O que são componentes da velocidade vetorial?

O movimento bidimensional é mais complexo que o movimento unidimensional porque as velocidades podem apontar para direções diagonais. Por exemplo, uma bola de beisebol poderia estar se movendo na horizontal e na vertical, ao mesmo tempo, com uma velocidade diagonal $v$‍. Para simplificar nossos cálculos, "dividimos" o vetor velocidade $v$‍ da bola de beisebol em duas direções separadas: a horizontal $v_x$‍ e vertical $v_y$‍.

Tentar resolver as direções horizontal e vertical da bola de beisebol em uma só equação é difícil; é melhor tentar uma abordagem "dividir para conquistar".

Dividir a velocidade vetorial diagonal $v$‍ em componentes horizontais $v_x$‍ e verticais $v_y$‍ nos permite lidar com cada direção separadamente. Essencialmente, será possível transformar um único problema bidimensional difícil em dois problemas unidimensionais fáceis. Esse truque de dividir vetores em componentes funciona até mesmo quando o vetor representar algo além da velocidade, por exemplo, forças, momento, ou campos elétricos. Na realidade, você usará esse truque várias e várias vezes em física, então é importante aprender a lidar com componentes vetoriais o mais rápido possível.

Antes de falarmos sobre dividir vetores, devemos notar que a trigonometria já nos dá a habilidade de relacionar os lados de um triângulo retângulo —hipotenusa, cateto oposto, cateto adjacente— e um dos ângulos, $\theta$‍, como visto abaixo.

Quando dividimos qualquer vetor diagonal em dois componentes perpendiculares, o vetor total e seus componentes—$v,v_y,v_x$‍—formam um triângulo retângulo. Por conta disso, podemos aplicar as mesmas regras trigonométricas para uma dimensão do vetor velocidade e de seus componentes, como é mostrado abaixo. Note que $v_x$‍ é representado como o cateto adjacente, $v_y$‍ como cateto oposto, e $v$‍ como a hipotenusa.

Observe que os $v$‍s nessas fórmulas se referem à magnitude (módulo) do vetor velocidade total (isto é, a velocidade escalar total) e, portanto, nunca podem ser negativos. As componentes individuais $v_x$‍ e $v_y$‍ podem ser negativas se apontarem para o sentido negativo. É normalmente convencionado que, na direção horizontal, $x$‍, para esquerda é negativo. Já na direção vertical, $y$‍, para baixo é negativo.

Nós vimos nas últimas seções como a magnitude de um vetor e seu ângulo podem ser divididos em componentes verticais e horizontais. Mas e se você começar com as componentes de velocidade dados: $v_y$‍ e $v_x$‍? Como você usaria as componentes para achar a magnitude $v$‍ e ângulo $\theta$‍ do vetor velocidade total?

Encontrar a magnitude do vetor velocidade total não é tão difícil, já que para qualquer triângulo retângulo os comprimentos dos lados e da hipotenusa estão relacionados pelo teorema de Pitágoras.

Tirando a raiz quadrada, obtemos a magnitude do vetor velocidade total em termos de seus componentes.

Além disso, se conhecemos ambas componentes do vetor total, podemos encontrar seu ângulo usando $\text{tan}\theta$‍.

Utilizando-se do arco-tangente (função inversa da tangente), obtemos o ângulo do vetor velocidade total em termos de seus componentes.

Quando usamos $\theta ={\mathrm{tg}}^{-1}({\displaystyle \frac{v_y}{v_x}})$‍, de fato nós colocamos $v_y$‍ em cima como cateto oposto e o $v_x$‍ embaixo como o cateto adjacente significa que nós estamos medindo o ângulo a partir do eixo horizontal. Parece que descobrir como desenhar o ângulo pode ser confuso, mas aqui estão duas boas dicas:

Considerando que nós selecionados os sentidos para cima e para a direita como os sentidos positivos, se o componente horizontal $v_x$‍ é positivo, o vetor aponta para a direita. Se o componente horizontal $v_x$‍ é negativo, o vetor aponta para a esquerda.

Novamente, considerando que nós selecionamos os sentidos para cima e para a direita como positivos, se a componente vertical $v_y$‍ é positiva, o vetor aponta para cima. Se a componente vertical $v_y$‍ é negativa, o vetor aponta para baixo.

Então, por exemplo, se as componentes de um vetor são $v_x=-12\text{ m/s}$‍ e $v_y=10\text{ m/s}$‍, o vetor deve apontar para a esquerda, porque $v_x$‍ é negativo e para cima, porque $v_y$‍ é positivo.

Uma bola de futebol é chutada para cima e para a direita num ângulo de 30${}^{\circ }$‍ com velocidade de 24.3 m/s como mostrado abaixo.

Para obter a componente vertical da velocidade vetorial, usaremos $sen\theta ={\displaystyle \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}}={\displaystyle \frac{v_y}{v}}$‍. A hipotenusa é a magnitude da velocidade 24,3 m/s, $v$‍, e o lado oposto ao ângulo de 30${}^{\circ }$‍ é $v_y$‍.

Para obter a componente horizontal, usaremos $\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}}={\displaystyle \frac{v_x}{v}}$‍.

Uma gaivota nervosa está voando sobre Santos com um componente de velocidade vetorial horizontal de $v_x=14,6\text{ m/s}$‍ e um componente de velocidade vetorial vertical de $v_y=-8,62\text{ m/s}$‍.

Vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor velocidade total.

Para encontrar o ângulo, nós usaremos a definição de $\text{tangente}$‍. Porém, como agora conhecemos $v$‍, nós poderíamos ter usado $\text{seno}$‍ ou $\text{cosseno}$‍.

Como o componente vertical é $v_y=-8,62\text{ m/s}$‍, nós sabemos que o vetor está direcionado para baixo, e como $v_x=14,6\text{ m/s}$‍, nós sabemos que o vetor está direcionado para a direita. Então, nós vamos desenhar o vetor no quarto quadrante.

A gaivota está se movendo a $17,0\text{ m/s}$‍ num ângulo de $30,6^{\circ }$‍ abaixo da horizontal.