Visualização de vetores em 2 dimensões

RKA5MP - Todos os problemas que estamos tratando até agora vêm ocorrendo, basicamente, em uma direção. Vocês poderiam ir para frente ou para trás, para direita ou para a esquerda. Ou para cima ou para baixo. Neste vídeo, eu quero falar sobre o que acontece quando você começa a estender isso para 2 dimensões. Ou, nós até poderíamos estender o que estamos fazendo neste vídeo para 3 ou 4, ou, realmente, um número arbitrário de dimensões. Apesar de que, se vocês estiverem lidando com a mecânica clássica, vocês normalmente não precisam de mais de 3 dimensões. Se vocês vão tratar de mais de uma dimensão, principalmente, 2 dimensões, mas também vamos lidar com vetores bidimensionais. Eu só quero garantir, por meio deste vídeo, que vamos compreender pelo menos o básico dos vetores bidimensionais. Lembre-se, um vetor é algo que apresenta módulo, direção e sentido. Portanto, a primeira coisa que eu quero fazer é fornecer a vocês um entendimento visual de como os vetores em 2 dimensões seriam adicionados. Então, digamos que eu tenho um vetor bem aqui. Esse é o vetor “a”. Então, novamente, seu módulo é especificado pelo comprimento dessa seta, e sua direção é especificada pela direção da seta, portanto, está seguindo naquela direção. Agora, digamos que eu tenha outro vetor. Vamos chamá-lo de vetor “b”, que se parece com isso. Agora, o que eu quero fazer nesse vídeo é pensar sobre o que acontece quando eu adiciono o vetor “a” ao vetor “b”. Portanto, há 2 coisas para se considerar quando vocês representam visualmente os vetores. O importante para o vetor “a”, por exemplo, é que vocês obtenham o comprimento certo e a direção certa, não importa onde vocês efetivamente irão desenhá-lo, possui o mesmo módulo e direção. Não importa onde realmente você o desenhe. Este também é um vetor “a”. Eu poderia desenhar um vetor “b” aqui, e ainda é um vetor “b”, ainda apresenta o mesmo módulo e direção. Observem que nós estamos dizendo que sua ponta deve começar no mesmo local em que a ponta daquele vetor começa. Eu poderia desenhar um vetor “b” aqui. Portanto, eu sempre posso ter o mesmo vetor, mas posso mudá-lo de lugar, posso colocá-lo aqui em cima, contanto que tenha a mesma grandeza, o mesmo comprimento e a mesma direção. O motivo pelo qual estou fazendo isso, um modo para adicionar visualmente os vetores, é que se eu quisesse somar o vetor “a” com vetor “b”, e eu mostrarei a vocês como fazer isso de forma mais analítica, em um vídeo futuro, eu, literalmente, posso desenhar o vetor “a”, eu desenho o vetor “a”, portanto, aquele ali é o vetor “a”, daí, eu posso desenhar o vetor "b", mas coloco a ponta do vetor “b” voltada para o topo do vetor “a”, então, eu inverto o vetor “b”, de modo que sua ponta esteja bem no topo do vetor “a”. Aí, o vetor “b” seria parecido com algo assim, seria parecido com isso. Então, se vocês forem da ponta de “a” até o topo de “b”, e vocês podem chamar isso de vetor “c”, isso é a soma de “a” e “b”. Vocês podem decorar assim: começa onde tudo começa, termina onde tudo termina. Digamos que esses são vetores de deslocamento, portanto, “a” demonstra que esta é a quantidade do seu deslocamento nessa direção, “b” demonstra o quanto você está se deslocando nessa direção. Eu quero dizer que, se você possui um deslocamento de “a”, então você tem um outro deslocamento de “b”, qual é o seu deslocamento total? Então, você teria que ser deslocado essa distância, nessa direção, e aí, você seria deslocado essa, nessa direção, portanto, a quantidade resultante da distância do seu deslocamento naquela direção. Então, é por isso que isso seria a soma daqueles. Agora, nós podemos usar essa mesma ideia para decompor