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Lançamento e pouso em elevações diferentes

Exemplo mais complicado que envolve lançamento e pouso em elevações diferentes. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV Temos agora um problema um pouco mais complicado sobre o movimento de um projétil em duas dimensões. Nesta situação, lançaremos de uma plataforma um projétil que pousará sobre outra plataforma. Vou armar o projétil em um ângulo de 53 graus. O projétil sairá do canhão com uma velocidade de 90 metros por segundo. Vamos supor que a altura onde ele foi lançado seja de 25 m, e a altura onde ele pousou seja de 9 m. No vídeo anterior, quando tínhamos um canhão como esse, consideramos que o projétil estava sendo lançado de uma altitude de zero e pousava em uma altitude zero. Aqui, estamos considerando que ele está sendo lançado de uma altitude de 25 m, por isso, quando sai do canhão começa a acelerar, pelo menos na direção vertical. Vamos supor que ele pouse em uma atitude diferente. Como pensaremos nesse problema? A primeira coisa que queremos fazer é dividir o vetor velocidade em suas componentes horizontal e vertical. Bom, usaremos a componente vertical para descobrir quanto tempo o projétil permanecerá no ar. A componente horizontal é usada para descobrir a distância percorrida. Bom, mais uma vez, vamos considerar que a resistência do ar seja insignificante. Assim, com base no que fizemos no vídeo anterior, se desenharmos o nosso vetor o comprimento será de 90 m/s. O ângulo entre o eixo ''x'' e o vetor é igual a 53 graus. Veja, na figura, a representação das componentes horizontal e vertical. Qual seria o comprimento do lado direito? Seta laranja na figura. Pela trigonometria básica, sabemos que o seno de um ângulo é o cateto oposto sobre a hipotenusa Assim, seno de 53 graus é igual ao lado oposto, que é igual ao módulo da velocidade vertical, ''vy'', usei o ''y'' minúsculo porque estamos na direção vertical, no eixo ''x'', sobre o comprimento da hipotenusa, que é de 90 m/s. Outra forma seria multiplicarmos os dois lados por 90 e obteríamos que o módulo do lado será 90 vezes seno de 53 graus. Se quisermos a componente horizontal, o lado horizontal é adjacente à reta inclinada. Sabemos que o cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa. A componente horizontal da velocidade na direção ''x'' sobre a hipotenusa, 90 m/s, é igual ao ao cosseno de 53 graus. O cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. Multiplicando, então, os dois lados por 90, temos que a componente horizontal é igual a 90 vezes o cosseno de 53 graus. Agora, como vamos descobrir quanto tempo o projétil permanece no ar? Para isso, usaremos uma componente vertical. Como estamos trabalhando com níveis diferentes, não podemos mais usar o raciocínio básico de que, seja qual for a velocidade inicial ela será o mesmo módulo da velocidade na direção oposta, porque não estamos trabalhando com elevações idênticas. No entanto, podemos usar a fórmula que geramos no vídeo anterior. Sabemos que o deslocamento, e estamos falando na direção vertical, é igual a velocidade inicial vezes a variação do tempo, mais a aceleração vezes a variação do tempo ao quadrado dividido por 2. Como vamos usar isso para descobrir quanto tempo o projétil permanece no ar? Se o projétil é lançado a uma altura inicial de 25 m e termina em uma altura de 9 m, então, durante o percurso ele será deslocado 16 m para baixo. Outra forma de pensar sobre isso é: o deslocamento na direção vertical será igual a -16 m, porque 9 - 25 = -16. Podemos, portanto, acrescentar isso à fórmula que geramos no vídeo anterior. Bom, eu não vou escrever as unidades aqui para a gente não levar muito para o lado real. Temos -16 igual a velocidade inicial, estamos trabalhando na dimensão vertical. Lembre-se que é