Energia cinética rotacional

RKA2MP - Quando um jogador da liga profissional de beisebol joga uma bola muito rápida, definitivamente, a bola tem energia cinética. Sabemos que, se você estiver na trajetória dessa bola e for acertado, isso vai doer muito, não é? Você deve prestar muita atenção para isso não acontecer. Mas aqui está a minha pergunta para você neste vídeo de hoje: o fato de que a maioria dos arremessos (a não ser que estejamos falando de um arremesso conhecido como knuckleball, cuja trajetória imprevisível), a maioria dos arremessos segue direto para a base com a bola de beisebol girando. E o fato de essa bola girar significa que tem energia cinética extra? Sim, significa que tem energia cinética extra. E a forma como vamos determinar isso é o que veremos neste vídeo de hoje. Neste caso, como podemos determinar a energia cinética de rotação? Se estamos vendo isso pela primeira vez, a primeira coisa que eu pensaria é que eu sei como determinar a energia cinética. A fórmula para determinar a energia cinética é muito fácil e você lembra disso, não é? A energia cinética é igual a 1/2 da massa de qualquer objeto, vezes a velocidade elevada ao quadrado. Mas o que nós queremos saber aqui é a energia cinética de rotação. E, para determinar a energia cinética de rotação, a regra é muito parecida. A energia cinética de rotação vai ser igual aos equivalentes da energia cinética comum, só que os equivalentes angulares, ou seja, ao invés da massa, nós vamos colocar o momento de inércia. Então, teremos: 1/2 vezes, ao invés da massa, o momento de inércia e, ao invés da velocidade linear, nós vamos colocar a velocidade angular. Teremos aqui a velocidade angular elevada ao quadrado. Eu acho que esta é uma boa maneira de determinar a energia cinética de rotação. Mas isto, na verdade, não foi uma derivação. Isto mais para uma dedução. E, normalmente, a gente pode fazer esse tipo de dedução simplesmente substituindo os valores lineares pelos seus análogos rotacionais. Por exemplo, aqui, eu substituí a massa pelo momento de inércia e a velocidade linear pela velocidade angular. Bem, eu não sei dizer se esta é a fórmula correta, porque, como eu te disse, isto foi uma dedução. Mas existe uma forma da gente derivar e chegar à equação para energia cinética da rotação. E é isso que nós vamos fazer agora. Como podemos demonstrar que esta é a energia de rotação para esta bola de beisebol girando? A primeira coisa que você precisa saber é que esta energia de rotação não é um novo tipo de energia cinética. É apenas a energia cinética que nós já aprendemos aqui. Mas, agora, é uma energia cinética de rotação. O que eu quero dizer é que, se imaginarmos que esta bola de beisebol está em rotação circular, cada ponto da bola está se movendo com uma velocidade. Vamos dizer que este pequeno pedaço, aqui no topo da bola, possui uma velocidade para a frente, deste jeito. Vamos chamar este pequeno pedaço de m₁ e este pequeno pedaço possui uma velocidade v₁, deste jeito. Da mesma forma, este outro ponto na lateral, que nós vamos chamar de m₂, possui, também, uma velocidade tangente a este movimento. Essa velocidade sempre vai tangenciar a esta trajetória circular da bola. Então, esta velocidade vai ser v₂. E nós também temos este outro pequeno ponto aqui, que está mais próximo ao eixo, que também possui uma velocidade. A gente vai chamar este ponto de m₃ e ele possui uma velocidade v₃. E esta velocidade é um pouco menor do que a velocidade v₂ e a velocidade v₁ porque ela está mais próxima ao eixo de rotação da bola. Agora isso vai ficar engraçado, porque todos os pontos em relação ao eixo desta bola estão se movendo com velocidades diferentes. Isso significa que, quanto mais perto nós estivermos do eixo, menor será a velocidade. Por exemplo, imagine este outro ponto, que iremos chamar de m₄. Possui uma velocidade v₄ ainda menor que esta velocidade v₃. E, quanto mais próximos estivermos do eixo, menor será essa velocidade. O que eu estou querendo dizer é que, em cada um destes pontos da bola, nós teremos uma energia cinética diferente. Então, para determinar a energia cinética de rotação, nós