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Projétil em um plano inclinado

O problema de um projétil em um plano inclinado. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA12C Bom, neste vídeo, eu quero resolver um problema que seria considerado muito difícil para a maioria dos estudantes do primeiro ano de Física. E, sinceramente, é um problema que não se resolve na maioria das aulas de Física. Pode ser visto, às vezes, em aulas de Física Avançada como um problema extra. Trata-se de um tipo de problema interessante. Lançaremos um projétil em um aclive ou da lateral de um morro. Digamos que estamos na lateral de um morro e que conhecemos a sua inclinação. A inclinação do morro é de 30 graus acima da horizontal. A figura mostra a inclinação do morro. Lançaremos um projétil a 10 metros por segundo. Seu ângulo em relação ao morro é de 15 graus. Vamos pensar sobre este problema. O projétil será lançado e pousará em algum ponto do morro. Não podemos simplesmente descobrir quanto tempo ele permanece no ar usando sua velocidade vertical, porque não sabemos qual será o deslocamento vertical do projétil a não ser que saibamos com que velocidade ele pousa na terra, visto que, quanto mais na parte inferior do morro, maior o deslocamento vertical. Temos que pensar sobre o deslocamento horizontal e vertical ao mesmo tempo. Veremos como isso pode ser feito. A primeira coisa que sempre queremos fazer ao tentar solucionar este tipo de problema é decompor a velocidade em suas componentes horizontal e vertical. Portanto, a componente vertical da velocidade será o módulo da velocidade total, 10 metros por segundo, vezes o seno do ângulo. Cuidado! Não é o seno do ângulo de 15 graus, mas o seno do ângulo com a horizontal, como mostra a figura. Assim, temos “10 sen(45°)”. Agora, já sabemos do "SOH CAH TOA". Observe na figura como seria a componente vertical. O seno de 45 graus é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa, ou a hipotenusa vezes o seno de 45 graus é igual à componente vertical. E a componente horizontal da velocidade será, pela mesma lógica, “10 cos(45°)”. Agora, vamos pensar sobre qual será o deslocamento horizontal. O deslocamento vertical, vou direto para a fórmula que derivamos em outros vídeos, será igual à velocidade inicial, ou seja, "10 sen(45°)"... Aliás, já podemos fazer esse cálculo. Qual é o seno de 45 graus? O seno de 45 graus é "√2 sobre 2". O cosseno de 45 graus também é "√2 sobre 2". Então, temos 10 vezes "√2 sobre 2", que é o mesmo que 5√2 metros por segundo. Essa é a nossa velocidade vertical. Nossa velocidade horizontal também é 5√2 metros por segundo. Isso simplifica muita coisa! Vamos voltar a falar sobre o deslocamento vertical. O deslocamento vertical será a velocidade inicial, 5√2, vezes a variação do tempo mais a aceleração. Sabemos que a aceleração é -9,8 metros por segundo ao quadrado. Então, temos -9,8 vezes a variação do tempo ao quadrado sobre 2. Geramos essa fórmula em diversos vídeos, principalmente nos últimos, quando abordamos o movimento de projétil em duas dimensões. Assim, temos o deslocamento na direção "y". Podemos simplificar isso: o deslocamento na direção vertical é igual a "5√2 vezes Δt" menos "4,9 vezes (Δt)²". Sabemos que temos uma restrição, e que ela nos fornece o deslocamento em função do tempo. Vamos pensar sobre o deslocamento horizontal em função do tempo. Será igual à velocidade horizontal, ou seja, 5√2, vezes a variação do tempo. O que podemos fazer agora? Bem, temos uma relação entre o deslocamento horizontal e o deslocamento vertical. Essa relação nos será dada através deste aclive. Onde quer que o projétil pouse, em algum lugar óbvio, vamos pensar sobre os deslocamentos horizontal e vertical e também em qual seria a relação entre eles. Se o projétil pousasse no ponto mostrado na figura, então, a seta lilás seria o deslocamento vertical. Nosso deslocamento horizontal seria a seta laranja. Qual é a relação entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal? Sabemos que o ângulo verde é de 30 graus, então, podemos usar trigonometria básica. Temos um triângulo retângulo, conhecemos o lado oposto ao ângulo e conhecemos o lado adjacente. A função trigonométrica que usa cateto oposto e cateto adjacente é a função tangente. Obtemos: a tangente de 30 graus é igual ao módulo do deslocamento vertical sobre o módulo do deslocamento horizontal. A tangente de 30 graus é o mesmo que seno de 30 graus sobre cosseno de 30 graus. O seno de 30 graus é igual a 1/2, e o cosseno 30 graus é "√3 sobre 2". Simplificando, vamos obter "1 sobre √3". Então, ficamos com o módulo da nossa componente vertical sobre o módulo da nossa componente horizontal. A