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Conteúdo principal

O que são componentes da velocidade vetorial?

Aprenda como simplificar vetores usando decomposição.

Por que dividimos vetores em componentes?

O movimento bidimensional é mais complexo que o movimento unidimensional porque as velocidades podem apontar para direções diagonais. Por exemplo, uma bola de beisebol poderia estar se movendo na horizontal e na vertical, ao mesmo tempo, com uma velocidade diagonal v. Para simplificar nossos cálculos, "dividimos" o vetor velocidade v da bola de beisebol em duas direções separadas: a horizontal vx e vertical vy.
Tentar resolver as direções horizontal e vertical da bola de beisebol em uma só equação é difícil; é melhor tentar uma abordagem "dividir para conquistar".
Dividir a velocidade vetorial diagonal v em componentes horizontais vx e verticais vy nos permite lidar com cada direção separadamente. Essencialmente, será possível transformar um único problema bidimensional difícil em dois problemas unidimensionais fáceis. Esse truque de dividir vetores em componentes funciona até mesmo quando o vetor representar algo além da velocidade, por exemplo, forças, momento, ou campos elétricos. Na realidade, você usará esse truque várias e várias vezes em física, então é importante aprender a lidar com componentes vetoriais o mais rápido possível.

Como dividimos um vetor em componentes?

Antes de falarmos sobre dividir vetores, devemos notar que a trigonometria já nos dá a habilidade de relacionar os lados de um triângulo retângulo —hipotenusa, cateto oposto, cateto adjacente— e um dos ângulos, θ, como visto abaixo.
senθ=cateto opostohipotenusa
cosθ=cateto adjacentehipotenusa
tgθ=cateto opostocateto adjacente
Quando dividimos qualquer vetor diagonal em dois componentes perpendiculares, o vetor total e seus componentes—v,vy,vx—formam um triângulo retângulo. Por conta disso, podemos aplicar as mesmas regras trigonométricas para uma dimensão do vetor velocidade e de seus componentes, como é mostrado abaixo. Note que vx é representado como o cateto adjacente, vy como cateto oposto, e v como a hipotenusa.
senθ=vyv
cosθ=vxv
tgθ=vyvx
Observe que os vs nessas fórmulas se referem à magnitude (módulo) do vetor velocidade total (isto é, a velocidade escalar total) e, portanto, nunca podem ser negativos. As componentes individuais vx e vy podem ser negativas se apontarem para o sentido negativo. É normalmente convencionado que, na direção horizontal, x, para esquerda é negativo. Já na direção vertical, y, para baixo é negativo.

Como você determina a magnitude e o ângulo do vetor total?

Nós vimos nas últimas seções como a magnitude de um vetor e seu ângulo podem ser divididos em componentes verticais e horizontais. Mas e se você começar com as componentes de velocidade dados: vy e vx? Como você usaria as componentes para achar a magnitude v e ângulo θ do vetor velocidade total?
Encontrar a magnitude do vetor velocidade total não é tão difícil, já que para qualquer triângulo retângulo os comprimentos dos lados e da hipotenusa estão relacionados pelo teorema de Pitágoras.
v2=vx2+vy2
Tirando a raiz quadrada, obtemos a magnitude do vetor velocidade total em termos de seus componentes.
v=vx2+vy2

Além disso, se conhecemos ambas componentes do vetor total, podemos encontrar seu ângulo usando tanθ.
tgθ=vyvx
Utilizando-se do arco-tangente (função inversa da tangente), obtemos o ângulo do vetor velocidade total em termos de seus componentes.
θ=tg1(vyvx)

O que é confuso sobre componentes de vetores?

Quando usamos θ=tg1(vyvx), de fato nós colocamos vy em cima como cateto oposto e o vx embaixo como o cateto adjacente significa que nós estamos medindo o ângulo a partir do eixo horizontal. Parece que descobrir como desenhar o ângulo pode ser confuso, mas aqui estão duas boas dicas:
Considerando que nós selecionados os sentidos para cima e para a direita como os sentidos positivos, se o componente horizontal vx é positivo, o vetor aponta para a direita. Se o componente horizontal vx é negativo, o vetor aponta para a esquerda.
Novamente, considerando que nós selecionamos os sentidos para cima e para a direita como positivos, se a componente vertical vy é positiva, o vetor aponta para cima. Se a componente vertical vy é negativa, o vetor aponta para baixo.
Então, por exemplo, se as componentes de um vetor são vx=12 m/s e vy=10 m/s, o vetor deve apontar para a esquerda, porque vx é negativo e para cima, porque vy é positivo.
Teste de conceito: Se um avião de papel tem as componentes de velocidade vetorial como vx=7 m/s e vy=5 m/s, em qual sentido o avião de papel está se movendo—assumindo que nós escolhemos para cima e para a direita como sentidos positivos?
Escolha 1 resposta:

Como são os exemplos envolvendo componentes de vetores?

Exemplo 1: faça como o Beckham

Uma bola de futebol é chutada para cima e para a direita num ângulo de 30 com velocidade de 24.3 m/s como mostrado abaixo.
Qual é o componente vertical da velocidade vetorial no momento mostrado?
Qual é o componente horizontal da velocidade vetorial no momento mostrado?
Para obter a componente vertical da velocidade vetorial, usaremos senθ=cateto opostohipotenusa=vyv. A hipotenusa é a magnitude da velocidade 24,3 m/s, v, e o lado oposto ao ângulo de 30 é vy.
senθ=vyv(Use a definição de seno)
vy=vsenθ(Calcule o componente vertical)
vy=(24,3 m/s)sen(30)(Substitua os valores)
vy=12,2 m/s(Calcule e comemore!)
Para obter a componente horizontal, usaremos cosθ=cateto adjacentehipotenusa=vxv.
cosθ=vxv(Use a definição de coseno)
vx=vcosθ(Calcule o componente horizontal)
vx=(24,3 m/s)cos(30)(Substitua os valores)
vx=21,0 m/s(Calcule e comemore!)

Exemplo 2: Gaivota nervosa

Uma gaivota nervosa está voando sobre Santos com um componente de velocidade vetorial horizontal de vx=14,6 m/s e um componente de velocidade vetorial vertical de vy=8,62 m/s.
Qual é a magnitude da velocidade vetorial total da gaivota?
Qual é o ângulo da velocidade vetorial total?
Considere para cima e para direita como positivos, e considere que todos os ângulos serão medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
Vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor velocidade total.
v2=vx2+vy2(O teorema de Pitágoras)
v=vx2+vy2(Tire a raiz quadrada dos dois lados)
v=(14,6 m/s)2+(8,62 m/s)2(Substitua)
v=17,0 m/s(Calcule e comemore!)
Para encontrar o ângulo, nós usaremos a definição de tangente. Porém, como agora conhecemos v, nós poderíamos ter usado seno ou cosseno.
tgθ=vyvx(Use a definição de tangente)
θ=tg1(vyvx)(Tire o arco-tangente dos dois lados)
θ=tg1(8,62 m/s14,6 m/s)(Substitua as magnitudes)
θ=30,6(Calcule e comemore!)
Como o componente vertical é vy=8,62 m/s, nós sabemos que o vetor está direcionado para baixo, e como vx=14,6 m/s, nós sabemos que o vetor está direcionado para a direita. Então, nós vamos desenhar o vetor no quarto quadrante.
A gaivota está se movendo a 17,0 m/s num ângulo de 30,6 abaixo da horizontal.

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