teremos que somar todas essas energias cinéticas individuais, de cada um destes pontos. Teremos aqui, por exemplo, que a energia cinética de rotação vai ser igual a 1/2 de m₁v₁ elevado ao quadrado, mais a energia cinética deste segundo ponto, então, teremos: mais 1/2m₂v₂², mais 1/2 de m... Se este é m₁, este é m₂, então este é m₃, vezes a velocidade 3 elevada ao quadrado e, assim, sucessivamente, tendo que somar a energia cinética em cada um dos pontos da bola para determinar a energia cinética de rotação. Um detalhe importante é que a gente pode fazer esse somatório sem se preocupar com o sentido da velocidade, já que a energia cinética não é um vetor. Além disso, a velocidade está elevada ao quadrado e, se está elevada ao quadrado, independente do sinal da velocidade sempre vai ser um valor positivo. Agora, para determinar essa energia cinética de rotação, isso parece um pouco impossível, porque nós teremos aqui infinitos termos. Mas preste bastante atenção agora, que nós iremos fazer um pequeno truque de mágica. A energia cinética de rotação vai ser igual, já que a gente tem que somar todos estes elementos, vai ser igual ao somatório de 1/2 da massa vezes a velocidade ao quadrado. A gente precisa somar a energia cinética de cada elementozinho desta bola. Isso é um pouco difícil de visualizar, não é? Principalmente porque nós temos infinitos elementos aqui. É difícil mesmo de imaginar isso. Mas visualize que você tem uma bola em rotação e você tem todos estes infinitos elementos se movimentando com uma velocidade diferente. Então, para determinar a energia cinética neste caso, você vai ter que somar a energia cinética de cada um desses infinitos pedacinhos, mesmo que isso pareça algo impossível de se fazer. Mas é aqui que a mágica acontece. Nós podemos reescrever esta velocidade em termos da velocidade angular, já que, independente de cada ponto ter uma velocidade linear diferente, cada um destes pontos vai ter a mesma velocidade angular, já que eles vão realizar voltas completas no mesmo intervalo de tempo. Vamos relembrar como podemos colocar a velocidade linear em termos da velocidade angular. A velocidade linear sempre vai ser igual ao raio "r", vezes a velocidade angular. Esta fórmula realmente é muito prática e nos ajuda a resolver diversos problemas de rotação. Então, nós podemos substituir esta velocidade linear pela velocidade angular. Teremos que a energia cinética de rotação vai ser igual ao somatório de 1/2m vezes a velocidade linear. E essa velocidade linear é igual ao raio vezes a velocidade angular, tudo isso elevado ao quadrado. Ok, você vai falar agora: "Caramba, nosso truque está deixando o problema ainda pior! E o que faremos, agora que temos esse somatório de todo este monstrão aqui?" Bem, se a gente abrir um pouco mais isto aqui, nós teremos o seguinte: o somatório de 1/2 de "m", vezes... E a gente pode abrir aquilo ali, este (r∙ω)², e aí teremos r² vezes ω². E o motivo da gente fazer isso é que, embora cada ponto da bola de beisebol tenha uma velocidade diferente, todas elas terão a mesma velocidade angular. É por isso que esta mágica fica interessante, porque, independente do ponto, se estivermos mais próximo ou mais distante do eixo, as quantidades angulares sempre serão as mesmas. E, já que a parte angular vai ser sempre a mesma, nós podemos colocar isso para fora do somatório. E, então, poderemos reescrever esse somatório e trazer todas estas constantes angulares (que, neste caso, é a velocidade angular) para fora desse somatório. 1/2 também é uma constante, então, podemos colocar isto como sendo igual a 1/2 do somatório de "m" vezes r² (e, se vamos jogar tudo isto para fora do somatório, podemos colocar um parênteses aqui), isto, vezes... A gente retirou este "ω" do somatório porque ele possui o mesmo valor para cada elemento desta bola de beisebol. E o fato deste 1/2 ter vindo para fora do somatório é que, se a gente fatorar cada um destes termos, a gente pode colocá-lo em evidência e fazer o somatório apenas com o produto entre a massa e a velocidade. Então, também podemos deixá-lo aqui fora deste somatório. Mas nós ainda estamos presos a