar. Versão original criada por David SantoPietro.
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Transcrição de vídeo
[LEGENDA AUTOMÁTICA] vimos em vídeos anteriores que há dois
tipos de energia cinética a energia cinética de translação e a derrotá são
mas esses dois tipos de energia cinética não são necessariamente proporcionais um
ao outro em outras palavras a energia cinética de transação não está
necessariamente relacionada à quantidade de energia cinética de rotação
entretanto há muitos tipos de problemas em que esses dois tipos de energia
cinética aparecem proporcionais um ao outro é o que vamos ver logo mais
imagine por exemplo que ao invés de bater com o taco nesta bola de beisebol
nós anulássemos sobre concreto o que vai acontecer então é que ela vai rotacionar
e também mover se para frente o que vai acontecer então é algo que chamamos como
rolagem sem deslizamento em outras palavras ao invés de bater
forte nesta bola de beisebol ou de jogá-la sobre um chão band isso nós
vamos ter aqui a situação em que ela vai girando e movendo-se para a frente sem
deslizar e quando isso acontece este ponto aqui na parte mais baixa da
bola vai ter zero de velocidade em relação ao chão e isso a qualquer
momento deste movimento esse ponto aqui embaixo na realidade não
está se movendo em relação ao chão isso porque se ele se movimentasse em
relação ao chão teríamos uma situação de deslizamento
esse ponto aqui que está em contato com o chão não está se movendo em relação a
ele a velocidade deste ponto da bola é zero
analogamente quando você está dirigindo um automóvel
não importa o quão rápido você esteja indo na estrada
o ponto mais a baixo do pneu está com velocidade zero em relação ao chão
esse ponto tem velocidade de zero por um breve intervalo de tempo e na sequência
da votação como se o pneu puxasse ponto para entrar novamente no movimento
rotacional e um novo ponto vai ocupar aquela posição e vai ter momentaneamente
velocidade nula e assim por diante com os próximos
pontos por outro lado este ponto que está aqui
mais ao alto está se movimentando incrivelmente rápido no seu pneu isso em
relação ao chão é claro mas mesmo assim o ponto mais baixo do pneu não está se
movendo em relação ao chão desde que tudo esteja funcionando como
devido desde que você não esteja praticando uma direção perigosa e não
esteja acontecendo o deslizamento dos pneus em situações como essa em que
temos a rotação sem deslizamento temos estes dois tipos de energia cinética
sendo proporcionais e mais ainda a velocidade aqui do centro de massa ea
velocidade angular também são proporcionais
é isso que eu pretendo mostrar a você agora
como podemos demonstrar que a velocidade do centro de massa é proporcional à
velocidade angular nesta situação vamos supor que eu vou pintar este arco
em torno da bola de beisebol e que ela vai girar sem deslizar marcando o chão
neste trecho e isso significa que ao votasse o nar exatamente o tamanho deste
arco a bola de beisebol também se movimentou para frente uma distância
exatamente equivalente ao cumprimento desse arco
em outras palavras ao girar a bola sem deslizar ela vai marcar aqui no chão
exatamente este trecho que tem o comprimento do arco que nós tentamos e
porque isso é importante porque é importante observar que o deslocamento
da bola tem comprimento igual ao cumprimento do arco isso é importante
porque isso significa que o centro de massa desta bola deslocou se para a
frente exatamente a mesma distância correspondente ao complemento do arco
que nós pintamos ou indicar aqui por de cmd centro de massa essa distância que a
bola percorreu e qual é o comprimento do arco
vamos precisar relembrar uma fórmula para isso vamos considerar o ângulo
determinado pelas extremidades do arquivo vértice evidentemente no centro
de massa da bola o comprimento do arco vai ser exatamente
o raio da bola às vezes o delta teta que a variação do ângulo ou seja o
deslocamento angular neste movimento neste trecho do movimento observa
entretanto que isso não é válido para qualquer ponto da bola este ponto aqui
no topo da bola descreve uma trajetória que é uma curva um pouquinho mais
complicada do que a trajetória de escrita pelo centro de massa essa
distância nessa trajetória de escrita por este
ponto não é necessariamente igual ao cumprimento do arco mas evidentemente o
centro de massa não está rotacionando em torno da bola
o centro de massa tem uma trajetória retilínea e justamente por isso podemos
