Versão rotacional da segunda lei de Newton

RKA8JV - Agora nós já sabemos calcular torque, certo? Mas para que isso serve? Por que nos importa? Nós sabemos, pela segunda lei de Newton, que a aceleração é proporcional à força resultante. O que nós queremos é achar a ideia análoga no movimento circular, ou seja, como vamos lidar com uma certa aceleração angular dado um torque. Veja que no movimento linear nós temos a aceleração definida como a força resultante dividida pela massa, e a nossa meta agora é trazer a analogia disso para o movimento circular e poder trabalhar com a aceleração angular definida de maneira análoga que temos na segunda lei de Newton na situação linear. Vamos então supor que temos uma bola cuja massa é "m", em movimento circular em torno de um centro, e não só está em movimento mas está acelerando, está ganhando velocidade, ou então desacelerando, diminuindo o módulo de sua velocidade angular. Vamos então determinar a fórmula que nos permite calcular "α", a aceleração angular, conhecendo o torque, ou seja, fazendo uma analogia com a segunda lei de Newton. Primeiro, vamos nos lembrar de que para acelerar um objeto no movimento circular é necessário ter uma força tangente à trajetória sendo aplicada sobre a massa. É justamente essa força que vai causar um torque. Então, vamos considerar que esta força "F" é o que causa o torque. Nós já sabemos a fórmula para calcular o toque a partir dessa força. Vamos simplificar aqui considerando a situação em que a força é perpendicular ao raio do movimento. Então, o seno de 90° é 1, e vamos também considerar que esta força "F" é a força resultante sobre este objeto. E nós sabemos então, que a intensidade desta força é igual à massa do objeto vezes a aceleração dele. Você já pode se perguntar, isto não é novidade nenhuma, já sabíamos isso. Mas lembre-se, o que nós queremos é relacionar torque com aceleração angular. Vamos relembrar a definição de toque. Torque é igual à força sendo exercida sobre aquele objeto vezes a distância do objeto até o eixo, até o centro do movimento. Neste caso, esta distância é o "r", é o raio da circunferência que estamos vendo aqui. Lembre-se de que, se estivermos aplicando uma força a uma outra distância do centro, é essa distância que devemos considerar na hora de calcular o torque. E ainda vezes o seno do ângulo entre "r" e "F". Mas estamos trabalhando de maneira com que esse ângulo seja 90°, então, o sen90° sendo 1, vamos simplificar esta fórmula aqui. Ou seja, o torque exercido por esta força aqui vai ser simplesmente Fr. O que queremos é relacionar o torque com a aceleração angular, e uma ideia bem razoável aqui é multiplicar os dois lados desta igualdade por "r". Vamos ficar com "rF = rma". Do lado esquerdo, rF, nós sabemos que é o torque. Então, temos que o torque é igual a "rma". Mas "a", que é a aceleração linear, neste momento não nos interessa, nós estamos preocupados em obter uma relação entre o torque e "α", que é a aceleração angular. Como é que podemos mexer aqui para substituir "a", que é a aceleração linear, por "α", que é a aceleração angular? Aqui vamos precisar relembrar que a aceleração tangencial é igual o ''r", que é a distância do centro do movimento até o objeto em questão, vezes "α", que é a aceleração angular deste objeto. Esta é a relação entre "α" e a aceleração tangencial Reforçando, aqui quando escrevemos F = ma, estamos falando da aceleração tangencial, assim como a força também está tangente à circunferência, no ponto onde estamos olhando o objeto. Isto tudo significa que podemos reescrever a aceleração tangencial como "rα". Vou escrever aqui, então, no lugar da aceleração tangencial, "rα", estou só substituindo aceleração tangencial por "rα". Temos então, que o torque é igual a "rmrα", e vamos ter simplesmente que o torque é igual a mr² vezes "α", que é a aceleração angular. Estamos muito próximos do que queríamos, que era obter "α" em relação ao torque. Basta isolar "α" nesta equação e vamos ter que o "α" é igual ao torque dividio por toda esta parte aqui que é o "mr²". Isto é o que estávamos procurando. A aceleração angular é o torque dividido por mr². Mas, vamos olhar um pouquinho para o mr². O que é isso mesmo? Observe que, na analogia com a segunda lei de Newton, este termo mr² é análogo à massa na segunda lei de Newton. Lembre-se de que na segunda lei de Newton a massa é proporcional à inércia do objeto, ou seja, a massa indica o quanto um corpo resiste para ser acelerado. No movimento circular, o que temos aqui é justamente a mesma ideia, e este número que indica o quão difícil é acelerar angularmente um objeto é chamado de momento de inércia. E o momento de inércia, que é o que vamos usar aqui, normalmente é representado pela letra "I", e ele tem a função análoga à massa na segunda lei de Newton, portanto, o "I", o momento de inércia, indica a inércia de rotação de um sistema que estamos estudando. Então, um corpo com um momento de inércia muito grande vai oferecer muita dificuldade para ser angularmente acelerado. Para, por exemplo, uma bola, com toda sua massa concentrada na extremidade de uma corda descrevendo o movimento circular, o momento de inércia é mr². Aqui podemos observar que quanto maior o "r", maior o momento de inércia, portanto, fica mais difícil acelerar o objeto, quanto mais longe do centro ele estiver. Por outro lado, se o "r" for menor, ou se a massa for menor, o momento de inércia vai ser menor e portanto, é mais fácil acelerar aquele objeto no movimento angular. Então, este é o momento de inércia para uma massa no extremo de uma corda em um movimento circular. Este nome "momento de inércia" é