este somatório porque temos massas diferentes para cada um destes pontos. E ainda temos este r², que também vai ser diferente para cada um dos pontos observados. Nós não podemos tirar nem a massa e nem o r² do somatório. Mas o que podemos fazer agora para se livrar deste somatório de alguma forma? Bem, eu acho que você já reconheceu este termo, não é? Este termo aqui no somatório nada mais é do que o momento de inércia total do objeto. Lembre-se que o momento de inércia total de um objeto vai ser igual ao somatório de "m" vezes r², já que o momento de inércia de um ponto da massa é igual a mr². Assim, o momento de inércia total de um grupo de pontos vai ser o somatório desses mr². E é exatamente isso que nós temos aqui. Isto aqui é exatamente o momento de inércia desta bola de beisebol. Então, chegamos à conclusão de que a energia cinética de rotação vai ser igual a 1/2 do momento de inércia, vezes a velocidade angular ao quadrado. E isto aqui é muito parecido com esta expressão, que encontramos anteriormente. Só que, agora, realizamos todo um processo de demonstração, em que, antes, a gente tinha feito apenas uma dedução. E esta expressão é muito interessante, porque ela nos diz a energia cinética total de rotação de cada um destes elementos que estão em movimento circular ao redor do centro de massa da bola. Então, ela nos fornece, na verdade, a energia cinética de rotação desta bola que está realizando um movimento circular com velocidade ω. Mas existe uma coisa que esta energia cinética não nos fornece, que esta expressão não nos fornece: a energia cinética de translação. Esta expressão não leva em consideração que esta bola está realizando um movimento de translação com uma velocidade "v". Ela não leva em consideração que este centro de massa está se movimentando pelo ar com essa velocidade. Mas nós podemos determinar essa energia cinética de translação, simplesmente usando esta expressão aqui. Podemos até mudar aqui este "k" e dizer que ele se trata, na verdade, de uma energia cinética de translação. E nós temos que fazer isso porque, na verdade, nós temos dois tipos de energia: uma energia cinética de rotação e uma energia cinética de translação. Nós temos uma fórmula para a energia cinética de translação, já que existe uma energia devido ao fato do centro de massa do objeto estar se movendo, e nós temos uma energia cinética de rotação, que é a energia devido ao movimento circular que esse objeto está fazendo em torno do seu centro de massa. Se o objeto está em translação, ou seja, se o seu centro de massa está se movendo e, enquanto está se movendo, ele está girando em torno do seu eixo, se nós quisermos determinar a energia cinética total aqui, nós teremos que fazer um somatório, ou seja, somar a energia cinética de translação com a energia cinética de rotação. Então, temos esta bola realizando um movimento de translação com uma certa velocidade de centro de massa, que é a velocidade com a qual o centro de massa está se movimentando, e temos aqui a velocidade angular. A energia cinética total, neste caso, será igual à energia cinética de translação, mais a energia cinética de rotação. Se pegarmos a velocidade do centro de massa, elevar ao quadrado e multiplicar com a massa nesta expressão, nós teremos a energia cinética de translação. E, se pegarmos a velocidade angular dessa bola, elevar ao quadrado e multiplicar pelo momento de inércia, usando esta expressão, nós teremos a energia cinética de rotação. Agora que a gente já viu toda essa ideia, vamos ver um pequeno exemplo. Vamos dizer que a gente tem uma bola de beisebol se movimentando para a direita com uma velocidade igual a 40 m/s. Esta é a velocidade do centro de massa desta bola. E claro que, quando esta bola de beisebol for lançada, além do movimento de translação, ela vai realizar um movimento de rotação. E essa bola vai realizar um movimento de rotação com uma velocidade angular "ω" igual a 50 radianos por segundo (rad/s). Supondo que essa bola tenha um raio "r" igual a 0,07 m (podemos colocar aqui: r = 0,07 m) e que ela possui uma massa "m" igual a 0,145 kg, vamos determinar a energia cinética