O que é movimento de projéteis em 2D?

Em um momento de raiva, você decide jogar um limão em ângulo pelo ar. Ele percorre um trajeto pelo espaço descrito pela linha tracejada no diagrama abaixo. O limão neste caso é considerado um projétil bidimensional, já que ele está voando tanto na horizontal quanto na vertical pelo ar e está somente sob influência da gravidade.

Como a força gravitacional empurra para baixo, a gravidade vai afetar apenas o componente vertical da velocidade vetorial $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 do limão. O componente horizontal da velocidade vetorial $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed vai permanecer inalterado e constante conforme o limão se move ao longo do trajeto.

Experimente arrastar o ponto no diagrama abaixo para ver que a velocidade vetorial vertical $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 varia, mas a velocidade vetorial horizontal $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed permanece constante.

Teste de conceito: na altura máxima da trajetória do limão, qual é o valor do componente vertical da velocidade vetorial?

Uma das formas mais fáceis de lidar com movimento de projéteis em 2D é simplesmente analisar o movimento em cada direção separadamente. Em outras palavras, vamos usar um conjunto de equações para descrever o movimento horizontal do limão e outro para descrever o movimento vertical do limão. Isto transforma um único problema difícil em 2D em dois problemas 1D mais simples. Podemos fazer isso porque a variação na velocidade vetorial vertical do limão não afeta sua velocidade vetorial horizontal. Da mesma forma, jogar o limão com uma grande velocidade vetorial horizontal não afeta sua aceleração vertical. Em outras palavras, se você atirar uma bala na horizontal e, ao mesmo tempo, deixar cair na vertical uma outra bala, elas atingirão o solo ao mesmo tempo.

Não há aceleração na direção horizontal porque a gravidade não puxa projéteis para os lados, apenas para baixo. A resistência do ar poderia causar uma aceleração horizontal, diminuindo a velocidade do movimento horizontal, mas como vamos considerar somente casos nos quais a resistência do ar é desprezível, podemos considerar que a velocidade vetorial horizontal é constante para um projétil.

Então, para a direção horizontal podemos usar a seguinte equação,

Observação: lembre-se de inserir somente variáveis horizontais nessa equação horizontal. Se soubermos duas das variáveis nessa equação, podemos calcular a variável desconhecida restante.

Projéteis bidimensionais experimentam uma aceleração constante para baixo da gravidade, $a_y=-9,8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction. Como a aceleração vertical é constante, podemos calcular uma variável vertical com uma das quatro fórmulas cinemáticas mostradas abaixo.

Lembre-se de inserir somente variáveis verticais nas equações verticais. Se soubermos três das variáveis nessas equações, podemos calcular qualquer uma das variáveis desconhecidas restantes.

Observação: para um dado processo, o intervalo de tempo $t$t tem o mesmo valor para as equações vertical e horizontal. Isso significa que se calcularmos o tempo $t$t, podemos inserir esse tempo $t$t nas equações para as direções vertical ou horizontal. Essa estratégia é usada em vários problemas. Geralmente é preciso calcular o tempo $t$t usando equações verticais, e então inserir esse tempo na equação horizontal (ou vice-versa).

Muitas vezes as pessoas tentam colocar componentes verticais em uma equação horizontal, ou vice-versa. A análise independente de cada direção (horizontal e vertical) de um projétil só funciona se você mantiver as direções diferentes ($x$x ou $y$y) em suas próprias equações separadas.

Velocidades iniciais direcionadas de forma diagonal precisam ser dividas em componentes vertical e horizontal. Às vezes há dificuldade para dividir um vetor velocidade em componentes horizontal e vertical. Veja este artigo para ter ajuda com a trigonometria usada para dividir vetores em componentes.

Quando um projétil é lançado horizontalmente, a velocidade vetorial vertical inicial é zero $\red {v_{0y}=0}$start color #df0030, v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, end color #df0030 (veja o exemplo 1 abaixo). Muitos alunos têm dificuldades em entender que um objeto pode iniciar com um componente horizontal de velocidade e ter o componente vertical valendo zero.

Um balão d'água é lançado horizontalmente com uma velocidade de $v_0=8,31 \dfrac{\text m}{\text{s}}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, comma, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction do telhado de um prédio de altura $H=23,0\text{ m}$H, equals, 23, comma, 0, start text, space, m, end text.

Podemos começar desenhando um diagrama que inclui as variáveis dadas.