garantir que a distância viajada pelo centro de massa exatamente do mesmo
comprimento que o arco que nós pintamos ali e agora vem o fato importante em
relação a isso nós podemos dividir os dois lados desta igualdade pelo delta te
pelo tempo que tomou este trecho do trajeto do lado esquerdo distância /
tempo vai ser a velocidade do centro de massa
do lado direito da igualdade temos r vezes delta tetra por delta t que é o
ômega a velocidade angular ou seja vamos ter que a velocidade linear do centro de
massa é igual ao raio da bola vezes a velocidade angular da bola chegamos ao
primeiro ponto muito importante aqui em que a velocidade do centro de massa
então é igual ao raio da bola se eles a velocidade angular da bola
claro que estamos considerando em relação ao centro de massa da bola
então de fato a velocidade do centro de massa é proporcional à velocidade
angular e você pode dizer esperem um pouco me parece que isto não é novidade
nenhuma nós já sabíamos que vê igual r vezes
ômega mas cuidado estamos em uma situação um pouco diferente estamos
falando de se ver como a velocidade do centro de massa na transação da bola e
quando tratavam os movimentos circulares e vê igual r desobriga o vindicatto a
velocidade de 1 ponto girando sempre uma distância r do
centro com uma velocidade angular ômega ou seja a velocidade de um ponto como
este que eu estou destacando aqui em que quando a bola se rotaciona tem uma
velocidade relativa ao centro de massa da bola enquanto aqui é esta que estamos
deslocando como vc ea velocidade do centro de massa na translação da bola
essa velocidade do centro de massa está indicando o quão rápido o centro de
massa está se movimentando na transação da bola e não qual é a velocidade de um
ponto no exterior da bola girando em torno do centro de massa
vamos tentar deixar isso bem claro em alguns exemplos vamos o primeiro temos
aqui um cilindro sólido de massa 5 quilogramas cujo raio da base mede dois
metros amarrado por uma corda enrolada nele e
você libera exibindo para que ele desça desenrolando acorda sem derrapar por uma
altura de quatro metros e você quer saber qual é a velocidade do centro de
massa quando o cilindro chegar no solo observe que nós chamamos isso de olho
mas efetivamente não é um e-mail a situação do iuan é um pouco diferente
ele tem uma qualidade aqui no centro e pode ser que não olhou a corda deslize
sobre o eixo que existe um centro de cilindro e isso é relevante porque nós
estamos tratando de um caso de votação sem deslizamento nesta situação basta
imaginar que a corda é como se fosse um chão e um cilindro girando como a bola
um pneu girando sobre o são 100 deslizamento ou seja neste caso o
cilindro não está deslizando em relação à corda foi o uac está se desenrolando
mas a corda não desliza sobre a superfície do objeto
estamos exatamente na mesma situação anterior em que podemos usar o fato de
que a velocidade de translação do centro de massa é igual a r que o raio do
cilindro vezes ômega que a sua velocidade angular
nós sabemos que ao desenrolar sem deslizar o cilindro faz e deslocar uma
diz a ânsia que é exatamente igual ao
cumprimento do arco descrito pela parte externa do cilindro girar
parece que aqui não vamos conseguir resolver porque eu não sei a velocidade
do centro de massa nem a velocidade angular
precisamos de alguma outra ideia para nos auxiliar e é justamente a idéia de
conservação de energia vamos lembrar que a energia inicial é
igual a energia final a situação começa a uma altura de quatro
metros ou seja há uma energia potencial gravitacional armazenada no cilindro e é
dada por mgh e já que o cilindro inicialmente estava em repouso essa
energia potencial gravitacional vai se transformando em energia cinética e será
totalmente transformada em energia cinética quando cilindro chegar ao chão
já que na nossa referência o chão é a altura 0 então ali ele não vai mais ter
energia potencial gravitacional ela terá sido toda transformada em energia de
movimento ou seja energia cinética ao chegar ao solo o cilindro vai ter
energia cinética de translação porque evidentemente ele estava se deslocando
ao descer esses quatro metros mas além disso teremos também a energia cinética
de votação porque o cilindro está girando e ele gira em torno do centro de
massa enquanto ele se desloca para baixo então já tínhamos meio de mv quadrado
energia cinética de translação vamos a ela adicionar meio de yoga quadrado que
