Deslocamento total para um projétil

RKA5MP - Vamos fazer um outro exemplo, onde estamos lançando um projeto e ele aterrissa em um nível diferente. Também iremos descobrir algumas outras coisas interessantes. Vamos descobrir qual é o vetor efetivo da velocidade no momento da aterrissagem, portanto, seu módulo e sua direção. Vamos criar uma situação, digamos que, nós estamos lançando um projétil a partir do nível do solo e vamos lançá-lo em um ângulo bastante agudo aqui. Então, digamos que fazemos um lançamento em um ângulo de, digamos, 80°. E ele vai se deslocar a 30 metros por segundo. Então, esse é o tamanho desse vetor, é o módulo daquele vetor. Agora, digamos que queremos fazer o objeto aterrissar nesse terreno bem aqui. E esse terreno possui uma altura de 10 metros. Essa altura aqui é 10 metros. Portanto, o que eu quero fazer primeiramente é descobrir a que distância do terreno eu efetivamente aterrizo. Talvez eu adicione algumas informações aqui. Então, a partir desse ponto de lançamento até o início do terreno, digamos que, isso bem aqui sejam 2 metros, então nós só queremos saber a que distância ao longo do terreno nós vamos aterrissar, portanto, como fizemos antes, queremos dividir esse vetor em seu componente vertical e componente horizontal. Bom, vou ser um pouco mais rápido nesse vídeo, pois imagino que nós já pegamos o jeito de coisas desse tipo. Então, nossa velocidade na vertical, ou a nossa componente vertical da velocidade, vai ser igual à grandeza da nossa velocidade total, 30 m/s, vezes, e isso aqui vai ser o seno de 80°, pois o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, vezes o seno de 80°. Vamos tirar isso da frente agora, nossa componente horizontal da velocidade vai ser 30 m/s. Bom, eu não estou escrevendo as unidades aqui só para guardar um pouco de espaço, vezes o cosseno de 80°. Mais uma vez, o cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. Se vocês acharem que estou pulando informações, eu apresento muito mais detalhes sobre isso nos últimos vídeos. Então quanto tempo nós passamos no ar? Mais uma vez, nos últimos vídeos, nós vimos que podemos observar o deslocamento se nós quisermos descobrir o tempo no ar. Nós sabemos que o deslocamento é igual a velocidade inicial vezes o tempo, mais a aceleração. vou escrever variação de tempo, pois tecnicamente é mais correto, mais a aceleração vezes a variação do tempo ao quadrado sobre 2. Agora, em nossa situação, sabemos qual é a velocidade inicial quando estávamos falando sobre a direção vertical bem aqui. Então, a nossa velocidade inicial será essa aqui. Estamos tentando descobrir o tempo no ar, e a componente vertical determina isso, pois, em algum ponto em que ele retorna ao solo, o objeto não estará mais se deslocando. Então, é isso que está determinando o seu tempo no ar. Então, nós conhecemos a aceleração, certo? Lembre-se de que a nossa convenção quando tratamos da dimensão vertical é que para cima é positivo e para baixo é negativo, então isso é -9,8 m/s². E qual o deslocamento total que teremos? Bem, estamos iniciando no nível do solo e estamos apenas falando da vertical. Lembrem-se disso. Portanto, o nosso deslocamento total vai ser 10 metros. Portanto, esse valor aqui vai ser 10 metros. Simplificando para 10 metros, bom, eu não vou escrever as unidades aqui, 10 é igual a, o que é 30 seno de 80°? Então, nós temos 30 vezes o seno de 80°, resulta em 29,54, então isso é 29,54 vezes a nossa variação de tempo. Então, isso é -9,8 dividido por 2. Então, isso é negativo. Bom, colocarei tudo isso na mesma cor verde, -4,9 m/s², eu não estou colocando as unidades aqui, vezes (Δt)². Assim, nós podemos subtrair 10 de ambos os lados e escrever isso na forma de uma equação quadrática tradicional. Então, nós pegamos o negativo, e eu vou trocar os lados também, -4,9 vezes (Δt)². Aí, nós temos 29,54 vezes "Δt", menos 10, que é igual a zero. Bom, daí, nós podemos usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes disso. Então, os "Δt" que satisfazem essa equação quadrática vão ser "b" negativo, então -29,54, mais ou menos a raiz quadrada de 29,54², b², -4 vezes "a", que são -4,9, vezes "c", que é -10. Então, só vou escrever 4,9 vezes -10. Esses 2 caras aqui, os senos deles, vão cancelar. Então, tudo aquilo sobre 2, tudo aquilo sobre 4,9 negativos vezes 2, portanto, -9,8. Assim como vimos no último vídeo, nós queremos um valor positivo para isso. Já que temos um negativo no denominador, queremos ter um valor negativo aqui em cima. Se nós já temos um valor negativo aqui, se subtrairmos daquele valor negativo, aí, definitivamente teremos um valor negativo aqui em cima. Então, você divide pelo valor negativo e você obtém um valor positivo. Portanto, nós podemos realmente nos concentrar na subtração do radical. Vocês podem experimentar, se vocês usarem a versão positiva, vocês obterão um valor negativo para esse negócio todo. Vocês podem experimentar isso após o vídeo, só para verificarem que irão obter uma resposta sem nexo. Tempo negativo não faz sentido, então vamos usar um negativo bem aqui. Então, nós temos -29,54 menos a raiz quadrada de 