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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 2

Lição 1: Movimento bidimensional do projétil

O que é movimento de projéteis em 2D?

Aprenda sobre como as coisas voam pelo ar.

O que é um projétil em 2D?

Em um momento de raiva, você decide jogar um limão em ângulo pelo ar. Ele percorre um trajeto pelo espaço descrito pela linha tracejada no diagrama abaixo. O limão neste caso é considerado um projétil bidimensional, já que ele está voando tanto na horizontal quanto na vertical pelo ar e está somente sob influência da gravidade.

[Não há resistência do ar?]

Como a força gravitacional empurra para baixo, a gravidade vai afetar apenas o componente vertical da velocidade vetorial

v_{y}

do limão. O componente horizontal da velocidade vetorial

v_{x}

vai permanecer inalterado e constante conforme o limão se move ao longo do trajeto.

Experimente arrastar o ponto no diagrama abaixo para ver que a velocidade vetorial vertical

v_{y}

varia, mas a velocidade vetorial horizontal

v_{x}

permanece constante.

Teste de conceito: na altura máxima da trajetória do limão, qual é o valor do componente vertical da velocidade vetorial?

[Mostre-me a resposta.]

Como lidamos matematicamente com movimentos de projéteis em 2D?

Uma das formas mais fáceis de lidar com movimento de projéteis em 2D é simplesmente analisar o movimento em cada direção separadamente. Em outras palavras, vamos usar um conjunto de equações para descrever o movimento horizontal do limão e outro para descrever o movimento vertical do limão. Isto transforma um único problema difícil em 2D em dois problemas 1D mais simples. Podemos fazer isso porque a variação na velocidade vetorial vertical do limão não afeta sua velocidade vetorial horizontal. Da mesma forma, jogar o limão com uma grande velocidade vetorial horizontal não afeta sua aceleração vertical. Em outras palavras, se você atirar uma bala na horizontal e, ao mesmo tempo, deixar cair na vertical uma outra bala, elas atingirão o solo ao mesmo tempo.

[Isso é mesmo verdade?]

Direção horizontal:

Não há aceleração na direção horizontal porque a gravidade não puxa projéteis para os lados, apenas para baixo. A resistência do ar poderia causar uma aceleração horizontal, diminuindo a velocidade do movimento horizontal, mas como vamos considerar somente casos nos quais a resistência do ar é desprezível, podemos considerar que a velocidade vetorial horizontal é constante para um projétil.

[Em algum momento vamos considerar a resistência do ar?!]

Então, para a direção horizontal podemos usar a seguinte equação,

Δ x = v_{x} t

[Por que podemos usar essa fórmula para a direção horizontal e não para a direção vertical?]

Observação: lembre-se de inserir somente variáveis horizontais nessa equação horizontal. Se soubermos duas das variáveis nessa equação, podemos calcular a variável desconhecida restante.

Direção vertical:

Projéteis bidimensionais experimentam uma aceleração constante para baixo da gravidade,

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

. Como a aceleração vertical é constante, podemos calcular uma variável vertical com uma das quatro fórmulas cinemáticas mostradas abaixo.

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Lembre-se de inserir somente variáveis verticais nas equações verticais. Se soubermos três das variáveis nessas equações, podemos calcular qualquer uma das variáveis desconhecidas restantes.

Observação: para um dado processo, o intervalo de tempo

t

tem o mesmo valor para as equações vertical e horizontal. Isso significa que se calcularmos o tempo

t

, podemos inserir esse tempo

t

nas equações para as direções vertical ou horizontal. Essa estratégia é usada em vários problemas. Geralmente é preciso calcular o tempo

t

usando equações verticais, e então inserir esse tempo na equação horizontal (ou vice-versa).

O que é confuso no movimento de projéteis em 2D?

Muitas vezes as pessoas tentam colocar componentes verticais em uma equação horizontal, ou vice-versa. A análise independente de cada direção (horizontal e vertical) de um projétil só funciona se você mantiver as direções diferentes (

x

y

) em suas próprias equações separadas.

Velocidades iniciais direcionadas de forma diagonal precisam ser dividas em componentes vertical e horizontal. Às vezes há dificuldade para dividir um vetor velocidade em componentes horizontal e vertical. Veja este artigo para ter ajuda com a trigonometria usada para dividir vetores em componentes.

Quando um projétil é lançado horizontalmente, a velocidade vetorial vertical inicial é zero

v_{0 y} = 0

(veja o exemplo 1 abaixo). Muitos alunos têm dificuldades em entender que um objeto pode iniciar com um componente horizontal de velocidade e ter o componente vertical valendo zero.

Como são os exemplos resolvidos envolvendo movimentos de projéteis em 2D?

Exemplo 1: Balão d'água lançado horizontalmente

Um balão d'água é lançado horizontalmente com uma velocidade de

v_{0} = 8, 31 \frac{m}{s}

do telhado de um prédio de altura

H = 23, 0 m

Quão longe o balão viaja horizontalmente antes de atingir o chão?

Podemos começar desenhando um diagrama que inclui as variáveis dadas.