Quando encontrarmos o tempo de voo $t$t, poderemos calcular o deslocamento horizontal usando $\Delta x=v_xt$delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t. Para calcular o tempo, considere o fato de que conhecemos três variáveis na direção vertical ($\Delta y=-23,0\text { m}$delta, y, equals, minus, 23, comma, 0, start text, space, m, end text, $v_{0y}=0$v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, $a=-9,8\dfrac{\text m}{\text {s}^2}$a, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction).

Então, vamos usar uma fórmula cinemática na direção vertical para calcular o tempo $t$t. Não sabemos a velocidade vetorial final $v_y$v, start subscript, y, end subscript, e não nos foi pedido para encontrar a velocidade vetorial final $v_y$v, start subscript, y, end subscript, então vamos usar a fórmula cinemática vertical que não inclui a velocidade vetorial final.

Agora, precisamos inserir esse tempo $t$t na equação para a direção horizontal para encontrar o deslocamento horizontal $\Delta x$delta, x.

$\Delta x=(8,31 \dfrac{\text m}{\text s})(2,17\text { s}) \quad \text{(insira o tempo de voo e } v_x)$delta, x, equals, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 17, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, i, n, s, i, r, a, space, o, space, t, e, m, p, o, space, d, e, space, v, o, o, space, e, space, end text, v, start subscript, x, end subscript, right parenthesis

Então, o balão d'água atingiu o chão a $18,0 \text{ m}$18, comma, 0, start text, space, m, end text horizontalmente a partir da beira do prédio.

Um canhão de ar é usado para lançar uma abóbora de um penhasco de altura $H=18,0 \text{ m}$H, equals, 18, comma, 0, start text, space, m, end text com velocidade inicial $v_0=11,4 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 11, comma, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction com um ângulo de $\theta=52,1^\circ$theta, equals, 52, comma, 1, degrees como visto no diagrama abaixo.

Qual é a velocidade da abóbora logo antes de tocar o chão?

Poderemos determinar a velocidade final da abóbora se pudermos determinar os componentes da velocidade vetorial final ($v_x$v, start subscript, x, end subscript e $v_y$v, start subscript, y, end subscript).

Antes de fazer isso, precisamos encontrar os componentes da velocidade vetorial inicial ($v_{0x}$v, start subscript, 0, x, end subscript e $v_{0y}$v, start subscript, 0, y, end subscript) usando as definições de seno e cosseno.

(Nota: se isso parece uma indecifrável bruxaria matemática, veja este artigo para aprender a dividir vetores em componentes)

Esse valor que encontramos para o componente horizontal da velocidade vetorial inicial $v_{0x}=7,00 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction também será o componente horizontal da velocidade vetorial final $v_x=7,00 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, porque o componente horizontal da velocidade vetorial permanece constante durante todo o voo (considerando que não há resistência do ar).

Para encontrar o componente vertical da velocidade vetorial inicial, vamos usar o mesmo procedimento usado acima, mas com seno ao invés de cosseno.

Como o componente vertical da velocidade vetorial $v_y$v, start subscript, y, end subscript de um projétil varia conforme ele se move pelo ar, temos que calcular o componente vertical da velocidade vetorial final $v_y$v, start subscript, y, end subscript usando uma fórmula cinemática para a direção vertical. Como não conhecemos o tempo de voo $t$t, e nos foi pedido para encontrar o tempo $t$t, vamos usar a fórmula cinemática vertical que não inclui o tempo $t$t.

Agora que conhecemos os componentes horizontal e vertical da velocidade vetorial final, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a velocidade final (isto é, a magnitude da velocidade vetorial final).

Essa velocidade de $v=21,9 \dfrac{\text {m}}{\text {s}}$v, equals, 21, comma, 9, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction é a magnitude da velocidade vetorial final da abóbora logo antes de tocar o chão. A relação entre a velocidade vetorial final e seus componentes é mostrada no diagrama baixo.

Também poderíamos calcular o ângulo $\phi$\phi da velocidade vetorial final usando a definição de tangente.

$\text{tan}\phi=\dfrac{20,8\dfrac{\text m}{\text s}}{7,00\dfrac{\text m}{\text s}}$start text, t, a, n, end text, \phi, equals, start fraction, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, divided by, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, end fraction

Agora, calculando a inversa da tangente de ambos os lados obtemos,

O lado esquerdo se torna $\phi$\phi, e podemos encontrar o valor do lado direito inserindo em uma calculadora para obter,