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Biblioteca de Física
Curso: Biblioteca de Física > Unidade 2
Lição 2: Ângulo ideal para um projétil- Ângulo ideal para um projétil parte 1: componentes da velocidade vetorial inicial
- Ângulo ideal para um projétil parte 2: tempo no ar
- Ângulo ideal para um projétil parte 3: distância horizontal como uma função do ângulo (e velocidade escalar)
- Ângulo ideal para um projétil parte 4 – Como encontrar o melhor ângulo e distância com um pouco de cálculo
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Ângulo ideal para um projétil parte 4 – Como encontrar o melhor ângulo e distância com um pouco de cálculo
Versão original criada por Sal Khan.
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- Por que nesse vídeo no lugar de V^2, ele pôs S^2(4 votos)
- eu acho que esse s é speed, que seria o equivalente à v em inglês(2 votos)
- Essa equação da distância está correta?
Ao tentar deduzir encontrei:d() = -2v^2.cos().sem()/g
O que difere é o sinal negativo.(1 voto) - eu deveria saber derivar estando no 1o ano do ensino medio ou a khan misturou um pouco os conteúdos de suass respectivas series?(pelo menos olhando em relaçao aos conteudos dado no ensino medio brasileiro)(1 voto)
- Derivação é um conteúdo de Cálculo Diferencial e ,em geral, só é estudado na universidade. Encare o vídeo como uma curiosidade.(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA12 Olá, pessoal! Aqui nós temos a fórmula (nós
chegamos à fórmula nos últimos vídeos) da distância em função do ângulo θ (teta)
para um lançamento oblíquo. E, neste vídeo, nós vamos fazer o seguinte:
nós queremos achar qual é o melhor ângulo qual é este melhor ângulo θ aqui para que a distância do lançamento oblíquo, para
que o projétil alcance a maior distância possível. Então, nós queremos saber qual é este ângulo
para esta distância ser a maior possível. E se vocês, por acaso, pegarem este gráfico aqui e o plotarem usando algum site ou
algum software, ou até mesmo a calculadora, vocês vão ter alguma coisa mais ou menos assim. Vocês vão ter um eixo que vai ser a distância em função de θ, e aqui vocês vão ter o eixo de θ. E, assumindo que este intervalo
seja entre zero e 90 graus, o gráfico ficaria alguma coisa
parecida com isto daqui. Ele faria alguma coisa assim. E pronto! Assim! Então, aqui, seria zero grau
(aqui vai de zero grau) até chegar em 90 graus. E nós queremos achar o ângulo em que esta distância seja a máxima
(que ficaria mais ou menos aqui) Então, nós vamos usar um
pouquinho de cálculo neste vídeo. E, se vocês já olharam para este gráfico aqui,
então vocês já podem me dizer o seguinte: o que acontece quando eu tiro... quando eu
tiro uma derivada de uma função, por exemplo, eu acho a inclinação instantânea daquela curva, eu acho
a inclinação daquela função em um determinado ponto. Quando eu tirar a derivada, quando eu
fizer a derivada do meu ponto ótimo, da minha maior distância, por exemplo,
o que vai acontecer com a derivada? Bom, ela vai ser zero.
Ela vai ser paralela ao eixo "x". Então, isto já dá uma boa pista, já dá uma
boa ideia de por onde nós vamos começar. Então, tudo o que nós vamos ter que fazer agora é tirar a derivada disto daqui em relação a θ, e, então, igualar o resultado a zero e ver qual θ que
se encaixa neste resultado. Então, vamos começar. Aqui, eu vou fazer a nossa notação: "d'θ" ("d" linha de θ) vai ser a nossa função derivada. E isto daqui vai ter que ser igual. Ok. Então, vamos começar. Nós temos "2s²/g", que neste caso,
para nós, é uma constante, então não vai dificultar muito o nosso cálculo. Então, a gente
pode simplesmente colocar aqui, como é constante. "2s²/g". E, agora, multiplicado por
nisto daqui, neste cosseno vezes seno, nós vamos ter que
utilizar a regra do produto. E tudo o que a regra do produto faz, na verdade,
é a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. Então, vamos começar derivando o “cos θ”. A derivada de “cos θ” é “-sen θ”. E isto daqui vezes, agora, “sen θ”. E, agora, “mais”. Agora nós temos a derivada do segundo,
que é a derivada de seno, que é cosseno. Então, a derivada de seno, que é “cos θ”, multiplicado por... pelo próprio “cos θ”... (eu tinha feito em verde)...