desta bola. O que temos aqui é uma bola de beisebol de 0,145 kg e raio 0,07 m (ou seja, 7 cm), que foi lançada horizontalmente com uma velocidade igual a 40 m/s e que está realizando um movimento circular igual a 50 rad/s (com uma velocidade angular igual a 50 rad/s). A primeira coisa que nós podemos fazer aqui é determinar a energia cinética de rotação. Essa energia cinética de rotação vai ser igual a 1/2 do momento de inércia, vezes a velocidade angular ao quadrado. Vai ser igual a 1/2... Como sabemos, o momento de inércia de uma esfera em movimento circular (e esta bola de beisebol pode ser considerada uma esfera) é igual a 2/5 de mr². Então, basta a gente substituir isto aqui. 2/5 de "m" (e, neste caso, é a massa total da bola) vezes o raio elevado ao quadrado. Isso, vezes a velocidade angular ao quadrado. Isto vai ser igual a 1/2 de 2/5 (ou seja, vezes 2/5), vezes a massa da bola, que é 0,145 kg (vamos colocar isso até entre parênteses) vezes o raio da bola, que é 0,07 m elevado ao quadrado, isto vezes a velocidade angular, que é 50 rad/s. Teremos aqui: 50 rad/s, elevado ao quadrado. Fazendo esta pequena conta na calculadora, chegamos a um valor igual a 0,355 joules. Esta é a energia cinética de rotação da bola. Mas, como vimos, esta bola, ao ser lançada, também está sofrendo uma translação. Então, teremos uma velocidade de translação e uma energia cinética de translação. Essa energia cinética de translação, também podemos determinar usando a expressão que já conhecemos, ou seja, 1/2 da massa (e, neste caso, é a massa total da bola) vezes a velocidade do centro de massa elevada ao quadrado, que é a velocidade de translação. Isto, então, vai ser igual a 1/2 da massa da bola (e a massa da bola é 0,145 kg), vezes a velocidade do centro de massa ao quadrado, ou seja, 40 m/s elevado ao quadrado. Fazendo esta continha na calculadora, também chegamos a um valor igual a 116 joules. E uma coisa interessante que podemos observar aqui agora é que esta energia cinética de rotação é muito pequena em relação à energia cinética de translação E isso faz muito sentido, porque esta bola, ao ser lançada, está viajando pelo ar. Então, se ela bater em você, vai doer muito, graças a este movimento de translação e não em relação ao movimento de rotação. Podemos dizer que grande parte da energia cinética da bola está concentrada nesta energia cinética de translação. Agora, se você quiser determinar a energia cinética total, como eu falei anteriormente, para determinar a energia cinética total, basta somar a energia cinética de translação com a energia cinética de rotação. Teremos que somar a energia cinética de translação com a energia cinética de rotação. Então, teremos que a energia cinética total aqui vai ser igual à energia cinética de translação, que é 116 J, mais a energia cinética de rotação, que é 0,355 J. Isto vai ser igual a 116,355 J. Esta é a energia cinética total desta bola que está realizando um movimento circular enquanto está sofrendo uma translação. Recapitulando tudo isso que vimos: se você quer determinar a energia cinética total desta bola, você precisa de terminar a energia cinética de translação, que é igual a 1/2 vezes "m", vezes a velocidade do centro de massa (eu não coloquei aqui antes, mas é a velocidade do centro de massa) elevado ao quadrado. Aí, é só substituir os valores e chegar ao resultado. Se você quer determinar a energia cinética de rotação, basta simplesmente fazer uma coisa muito parecida, só que, ao invés da massa, vai usar o momento de inércia e, ao invés da velocidade linear do centro de massa, você vai usar a velocidade angular de rotação da bola. Esse momento de inércia, no caso de uma esfera, é determinado desta forma. Se for qualquer outro corpo, com qualquer outra geometria, basta olhar nas tabelas do momento de inércia para saber qual a expressão que você vai usar aqui. Você também substitui os valores e chega ao resultado final. Aí, basta somar a energia cinética de translação com a energia cinética de rotação, que você vai chegar ao valor da energia cinética total. Eu espero que você tenha gostado deste vídeo. Nos vemos no próximo vídeo!