Ângulo ideal para um projétil parte 4 – Como encontrar o melhor ângulo e distância com um pouco de cálculo

RKA12 Olá, pessoal! Aqui nós temos a fórmula (nós chegamos à fórmula nos últimos vídeos) da distância em função do ângulo θ (teta) para um lançamento oblíquo. E, neste vídeo, nós vamos fazer o seguinte: nós queremos achar qual é o melhor ângulo qual é este melhor ângulo θ aqui para que a distância do lançamento oblíquo, para que o projétil alcance a maior distância possível. Então, nós queremos saber qual é este ângulo para esta distância ser a maior possível. E se vocês, por acaso, pegarem este gráfico aqui e o plotarem usando algum site ou algum software, ou até mesmo a calculadora, vocês vão ter alguma coisa mais ou menos assim. Vocês vão ter um eixo que vai ser a distância em função de θ, e aqui vocês vão ter o eixo de θ. E, assumindo que este intervalo seja entre zero e 90 graus, o gráfico ficaria alguma coisa parecida com isto daqui. Ele faria alguma coisa assim. E pronto! Assim! Então, aqui, seria zero grau (aqui vai de zero grau) até chegar em 90 graus. E nós queremos achar o ângulo em que esta distância seja a máxima (que ficaria mais ou menos aqui) Então, nós vamos usar um pouquinho de cálculo neste vídeo. E, se vocês já olharam para este gráfico aqui, então vocês já podem me dizer o seguinte: o que acontece quando eu tiro... quando eu tiro uma derivada de uma função, por exemplo, eu acho a inclinação instantânea daquela curva, eu acho a inclinação daquela função em um determinado ponto. Quando eu tirar a derivada, quando eu fizer a derivada do meu ponto ótimo, da minha maior distância, por exemplo, o que vai acontecer com a derivada? Bom, ela vai ser zero. Ela vai ser paralela ao eixo "x". Então, isto já dá uma boa pista, já dá uma boa ideia de por onde nós vamos começar. Então, tudo o que nós vamos ter que fazer agora é tirar a derivada disto daqui em relação a θ, e, então, igualar o resultado a zero e ver qual θ que se encaixa neste resultado. Então, vamos começar. Aqui, eu vou fazer a nossa notação: "d'θ" ("d" linha de θ) vai ser a nossa função derivada. E isto daqui vai ter que ser igual. Ok. Então, vamos começar. Nós temos "2s²/g", que neste caso, para nós, é uma constante, então não vai dificultar muito o nosso cálculo. Então, a gente pode simplesmente colocar aqui, como é constante. "2s²/g". E, agora, multiplicado por nisto daqui, neste cosseno vezes seno, nós vamos ter que utilizar a regra do produto. E tudo o que a regra do produto faz, na verdade, é a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. Então, vamos começar derivando o “cos θ”. A derivada de “cos θ” é “-sen θ”. E isto daqui vezes, agora, “sen θ”. E, agora, “mais”. Agora nós temos a derivada do segundo, que é a derivada de seno, que é cosseno. Então, a derivada de seno, que é “cos θ”, multiplicado por... pelo próprio “cos θ”... (eu tinha feito em verde)... vou multiplicar pelo próprio “cos θ”. E é basicamente isto. Agora, nós temos que igualar isto a zero, obviamente, como eu já tinha dito. Mas, agora, nós vamos dividir os dois lados por "2s²/g", porque este termo não me interessa muito. Eu quero desaparecer com ele. Então, se eu dividir este lado por "2s²/g", vai cancelar neste lado. Então, aqui, vai cancelar e ficar 1. E, aqui, se eu dividir zero por isto, assumindo que isto não seja zero (o que faz sentido), então neste lado continua sendo zero. Então, nós podemos reescrever a nossa função como "d'θ", que tem que ser igual... ok, agora, eu já vou juntar o que está dentro dos parênteses. Então, "-sen θ" vezes "sen θ" vai ser a mesma coisa que "-sen² θ". E isto somado com "cos² θ". Ok. Então, agora, posso fechar meu parêntese, e isto aqui tem que ser igual a zero. Ok. Então, agora, eu posso tirar os parênteses, e o que eu vou fazer aqui vai ser somar "sen² θ" nos dois lados. Ou, no caso, passar "sen² θ" para o outro lado. Mas, então, vamos só anotar aqui embaixo, deixar bem explícito isto. Então, estou somando "sen² θ" nos dois lados (mais "sen² θ"). Ok. Estou somando “sen² θ" nos dois lados. Então, eu vou ficar neste lado com "cos² θ", e isto tem que ser igual a "sen² θ". Ok. Então, agora, eu posso tirar a raiz quadrada positiva destes dois e continuar meu cálculo, mas eu não quero fazer isto. Eu vou fazer de outra maneira. Mas também funcionaria se eu tirasse aqui a raiz quadrada deste lado e a raiz quadrada deste lado. Mas o que eu vou fazer... (vocês já vão perceber por que eu vou fazer isso)... eu vou dividir os dois lados por "cos² θ". E este lado também por "cos² θ". Então, aqui cancela e fica 1. E aqui, neste lado, eu fico com "sen² θ" dividido por "cos² θ", que é a mesma coisa que a "tg² θ". Então, "tg² θ" tem que ser igual a 1. E, se eu tirar a raiz quadrada nos dois lados, a raiz quadrada de 1 é 1, e a raiz quadrada positiva da "tg² θ" é "tg θ". Então, aqui vai ficar igual à "tg θ = 1”. O porquê de eu poder fazer isto: eu estou tirando a raiz quadrada da "tg² θ" no intervalo de zero até 90 graus, e neste intervalo ela é positiva. Então, eu não tenho problema em tirar a raiz quadrada positiva da "tg² θ" neste caso. Então, ok. Nós chegamos no nosso resultado de que a "tg θ" tem que ser igual a 1. Então, agora, a gente pode fazer de cabeça e ver qual tangente que é igual a 1, ou a gente pode aplicar a função... (só espere porque meu pincel mudou de tamanho aqui, deixe-me voltar para o tamanho normal... aqui, aqui)... Ok. Então, a gente pode ou fazer de cabeça ou usar a fórmula do inverso desta função. Então, "arctg" ou arcotangente de θ tem que ser igual a 1. E isto me daria um θ igual a 45 graus, ou "π/4" radianos (qualquer um dos dois valores funcionaria). Então, o nosso ângulo ótimo, o nosso melhor ângulo para fazer este lançamento oblíquo, é quando um ângulo θ é igual a 45 graus. E isso é legal porque não depende do planeta em que você esteja, o melhor ângulo sempre vai ser 45 graus. Claro, assumindo que não exista resistência do ar, nem nenhum outro tipo de resistência (seja uma coisa meio perfeita), mas sempre vai ser 45 graus. E qual vai ser a distância quando eu utilizar este meu θ de 45 graus? É só a gente trocar nesta fórmula daqui. E, para isso, a gente vai precisar do "cos 45°" e o "sen 45°". Só que aí que vem aquela parte de que eu falei que eu poderia ter tirado a raiz quadrada aqui ou não. A gente já de cara aqui teria encontrado, aqui neste passo, se a gente tivesse tirado a raiz quadrada nos dois lados, a gente teria encontrado "cos θ = sen θ". E isto só acontece... no intervalo de zero a 90 graus... isto só acontece no 45 graus. Então, a gente já teria acabado a nossa conta aqui. Ok, agora, continuando então o "cos 45°" é √2/2. Isto é um dos ângulos notáveis. Se você não sabe de cor, você pode pegar em uma tabela, por exemplo, ou na calculadora. "sen 45°" também é √2/2. Então, agora, a gente pode trocar na nossa fórmula lá de cima. Então, o "d(θ)" vai ser igual a "2s²/g", e agora √2/2 (que é o "cos θ") vezes √2/2 (que é o "sen θ"). Então, esta √2 vezes esta √2 vai virar um 2. Este 2 (que acabou de virar por causa da multiplicação de raízes) pode ser cancelado com este 2 aqui de baixo. E este 2 aqui cancelará com este 2 daqui. Então, o meu resultado final ficará "d(θ)" igual a "s²/g". Até a próxima, pessoal!