qualquer vetor em 2 dimensões. E, em um segundo, eu daria a vocês uma ideia melhor do que isso significa. Assim, se eu tenho um vetor “a”, vou escolher uma letra nova, vamos chamar esse vetor de “x”. Eu posso dizer que o vetor “x” vai ser a soma desse vetor aqui em verde, e desse vetor aqui em vermelho. Percebam que, se eu pegar... “x” começa na ponta do vetor verde e termina no topo do vetor magenta. O vetor magenta começa no topo do vetor verde, e daí, termina, eu acho que, bem, ele termina onde o vetor “x” termina. O motivo para eu fazer isso, e espero que com essa explicação aqui alguém diria: "Certo! OK! O vetor verde mais o vetor magenta resultam nesse vetor ‘x’." Isso faria sentido. Eu coloco topo do vetor verde junto à ponta do vetor magenta, bem aqui. Mas a razão pela qual eu fiz isso, se eu puder expressar “x” como a soma desses 2 vetores, isto, então, divide “x” em sua componente vertical e sua componente horizontal. Portanto, eu poderia chamar isso de componente horizontal, ou, eu diria, a componente vertical, “x” vertical. Então, poderia chamar isso aqui de “x” horizontal. Ou, outro modo que eu poderia desenhar isso, eu poderia inverter esse “x” vertical. Lembre-se que não importa onde eu faço o desenho, contanto que ele apresente o mesmo módulo e direção, e eu posso desenhar assim, “x” vertical. Então, o que vocês observam é que podem expressar esse vetor “x”, vou fazê-los das mesmas cores. Então, o que vocês observam é que vocês podem expressar esse vetor “x”, vou fazê-los das mesmas cores, como a soma de suas componentes horizontal e vertical. Agora, nós veremos inúmeras vezes que isso é bastante poderoso, porque é capaz de transformar um problema bidimensional em 2 problemas separados de uma única dimensão, atuando em uma direção horizontal e outro atuando na direção vertical. Agora, vamos resolver isso usando mais matemática, pois eu tenho falado a vocês sobre o comprimento e tudo mais, mas vamos efetivamente decompor. Vou apenas demonstrar o que significa decompor um vetor. Então, digamos que eu tenho um vetor parecido com isso, vou fazer o melhor para... Digamos que nós temos um vetor parecido com isso, o seu comprimento é 5, então, vou chamá-lo de vetor “a”. Assim, o comprimento do vetor “a” é igual a 5. Digamos que a sua direção, nós vamos fornecer a sua direção pelo ângulo entre a direção que ele aponta e o eixo “x” positivo. Acho que eu vou desenhar um eixo aqui. Então, digamos que isso seja o eixo “y” orientado na direção vertical. Isso aqui é o eixo “x” orientado na direção horizontal. Para especificar a direção desse vetor, vou fornecer a vocês esse ângulo aqui. Vou fornecer a vocês um ângulo bastante peculiar, mas eu o escolhi por uma razão específica, para que as coisas sejam perfeitamente solucionadas no final. Vou fornecer isso em graus, portanto, são 36,8699°. Aí, estou escolhendo esse número específico por uma razão bem específica. O que eu quero fazer é calcular a componente vertical e horizontal desse vetor, portanto, quero decompô-lo em algo que vai diretamente para cima ou para baixo, e algo que vai diretamente para a direita ou para a esquerda. Então, como eu faço isso? Bem, primeiro poderia simplesmente desenhá-los visualmente para ver como eles seriam. Então, a sua componente vertical seria parecida com isso, ela começaria... Sua componente vertical seria parecida com isso, e a componente horizontal seria parecida com isso. Bom, do modo como eu desenhei a componente horizontal, ela teria início onde o vetor a começa e se estenderia até a ponta do vetor “a”, na direção “x”, mas somente na direção “x”. Aí, para retornar ao topo do vetor “a”, você precisa ter uma componente vertical. Poderíamos chamar a