vou multiplicar pelo próprio “cos θ”. E é basicamente isto. Agora, nós temos que igualar isto a zero,
obviamente, como eu já tinha dito. Mas, agora, nós vamos dividir os dois lados por
"2s²/g", porque este termo não me interessa muito. Eu quero desaparecer com ele. Então, se eu dividir este lado por "2s²/g", vai cancelar neste lado. Então, aqui, vai cancelar e ficar 1. E, aqui, se eu dividir zero por isto, assumindo
que isto não seja zero (o que faz sentido), então neste lado continua sendo zero. Então, nós podemos reescrever
a nossa função como "d'θ", que tem que ser igual... ok, agora, eu já vou juntar o que
está dentro dos parênteses. Então, "-sen θ" vezes "sen θ" vai ser a mesma coisa que "-sen² θ". E isto somado com "cos² θ". Ok. Então, agora, posso fechar meu parêntese,
e isto aqui tem que ser igual a zero. Ok. Então, agora, eu posso tirar os
parênteses, e o que eu vou fazer aqui vai ser somar "sen² θ" nos dois lados. Ou,
no caso, passar "sen² θ" para o outro lado. Mas, então, vamos só anotar aqui
embaixo, deixar bem explícito isto. Então, estou somando "sen² θ"
nos dois lados (mais "sen² θ"). Ok. Estou somando “sen² θ" nos dois lados. Então, eu vou ficar neste lado com "cos² θ", e isto tem que ser igual a "sen² θ". Ok. Então, agora, eu posso tirar a raiz quadrada
positiva destes dois e continuar meu cálculo, mas eu não quero fazer isto. Eu vou fazer de outra maneira. Mas também funcionaria se eu tirasse aqui a raiz
quadrada deste lado e a raiz quadrada deste lado. Mas o que eu vou fazer... (vocês já vão
perceber por que eu vou fazer isso)... eu vou dividir os dois lados por "cos² θ". E este lado também por "cos² θ". Então, aqui cancela e fica 1. E aqui, neste lado, eu fico com "sen² θ" dividido
por "cos² θ", que é a mesma coisa que a "tg² θ". Então, "tg² θ" tem que ser igual a 1. E, se eu tirar a raiz quadrada nos
dois lados, a raiz quadrada de 1 é 1, e a raiz quadrada positiva da "tg² θ" é "tg θ". Então, aqui vai ficar igual à "tg θ = 1”. O porquê de eu poder fazer isto: eu estou tirando a raiz
quadrada da "tg² θ" no intervalo de zero até 90 graus, e neste intervalo ela é positiva. Então, eu não tenho problema em tirar a raiz
quadrada positiva da "tg² θ" neste caso. Então, ok. Nós chegamos no nosso resultado
de que a "tg θ" tem que ser igual a 1. Então, agora, a gente pode fazer de cabeça
e ver qual tangente que é igual a 1, ou a gente pode aplicar a função... (só espere porque meu pincel mudou de tamanho
aqui, deixe-me voltar para o tamanho normal... aqui, aqui)... Ok. Então, a gente pode ou fazer de cabeça
ou usar a fórmula do inverso desta função. Então, "arctg" ou arcotangente
de θ tem que ser igual a 1. E isto me daria um θ igual a 45 graus, ou "π/4" radianos (qualquer um
dos dois valores funcionaria). Então, o nosso ângulo ótimo, o nosso melhor
ângulo para fazer este lançamento oblíquo, é quando um ângulo θ é igual a 45 graus. E isso é legal porque não depende
do planeta em que você esteja, o melhor ângulo sempre vai ser 45 graus. Claro, assumindo que não
exista resistência do ar, nem nenhum outro tipo de resistência
(seja uma coisa meio perfeita), mas sempre vai ser 45 graus. E qual vai ser a distância quando
eu utilizar este meu θ de 45 graus? É só a gente trocar nesta fórmula daqui. E, para isso, a gente vai precisar
do "cos 45°" e o "sen 45°". Só que aí que vem aquela parte de que eu falei que
eu poderia ter tirado a raiz quadrada aqui ou não. A gente já de cara aqui teria encontrado, aqui neste passo, se a gente tivesse
tirado a raiz quadrada nos dois lados, a gente teria encontrado "cos θ = sen θ". E isto só acontece... no intervalo de zero
a 90 graus... isto só acontece no 45 graus. Então, a gente já teria
acabado a nossa conta aqui. Ok, agora, continuando então o "cos 45°" é √2/2. Isto é um dos ângulos notáveis. Se você não sabe de cor, você pode pegar em
uma tabela, por exemplo, ou na calculadora. "sen 45°" também é √2/2. Então, agora, a gente pode trocar
na nossa fórmula lá de cima. Então, o "d(θ)" vai ser igual a "2s²/g", e agora √2/2 (que é o "cos θ")
vezes √2/2 (que é o "sen θ"). Então, esta √2 vezes esta √2 vai virar um 2. Este 2 (que acabou de virar por causa da multiplicação
de raízes) pode ser cancelado com este 2 aqui de baixo. E este 2 aqui cancelará com este 2 daqui. Então, o meu resultado final ficará "d(θ)" igual a "s²/g". Até a próxima, pessoal!