O que são componentes da velocidade vetorial?

O movimento bidimensional é mais complexo que o movimento unidimensional porque as velocidades podem apontar para direções diagonais. Por exemplo, uma bola de beisebol poderia estar se movendo na horizontal e na vertical, ao mesmo tempo, com uma velocidade diagonal $v$v. Para simplificar nossos cálculos, "dividimos" o vetor velocidade $v$v da bola de beisebol em duas direções separadas: a horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript e vertical $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

Tentar resolver as direções horizontal e vertical da bola de beisebol em uma só equação é difícil; é melhor tentar uma abordagem "dividir para conquistar".

Dividir a velocidade vetorial diagonal $v$v em componentes horizontais $v_x$v, start subscript, x, end subscript e verticais $v_y$v, start subscript, y, end subscript nos permite lidar com cada direção separadamente. Essencialmente, será possível transformar um único problema bidimensional difícil em dois problemas unidimensionais fáceis. Esse truque de dividir vetores em componentes funciona até mesmo quando o vetor representar algo além da velocidade, por exemplo, forças, momento, ou campos elétricos. Na realidade, você usará esse truque várias e várias vezes em física, então é importante aprender a lidar com componentes vetoriais o mais rápido possível.

Antes de falarmos sobre dividir vetores, devemos notar que a trigonometria já nos dá a habilidade de relacionar os lados de um triângulo retângulo —hipotenusa, cateto oposto, cateto adjacente— e um dos ângulos, $\theta$theta, como visto abaixo.

Quando dividimos qualquer vetor diagonal em dois componentes perpendiculares, o vetor total e seus componentes—$v, v_y, v_x$v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript—formam um triângulo retângulo. Por conta disso, podemos aplicar as mesmas regras trigonométricas para uma dimensão do vetor velocidade e de seus componentes, como é mostrado abaixo. Note que $v_x$v, start subscript, x, end subscript é representado como o cateto adjacente, $v_y$v, start subscript, y, end subscript como cateto oposto, e $v$v como a hipotenusa.

Observe que os $v$vs nessas fórmulas se referem à magnitude (módulo) do vetor velocidade total (isto é, a velocidade escalar total) e, portanto, nunca podem ser negativos. As componentes individuais $v_x$v, start subscript, x, end subscript e $v_y$v, start subscript, y, end subscript podem ser negativas se apontarem para o sentido negativo. É normalmente convencionado que, na direção horizontal, $x$x, para esquerda é negativo. Já na direção vertical, $y$y, para baixo é negativo.

Nós vimos nas últimas seções como a magnitude de um vetor e seu ângulo podem ser divididos em componentes verticais e horizontais. Mas e se você começar com as componentes de velocidade dados: $v_y$v, start subscript, y, end subscript e $v_x$v, start subscript, x, end subscript? Como você usaria as componentes para achar a magnitude $v$v e ângulo $\theta$theta do vetor velocidade total?

Encontrar a magnitude do vetor velocidade total não é tão difícil, já que para qualquer triângulo retângulo os comprimentos dos lados e da hipotenusa estão relacionados pelo teorema de Pitágoras.

Tirando a raiz quadrada, obtemos a magnitude do vetor velocidade total em termos de seus componentes.

Além disso, se conhecemos ambas componentes do vetor total, podemos encontrar seu ângulo usando $\text{tan}\theta$start text, t, a, n, end text, theta.

Utilizando-se do arco-tangente (função inversa da tangente), obtemos o ângulo do vetor velocidade total em termos de seus componentes.

Quando usamos $\theta=\operatorname{tg}^{-1}(\dfrac{{v_y}}{{v_x}})$theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, de fato nós colocamos $v_y$v, start subscript, y, end subscript em cima como cateto oposto e o $v_x$v, start subscript, x, end subscript embaixo como o cateto adjacente significa que nós estamos medindo o ângulo a partir do eixo horizontal. Parece que descobrir como desenhar o ângulo pode ser confuso, mas aqui estão duas boas dicas:

Considerando que nós selecionados os sentidos para cima e para a direita como os sentidos positivos, se o componente horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript é positivo, o vetor aponta para a direita. Se o componente horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript é negativo, o vetor aponta para a esquerda.

Novamente, considerando que nós selecionamos os sentidos para cima e para a direita como positivos, se a componente vertical $v_y$v, start subscript, y, end subscript é positiva, o vetor aponta para cima. Se a componente vertical $v_y$v, start subscript, y, end subscript é negativa, o vetor aponta para baixo.

Então, por exemplo, se as componentes de um vetor são $v_x=-12 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text e $v_y=10 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, o vetor deve apontar para a esquerda, porque $v_x$v, start subscript, x, end subscript é negativo e para cima, porque $v_y$v, start subscript, y, end subscript é positivo.

Uma bola de futebol é chutada para cima e para a direita num ângulo de 30$^\circ$degrees com velocidade de 24.3 m/s como mostrado abaixo.

Para obter a componente vertical da velocidade vetorial, usaremos $sen \theta=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{v_y}{v}$s, e, n, theta, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction. A hipotenusa é a magnitude da velocidade 24,3 m/s, $v$v, e o lado oposto ao ângulo de 30$^\circ$degrees é $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

Para obter a componente horizontal, usaremos $\cos\theta=\dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{v_x}{v}$cosine, theta, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction.

Uma gaivota nervosa está voando sobre Santos com um componente de velocidade vetorial horizontal de $v_x=14,6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text e um componente de velocidade vetorial vertical de $v_y=-8,62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text.

Vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor velocidade total.

Para encontrar o ângulo, nós usaremos a definição de $\text{tangente}$start text, t, a, n, g, e, n, t, e, end text. Porém, como agora conhecemos $v$v, nós poderíamos ter usado $\text{seno}$start text, s, e, n, o, end text ou $\text{cosseno}$start text, c, o, s, s, e, n, o, end text.

Como o componente vertical é $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, nós sabemos que o vetor está direcionado para baixo, e como $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, nós sabemos que o vetor está direcionado para a direita. Então, nós vamos desenhar o vetor no quarto quadrante.

A gaivota está se movendo a $17{,}0 \text{ m/s}$17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text num ângulo de $30{,}6^\circ$30, comma, 6, degrees abaixo da horizontal.