Quando encontrarmos o tempo de voo

t

, poderemos calcular o deslocamento horizontal usando

Δ x = v_{x} t

. Para calcular o tempo, considere o fato de que conhecemos três variáveis na direção vertical (

Δ y = - 23, 0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

[Com obtivemos esses valores?]

Então, vamos usar uma fórmula cinemática na direção vertical para calcular o tempo

t

. Não sabemos a velocidade vetorial final

v_{y}

, e não nos foi pedido para encontrar a velocidade vetorial final

v_{y}

, então vamos usar a fórmula cinemática vertical que não inclui a velocidade vetorial final.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (use a fórmula vertical da cinemática que não inclui a velocidade vetorial final)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (insira os valores verticais)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (calcule o tempo t simbolicamente)

t = \sqrt{\frac{2 (- 23, 0 m)}{- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2, 17 s (insira valores numéricos e encontre o tempo de voo)

Agora, precisamos inserir esse tempo

t

na equação para a direção horizontal para encontrar o deslocamento horizontal

Δ x

Δ x = v_{x} t (use a equação para o deslocamento horizontal)

Δ x = (8, 31 \frac{m}{s}) (2, 17 s) (insira o tempo de voo e v_{x})

[Por que inserimos esses valores?]

Δ x = 18, 0 m (calcule e comemore)

Então, o balão d'água atingiu o chão a

18, 0 m

horizontalmente a partir da beira do prédio.

[Poderíamos ter resolvido esse problema simbolicamente?]

Exemplo 2: Abóbora lançada com um ângulo

Um canhão de ar é usado para lançar uma abóbora de um penhasco de altura

H = 18, 0 m

com velocidade inicial

v_{0} = 11, 4 \frac{m}{s}

com um ângulo de

θ = 52, 1^{\circ}

como visto no diagrama abaixo.

Qual é a velocidade da abóbora logo antes de tocar o chão?

Poderemos determinar a velocidade final da abóbora se pudermos determinar os componentes da velocidade vetorial final (

v_{x}

v_{y}

[A velocidade vetorial final não é zero, já que a abóbora atinge o chão?]

Antes de fazer isso, precisamos encontrar os componentes da velocidade vetorial inicial (

v_{0 x}

v_{0 y}

) usando as definições de seno e cosseno.

cos θ = \frac{adjacente}{hipotenusa} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (use a definição de cosseno)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (calcule v_{0 x})

v_{0 x} = (11, 4 \frac{m}{s}) cos (52, 1^{\circ}) (substitua em valores numéricos)

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s} (calcule para encontrar v_{0 x})

(Nota: se isso parece uma indecifrável bruxaria matemática, veja este artigo para aprender a dividir vetores em componentes)

Esse valor que encontramos para o componente horizontal da velocidade vetorial inicial

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s}

também será o componente horizontal da velocidade vetorial final

v_{x} = 7, 00 \frac{m}{s}

, porque o componente horizontal da velocidade vetorial permanece constante durante todo o voo (considerando que não há resistência do ar).

Para encontrar o componente vertical da velocidade vetorial inicial, vamos usar o mesmo procedimento usado acima, mas com seno ao invés de cosseno.

sen θ = \frac{oposto}{hipotenusa} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (use a definição de seno)

v_{0 y} = v_{0} sen θ (calcule v_{0 y})

v_{0 y} = (11, 4 \frac{m}{s}) sen (52, 1^{\circ}) (substitua em valores numéricos)

v_{0 y} = 9, 00 \frac{m}{s} (calcule para encontrar v_{0 y})

[Eu ainda não entendo o que significa "componentes da velocidade vetorial inicial".]

Como o componente vertical da velocidade vetorial

v_{y}

de um projétil varia conforme ele se move pelo ar, temos que calcular o componente vertical da velocidade vetorial final

v_{y}

usando uma fórmula cinemática para a direção vertical. Como não conhecemos o tempo de voo

t

, e nos foi pedido para encontrar o tempo

t

, vamos usar a fórmula cinemática vertical que não inclui o tempo

t

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (use a fórmula cinemática que não inclui o tempo)

v_{y}^{2} = (9, 00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (insira os valores conhecidos)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (calcule)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20, 8 \frac{m}{s} (tire a raiz quadrada)

v_{y} = - 20, 8 \frac{m}{s} (escolha a raiz negativa, já que a abóbora irá para baixo)

Agora que conhecemos os componentes horizontal e vertical da velocidade vetorial final, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a velocidade final (isto é, a magnitude da velocidade vetorial final).

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (use o teorema de Pitágoras)

v^{2} = (7, 00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20, 8 \frac{m}{s})^{2} (insira os componentes vertical e horizontal da velocidade vetorial final)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (calcule)

v = 21, 9 \frac{m}{s} (tire a raiz quadrada)

Essa velocidade de

v = 21, 9 \frac{m}{s}

é a magnitude da velocidade vetorial final da abóbora logo antes de tocar o chão. A relação entre a velocidade vetorial final e seus componentes é mostrada no diagrama baixo.

Também poderíamos calcular o ângulo