o nome habitualmente usado, mas a ideia é justamente da inércia de rotação. As unidades para o momento de inércia, já que a massa é medida em quilogramas e o "r" é medida em metros, vamos ter kg/m² como unidade para o momento de inércia. De novo, este é o momento de inércia para um corpo cuja massa está toda à mesma distância do centro do movimento. Não precisa ser uma bola presa em uma corda, pode ser, por exemplo, a Lua se movendo ao redor da Terra. Mas, tem que ser uma situação em que toda a massa do objeto pode ser considerada a uma mesma distância do centro do movimento, ou seja, estamos considerando que o raio da esfera amarrada aqui na ponta da corda é bem menor que o tamanho da corda, bem menor, portanto, que o raio do movimento. É a ideia que temos de ponto material. Podemos deixar isso um pouquinho mais difícil, porque até agora consideramos apenas uma força, mas, podem existir várias forças atuando sobre o objeto. Por exemplo, se eu tivesse uma outra força aqui, antes de usar o "ma" eu preciso obter a força resultante, lembre-se disso, e a partir de então, saber qual é o torque resultante para então calcular, por exemplo, a aceleração angular. Evidentemente, se você tiver vários torques sendo aplicados sobre o objeto em questão, você precisa obter o torque resultante para calcular a aceleração angular. Observe também, que o torque resultante positivo quer dizer que ele está na mesma direção, ele está favorecendo a aceleração angular, e o torque negativo está "desfavorecendo" a aceleração angular, portanto, diminuindo módulo da velocidade do objeto em rotação. Agora, uma outra perguntinha para complicar mais um pouco. E se, no nosso sistema, eu tiver mais do que uma massa, mais do que um corpo envolvido? Vamos considerar este problema agora. Temos 3 massas, temos uma força de 20 N nesta massa número 2, apontando para baixo, e uma força disse 50 N apontando para cima nesta massa número 1. Todas as massas estão ligadas pela mesma corda, ou pela mesma barra, cuja massa é desprezível, e também ela não é deformável. Observe também, que uma massa está separada da outra por 3 m e a massa número 3 está a 3 m do centro do movimento. As 3 massas rotacionam juntas em relação ao centro do movimento. A questão é: qual é a aceleração angular destes objetos? Podemos usar a fórmula que deduzimos agora há pouco, mas observe que para isso precisamos saber qual é o torque resultante. Temos aqui mais, do que uma força, não podemos simplesmente subtraí-las porque elas estão sendo aplicadas à distâncias diferentes do centro do movimento. Primeiro, vamos identificar o torque devido a cada uma destas forças. Para esta força de 50 N, observe que a distância dela até o centro é de 9 metros e a intensidade da força é de 50 N perpendicular ao raio, portanto, o seu torque vai ser 9 m vezes 50 N. Agora temos que olhar para o torque devido à força de 20 N. Você pode dizer que é tranquilo. Assim como fizemos com a outra, vou tomar os 20 N da força e multiplicar pela distância do ponto de aplicação da força até o centro, que é então de 6 m, portanto, 6 m vezes 20 N, vai ser o torque devido a esta força, e você pensa em adicionar ao torque da força de 50 N. Mas agora você tem que tomar um pequeno cuidado. Observe que a força de 50 N tenta rotacionar o sistema no sentido anti-horário. Por outro lado, a força de 20 N quer rotacionar o sistema no sentido oposto, e isso significa que o torque destas forças tem que ter sinais opostos. Eu vou escolher que a força de 20 N está aplicando um toque negativo em relação à força de 50 N, portanto aqui vamos ter um sinal de menos. Então, agora já temos condições de definir o torque resultante, mas precisamos também saber qual é o momento de inércia do sistema para poder, adequadamente, saber o valor da aceleração angular. Já sabemos que o momento de inércia para uma massa concentrada em um único ponto a uma distância "r" do centro do movimento é dado por mr². Mas agora nós temos 3 massas, cada uma a uma distância diferente do centro do movimento. Você pode ficar preocupado e achar difícil, mas não é difícil. Podemos aqui tranquilamente dizer que o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia individuais, ou seja, o momento de inércia da massa 1, mais o momento de inércia da massa 2, mais o momento de inércia da massa 3, vai nos dar o momento de inércia total do sistema. Escrevendo aqui, temos o mr² para cada uma das massas, temos 3 massas, mas caso houvesse mais, você continuaria. Para a massa número 1, o momento de inércia vai ser de 1 kg vezes 9 m, que é a distância até o centro, elevado ao quadrado, mais a massa 2, que é de 2 kg, esse valor é dado ali, vezes 6 m² + 3 kg da massa número 3, vezes 3 m². Fazendo estas contas todas, até mesmo usando uma calculadora, vamos chegar que "α = 1,83 rad/s²". Ou seja, este sistema que inicia em repouso vai ganhando velocidade angular nesta taxa de 1,83 rad/s a cada segundo. Agora, recapitulando, assim como a segunda lei de Newton nos dá a aceleração como força dividida pela massa, no movimento circular, temos a analogia para obter a aceleração angular como o torque dividido pelo momento de inércia. Observe que o denominador é o momento de inércia e não somente a massa, porque é justamente o momento de inércia que diz o quão é difícil acelerar angularmente o corpo em questão. O momento de inércia de um ponto material a uma distância "r" do centro do movimento é "mr²", "m" é a massa do corpo, e se tivermos um sistema composto de várias massas, o momento de inércia do sistema é a somatória dos momentos de inércia de todos os corpos envolvidos. É isso aí. Até o próximo vídeo!