negativo, porque o deslocamento está acontecendo para baixo, estamos perdendo altitude. Já conhecemos a velocidade vertical, então temos 90 vezes seno de 53 graus vezes a variação do tempo, é igual a aceleração gravitacional sobre um objeto em queda livre, -9,8 m/s². Mas, como estamos dividindo por 2, -4,9 vezes a variação de tempo ao quadrado. Como resolveremos esta equação? Podemos simplesmente fatorar um Δt e resolvê-lo, mas estamos trabalhando com uma equação quadrática. Para resolvê-la, devemos colocar tudo de um lado da equação, e em seguida, podemos fatorar ou usar a fórmula quadrática, que já comprovamos em outros vídeos e felizmente fez com que você intuísse sobre ela. Teremos duas soluções aqui, e uma delas será uma variação do tempo negativa. É como se vocês estivesse em algum lugar no passado a -16 m, isso não faz sentido, por isso, queremos um valor positivo para o Δt. Vamos colocar tudo de um lado da equação. Para isso, vamos acrescentar 16 aos dois lados da equação. No lado esquerdo teremos zero. Faremos da forma tradicional com o maior termo na frente. Então, temos 0 = -4,9Δt² mais 90 sen 53° vezes Δt mais 16. Tudo isso então é igual a zero. Bom, volto a dizer que trata-se de uma equação quadrática, podemos encontrar suas raízes. As raízes estarão em relação à variação de tempo. Podemos isolar Δt usando a fórmula quadrática. Se isso parece estranho para você, reveja os vídeos no site da Khan Academy. Procure por fórmula quadrática na lista de Álgebra. Então, Δt = b. ''b'' é o termo 90 sen 53°. Δt, ou seja, o coeficiente de Δt. A fórmula quadrática é ''ax² + bx + c = 0''. A raiz será -b ± raiz quadrada de b² - 4ac sobre 2a. Esse será o ''x'' que satisfará a função quadrática que acabamos de ver. Vamos continuar a gerar nossa equação. Queremos um sinal positivo, porque queremos um resultado positivo, mas eu usarei ±√b², ou seja, raiz quadrada de (90 sen 53°)² -4, que multiplica -4,9 vezes 16. Tudo isso sobre 2a, ou seja, 2 vezes 4,9, então, "a" é 4,9. Multiplicando por 2, temos agora 9,8. Agora, podemos usar a calculadora para chegarmos a um resultado. Vou me concentrar apenas na versão positiva, vou deixar que você descubra a versão negativa, e veja que ela dará um valor negativo para a variação do tempo. Não faz sentido nos concentrarmos em um resultado negativo, por isso, queremos a variação do tempo em que obtemos um deslocamento de -16 m. Bom, vamos calcular com cuidado. Eu acabei de perceber que eu cometi um erro, eu disse que a versão positiva nos daria um resultado positivo. Mas acabei de perceber que não, porque quando fazemos essa escolha temos um número positivo no numerador, mas quando dividimos por -9,8 obteremos um valor negativo, ou seja, o tempo que não estamos querendo. Então, corrigindo, usaremos a versão negativa. Agora, o meu numerador é um valor negativo e o que nos importa é que dividimos por -9,8 e temos um valor arredondado de 14,89 s. Portanto, na versão positiva, Δt = 14,89 s. Meu comentário inicial sobre querer usar a versão positiva estava errado porque temos um denominador negativo, por isso, precisamos de um numerador negativo para que o resultado seja positivo. Assim, chegamos ao resultado de 14,89 s. Bem, vamos ficar por aqui. Continuaremos no próximo vídeo, esse já está ficando muito longo. Bem, vamos resolver já. Portanto, a quantidade de tempo que o projétil permanece no ar é de 14,89 s. Se eu perguntasse qual é o deslocamento horizontal, seria a quantidade de tempo que o projétil permanece no ar vezes a velocidade horizontal constante. Já temos a velocidade horizontal constante, e assim, se quisermos descobrir a distância que o projétil se desloca no eixo ''x'', basta utilizarmos a variação de tempo que já descobrimos e multiplicarmos por 90 cos 53°. E o resultado é 806 m, ou seja, o deslocamento foi de 806 m.