29,54². Daí, nós temos 4 vezes -4,9 vezes -10. Esses 2, quando você pega o produto deles, dá 49 positivo. Portanto, vezes 49. Isso aqui vai me dar o numerador. E, se eu avaliar isso, peguei o meu valor negativo, então dividido por aqueles -9,8. E o resultado é 5,67 segundos. Isso é igual a 5,67 segundos. Vocês poderiam manter as unidades ali, e se certifiquem de que toda análise dimensional esteja certa. Eu acho que vocês vão descobrir que está. Portanto, a nossa vertical total, então o nosso tempo total no ar é 5,67 segundos. Agora, o que eu quero fazer, o propósito todo disso é descobrir a que distância ao longo desse terreno nós aterrissamos. Sabemos que o nosso deslocamento na direção horizontal será a velocidade na direção horizontal, e é uma velocidade constante, portanto, é a mesma que a nossa velocidade média na direção horizontal, vezes a variação do tempo. Bom, vou só escrever isso, vezes a nossa variação do tempo. Então, isso aqui vai ser igual a 30 cosseno de 80° vezes 5,67 segundos. Eu também não vou escrever as unidades aqui. Isso são metros por segundo vezes segundos, então isso vai nos dar a resposta em metros. Mais uma vez nós temos, esse é o nosso tempo, isto é, 5,67 vezes 30 cosseno de 80°, e nos dá 29,53 metros, portanto, o nosso deslocamento horizontal do percurso, eu acho que poderíamos dizer, é 29, eu já me esqueci do número, é 29,53 metros. 29,53 metros, eu vou escrever que isso é um vetor. Aquele é o nosso deslocamento horizontal, que é igual a 29,53 metros. Agora, nós realizamos muitas decomposições de vetores. O que eu pensei que seria interessante nesse vídeo, seria construir um vetor. Então, nós sabemos qual é o nosso deslocamento horizontal, também conhecemos o nosso deslocamento vertical, são 10 metros positivos. Então, qual é o nosso deslocamento total? Bom, eu vou escrever isso. Então, nós temos um deslocamento horizontal de 29,53 metros e um deslocamento vertical de 10 metros positivos. Portanto, o nosso deslocamento total aqui será... bem, nós poderíamos usar o teorema de Pitágoras aqui. O quadrado do módulo do nosso deslocamento total vai ser igual à soma desses 2 quadrados. Bom, o outro caminho, isso é apenas o teorema de Pitágoras, o outro caminho que poderíamos seguir, isso bem aqui é o módulo do nosso deslocamento. O módulo do deslocamento total ao quadrado vai ser igual a 10² mais (29,53)². Vou escrever isso da mesma cor, mais (29,53)². Se quiséssemos solucionar isso, apenas pegamos a raiz quadrada de ambos os lados, portanto, só vou colocar isso no lugar, então colocamos a raiz quadrada de ambos os lados e vamos obter o módulo do nosso deslocamento total. Bom, agora eu posso pegar a calculadora mais uma vez para fazer essa conta. Assim, nosso deslocamento total é a raiz quadrada de 10², que é 100 + 29, eu poderia dizer para ela pegar a segunda resposta, que literalmente significa resposta anterior, que é (29,53)², e obtemos um deslocamento de 31,18 metros, portanto, isso é igual a 31,18 metros e, é claro, é um vetor. Portanto, nós apenas fornecemos seu módulo. Precisamos também ver a direção. Então, uma forma de determinar a direção é fornecer o ângulo com a horizontal. Vamos chamá-lo de ângulo θ. Mais uma vez, nós podemos usar nossas funções trigonométricas aqui. Podemos usar praticamente qualquer uma das funções trigonométricas. Mas sabemos que o lado oposto é 10. Sabemos que a hipotenusa é 31,18. Então, por que não usar o seno? O seno é o oposto sobre a hipotenusa. Então, nós sabemos que o seno de θ vai ser igual a 10 sobre 31,18. Ou, se vocês quiserem solucionar θ, peguem o arco seno de ambos os lados, ou o seno inverso de ambos os lados. Vocês obtêm que θ é igual ao seno inverso, ou eu poderia escrever arco seno aqui, de 10 sobre 31,8, ou o 31,18, eu diria. Então, vamos pegar a calculadora mais uma vez para descobrir esse valor. Portanto, eu vou calcular aquele valor. Então, eu vou pegar o seno inverso, novamente isso é que é o arco seno, isso apenas diz: "O arco cujo seno resulta nesse valor bem aqui"; assim, o seno inverso de 10 dividido pela resposta anterior, 31,18. Eu diria apenas que nossa resposta anterior é igual a, então isso diz: "Dê o arco cujo seno de 10 sobre 31,18"; portanto, eu tenho 18,7° ou 18,71°. Então, isso aqui é igual a 18,71° acima da horizontal. Portanto, nós construímos um vetor aqui. Pegamos sua componente vertical e sua componente horizontal, e conseguimos descobrir qual é o vetor total. Então, esse projétil, nessa situação, seu deslocamento total, só para esclarecer, sua trajetória vai ser parecida com algo assim, sua trajetória vai ser parecida com isso. Nós acabamos de calcular o seu deslocamento total. O deslocamento total do projétil é 31,18 metros, 18,71° acima da horizontal. Agora, outra coisa que eu percebi foi que, ao iniciar esse problema, perguntei a vocês qual a distância ao longo da plataforma. Nós descobrimos o deslocamento horizontal total do objeto. Portanto, se vocês quiserem saber qual a distância ao longo da plataforma, a plataforma inicia 2 metros para direita, portanto, ele realmente aterriza a 27,53 metros ao longo da plataforma.