parte útil disso é que obtemos a relação entre a componente vertical e a componente horizontal. Podemos usar a restrição que vimos há pouco para solucionar um dos deslocamentos, "Sₓ" ou "Sᵧ". Já veremos como fazer isso. Vamos fazer uma multiplicação cruzada aqui, que é o mesmo que multiplicar os dois lados por √3 e pelo módulo da componente horizontal. Assim, temos: √3 vezes o módulo da componente vertical igual ao módulo da componente horizontal. Agora, temos uma relação entre o comprimento desses dois vetores. Bom, podemos usar essa relação para substituir as restrições que já tínhamos. Vamos usar essas informações na segunda restrição. A segunda restrição diz que a componente horizontal do deslocamento é igual a 5√2 vezes a variação do tempo. Bom, outra forma de pensar sobre isso é que, se dividirmos os dois lados por 5√2, temos que a variação do tempo é igual à componente horizontal do deslocamento dividida por 5√2. Bom, já sabemos que a componente horizontal do deslocamento é √3 vezes a componente vertical do deslocamento. Utilizei aqui a notação do módulo. Quando começamos a lidar, seja com a componente horizontal ou vertical, podemos escrever desta forma, porque será um valor positivo ou negativo que especificará tanto o módulo quanto a direção. Claro que, do jeito como escrevi aqui, ambos os valores são positivos. O deslocamento para cima na direção vertical, por convenção, é positivo. O projétil está se movimentando para a direita, então, por convenção, este valor também é positivo. Agora, posso reescrever o que tínhamos como sendo √3... ...vezes o nosso deslocamento vertical sobre 5√2. E o motivo de eu ter feito isso é que esta expressão contém a taxa entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal, mas também contém informação sobre quanto o deslocamento horizontal varia em função do tempo. Por isso, o tempo é igual a √3 vezes o deslocamento sobre 5√2. Agora, temos o tempo em função do deslocamento vertical, e não em função do deslocamento horizontal. Podemos usar essa restrição com o nosso deslocamento inicial vertical em função do tempo para resolver o nosso deslocamento vertical. Vamos substituir a última expressão que montamos com o Δt da equação em destaque. Podemos nos guiar pela equação simplificada. Se fizermos isso, teremos que o deslocamento vertical é igual a: 5√2, vezes √3 vezes a componente vertical sobre 5√2. Temos, então, "-4,9 vezes (Δt)²", sendo que Δt é √3 vezes a componente vertical sobre 5√2, tudo isso ao quadrado... Volto a dizer que Δt é a √3 vezes a componente vertical sobre 5√2. E o que temos agora? Literalmente, temos uma equação quadrática com uma variável. Vamos simplificar mais um pouco. Eliminando os denominadores, temos que a componente vertical é igual a: √3 vezes o módulo da componente vertical, menos 4,9, vezes 3 vezes o módulo da componente vertical ao quadrado sobre 50. Subtraindo a componente vertical dos dois lados, temos zero igual a "√3 menos 1" vezes a componente vertical, menos 4,9 vezes 3 sobre 50, vezes a componente vertical ao quadrado. Felizmente, podemos fatorar um destes "Sᵧ". Assim, temos que zero é igual a "√3 menos 1", menos 4,9, deixe-me trocar de cor aqui, vezes 3, sobre 50, vezes a componente vertical. Então, fatoramos uma componente vertical. Assim, temos o produto de dois termos igual a zero. O deslocamento vertical poderia ser zero, o que é verdade, porque antes tínhamos, literalmente, o deslocamento vertical. Foi de onde começamos! Mas essa não é a resposta que estamos procurando. Estamos procurando o deslocamento vertical. Portanto, a componente vertical será zero ou todo o resto será igual a zero. Mas resolver para zero é muito fácil! Com a ajuda da calculadora, temos 0,732 menos 0,294 vezes a componente vertical, tudo isso igual a zero. A anterior nos dará uma resposta óbvia, estamos mais interessados nesta. Vamos adicionar "0,294 Sᵧ" aos dois lados. Assim, temos 0,732 é igual a "0,294 Sᵧ". Estamos na reta final! Dividimos os dois lados por 0,294 e obteremos o deslocamento vertical. Que rufem os tambores! Arredondando, 0,732 dividido por 0,294 é igual a 2,49 metros. Isso é emocionante! Agora, podemos descobrir o deslocamento horizontal muito facilmente, porque sabemos que o deslocamento horizontal é √3 vezes o deslocamento vertical. Então, vamos descobrir isso! Fazendo o cálculo, chegamos ao resultado: 4,31 metros. Esse é o deslocamento horizontal. Agora, sim, sabemos realmente o deslocamento total na direção vertical e na direção horizontal. Agora é com você! Se quiser descobrir exatamente com que velocidade o projétil percorreu o morro, basta usar esses valores e o teorema de Pitágoras para descobrir a hipotenusa do triângulo.