a energia cinética de votação olhando agora não parece tão simples de resolver
porque não sabemos nem o vê nem o ômega esta é a razão pela qual gastamos 1 56
minutos agora há pouco a fórmula que desenvolvemos é justamente
a ligação entre o v e o ômega e ela vai ser muito útil quando colocarmos aqui na
conservação de energia assim vamos ter apenas uma incógnita já
que o enunciado do problema pergunta sobre se vê que a velocidade do centro
de massa vamos justamente fazer a substituição em
ômega isolando ômega na nossa fórmula vamos ter o ômega igual a velocidade do
centro de massa dividida pelo raio basta colocar esta expressão no lugar de
ômega na equação da conservação de energia
copiando aqui a colocar um lugar do ômega vcm sobre r
não podemos nos esquecer de que isto está elevada ao quadrado eliminando os
parentes vamos ter o ver ao quadrado sobre é o quadrado aqui parece muito
mais fácil agora porque há somente uma incógnita aqui que a velocidade do
centro de massa a claro falta observar que em que é o
momento de inércia do cilindro é sempre calculado por um meio vezes a massa do
cilindro vezes o raio da sua base elevada ao quadrado então vamos colocar
isso aqui no lugar do i também vou escrever aqui no lugar do im
um meio vezes mr quadrado observe que aquele um meio que já estava continua e
esse outro um meio existe devido ao cálculo do momento de inércia do
cilindro mas esse é o quadrado é exatamente o
mesmo daquele outro é o quadrado então poderemos cancelar aqui o fato de
cancelarmos o raio do cilindro significa que não importa qual é o raio dele nós
chegaremos ao mesmo resultado observe também que massa também será
cancelada então independente da massa do cilindro também vamos chegar ao chão com
a mesma velocidade do centro de massa em uma situação como esta
não importa o quão grande ele olhou nem qual é a sua massa desde que tenha
sempre a mesma forma do cilindro nestas circunstâncias eles atingem o solo com a
mesma velocidade para o centro de massa lembrando claro que estamos desprezando
a resistência do ar voltando à nossa equação
vamos ter simplesmente gh igual a meio vesgo cidade do centro de massa ao
quadrado mais um quarto vezes a velocidade do centro de massa ao
quadrado que nos deixa com três quartos dever ao quadrado
multiplicando os dois lados por quatro terços para cancelar a ação extraindo a
raiz quadrada para isolar o ps m vamos ter que a velocidade do centro de
massa é igual a raiz quadrada de 4 ghz sobre três e agora posso colocar números
aqui vamos ficar com a raiz quadrada de quatro vezes 9,8 metros por segundo
quadrado do gênesis quatro metros do h / 3 ea velocidade do centro de massa vai
ser 17 lá três metros por segundo é importante
frisar que outros problemas podem parecer muito diferentes de si mas podem
ser resolvidos de maneira muito semelhante
vamos verificar usando esta mesma ideia em um outro problema
temos aqui o mesmo cilindro abandonado do repouso no alto desta rampa e ele vai
rolar sem deslizar até chegar ao ponto mais baixo da rampa
a pergunta novamente a mesma qual é a velocidade do centro de massa quando
cilindro chegar ao chão parece muito diferente do outro problema mas a sua
resolução é bastante semelhantes conceitualmente e matematicamente é o
mesmo cálculo o cilindro tem ao alto da rampa energia potencial gravitacional
que o mgh essa energia potencial gravitacional vai se transformando em
energia cinética e quando o cilindro chegar a parte mais baixa da rampa toda
a energia potencial gravitacional vai ter sido transformada em energia
cinética ea energia cinética de translação mais energia cinética de
rotação vão compor a energia cinética total do cilindro que é o colar da mesma
forma que no exemplo anterior montada a equação já que existe rotação sem
deslizamento podemos trocar ômega por vir sobre r as massas vão se cancelar o
é quadrado vai cancelar temos exatamente o mesmo cálculo e verificamos que o
centro de massa vai chegar com velocidade de 7,23 metros por segundo ao
ponto mais baixo da rampa então recapitulando a velocidade do centro de
massa de um objeto não é necessariamente proporcional à velocidade angular desse
objeto entretanto se o objeto está rolando sem deslizar
essa proporcionalidade existe e nos permite simplificar equações em que
teríamos dois itens desconhecidos para apenas um item desconhecido e assim
podemos resolver para descobrir a velocidade do centro de massa do objeto
até o próximo vídeo