componente vertical aqui de “ay”, só porque está se deslocando na direção “y”. E nós poderíamos chamar esse componente horizontal de “ax”. Agora, eu quero descobrir o módulo de “ay” e “ax” portanto, como fazemos isso? Bem, a forma como desenhamos isso, eu basicamente montei um triângulo retângulo para nós. Isso é um triângulo retângulo. Nós sabemos que o comprimento desse triângulo, o comprimento do lado dele, o comprimento da hipotenusa, vai ser igual ao módulo do vetor “a”, portanto, o módulo de “a” é igual a 5. Então, como fazemos para descobrir esses lados? Bem, nós poderíamos aplicar um pouco de trigonometria básica. Se sabemos qual é o ângulo e sabemos qual é a hipotenusa, como descobrimos qual é o lado oposto do triângulo? Este aqui é o lado oposto ao ângulo. Se esquecemos de algo em nossa trigonometria básica, podemos reaprender agora. O seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa. O cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. A tangente é o cateto oposto sobre o cateto adjacente. Então, nós temos o ângulo e nós queremos o cateto oposto, e nós temos a hipotenusa. Portanto, poderíamos dizer que o seno do nosso ângulo, o seno de 36,899°, vai ser igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. O lado oposto do ângulo é a grandeza da nossa componente. Vai ser igual ao módulo da nossa componente “y”, sobre o módulo da hipotenusa, sobre esse comprimento aqui, que nós sabemos que é igual a 5. Ou seja, se você multiplicar ambos os lados por 5, você obtém 5 seno de 36,899°, que é igual ao módulo, é igual à componente vertical, o módulo da componente vertical do nosso vetor “a”. Agora, antes de eu pegar a calculadora para descobrir o resultado, vou fazer o mesmo para a componente horizontal. Aqui, nós sabemos que este lado é adjacente ao ângulo que conhecemos a hipotenusa. Então, o cosseno trabalha com adjacente e hipotenusa, portanto, sabemos que o cosseno de 36,899° é igual a... cosseno é adjacente sobre a hipotenusa, é igual ao módulo da nossa componente “x” sobre a hipotenusa. Aqui, a hipotenusa tem, ou melhor, o módulo da hipotenusa, eu diria, apresenta um comprimento de 5. Bom, mais uma vez, nós multiplicamos ambos os lados por 5 e obtemos 5 vezes o cosseno de 36,899°, que é igual ao módulo da nossa componente “x”. O módulo também pode ser chamado de intensidade, portanto, vamos calcular quem são eles. Então, vou pegar a calculadora. Pego minha calculadora que eu gosto muito. Eu quero me certificar que esteja no modo de grau. Vou conferir. Sim. Estamos no modo de grau lá. Quero garantir que não esteja no modo radiano. Agora, vou finalizar isso. Agora, nós temos que a componente vertical, que é igual a 5 vezes o seno de 36,899°, o que é cerca de 3, se nós arredondarmos. Então, isso é igual a 3. Vamos fazer o mesmo para a nossa componente horizontal. Portanto, agora nós temos 5 vezes o cosseno de 36,899°. É, se novamente arredondarmos, acho que para a casa dos 100, obtemos um valor de 4. Bom, o que temos aí é uma situação de um triângulo de Pitágoras 3, 4, 5, clássico. O módulo da nossa componente horizontal é 4. E o módulo da nossa componente vertical, aqui, é igual a 3. Mais uma vez, vocês poderiam dizer: "Mas, professor, por que estamos resolvendo todos esses problemas?" Nos próximos vídeos, nós veremos que, se disser que agora tem uma velocidade de 5 m/s nessa direção, na verdade, podemos dizer, podemos decompor isso em 2 velocidades. Podemos dizer que aquilo está se deslocando a 3 m/s na direção “y” e também está indo para a direita 4 m/s na direção “x”. E isso nos permite decompor o problema em 2 problemas mais simples, em 2 problemas de uma única dimensão, ao invés de um problema maior de 2 dimensões.