Quando utilizamos o sinal negativo na equação de Hooke? Não há nenhuma explicação, ela diz somente quando é necessário a força restauradora. Porém, como vou saber quando é necessário? Visto que visivelmente não utilizamos na maior parte das questões abordadas

Oi, o módulo da força elástica é apenas "F = kx", já que é sempre positiva, então deve considerar tanto k quanto x como positivos. F = -kx quando tratar x e F como vetores... assim, F terá sempre uma sentido oposto ao vetor x. Se deslocar para um lado, a força sempre estará na mesma direção mas sentido oposto (força restauradora)!

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Curso: Biblioteca de Física > Unidade 5

Lição 2: Molas e a lei de Hooke

O que é a lei de Hooke?

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Saiba mais sobre elasticidade e como determinar a força exercida por uma mola.

O que é uma mola?

Uma mola é um objeto que pode ser deformado por uma força e que volta a sua forma original quando essa força é removida.

Existem molas de todos os tipos, mas provavelmente a mais familiar é a mola de metal helicoidal. Molas são partes essenciais de quase todos dispositivos mecânicos moderadamente complexos; da caneta esferográfica aos motores de carros de corrida.

Não há nada particularmente mágico sobre o formato de uma mola helicoidal que a faça se comportar como uma mola. A "molice", ou mais corretamente, a elasticidade é uma propriedade fundamental do fio cuja mola é feita. Um fio reto de metal também volta a sua forma original após ser esticado ou torcido, mas o fio em espiral nos permite usufruir desta característica usando um espaço muito menor; tornando-o muito mais conveniente para ser usado em máquinas.

As reações de um fio de metal ao ser esticado (carga axial) ou torcido (torção) são resultados de diferentes interações físicas e o formato de uma mola pode explorar um tipo de deformação sobre outros. Além disso, as propriedades elásticas dos metais dependem fortemente de sua microestrutura granular; que pode ser modificada por tensão ou um aquecimento/resfriamento controlado - processo conhecido como recozimento. Se um fio de metal foi obtido de um pedaço reto em uma mola, então é provável que esse tenha que ser re-recozido para que volte a ter suas características elásticas originais.

O que acontece quando um material é deformado?

Quando uma força é aplicada em um material, o material pode esticar ou comprimir como resultado da força. Estamos acostumados com materiais que podem esticar facilmente, como a borracha.

Em mecânica, o que realmente importa é a força aplicada por área unitária. Essa força é chamada de tensão (sendo representada pelo símbolo

σ

). A amplitude do estiramento/compressão produzido a medida que o material responde à tensão é chamada de deformação (sendo representada pelo símbolo

ϵ

). A deformação é medida por meio da razão da diferença no comprimento

Δ L

para o comprimento inicial

L_{0}

no sentido da tensão, ou seja,

ϵ = Δ L / L_{0}

Todo material reage de forma diferente à tensão, e os detalhes desta reação são importantes para os engenheiros que precisam escolher materiais para suas estruturas e maquinário que se comportam previsivelmente sob uma tensão esperada.

Para a maioria dos materiais, a deformação resultante quando submetidos a pequenas tensões depende da força das ligações químicas dentro do material. A rigidez do material está diretamente relacionada à sua estrutura química e ao tipo de ligações químicas presentes. O que acontece quando a tensão é removida depende do quão longe os átomos se deslocaram. Basicamente, há dois tipos de deformação:

Deformação elástica. Ocorre quando a tensão é removida e o material retorna às suas dimensões originais (antes da aplicação da carga).
Deformação plástica. Ocorre quando uma grande tensão é aplicada ao material. A tensão é tão grande que quando removida, o material não retorna a suas dimensões originais. Cria-se uma deformação permanente e irreversível. O menor valor de tensão que produz deformação plástica é conhecido como o limite elástico do material.

Quando incorporada a alguma máquina sob condições normais de operação, qualquer mola deve ser projetada e construída de forma que ela nunca sofra deformação plástica, ela deve sempre operar no regime elástico.

Lei de Hooke

Ao estudar molas e elasticidade, o físico do século 17 Robert Hooke notou que a curva de tensão versus deformação para muitos materiais tinha uma região de comportamento linear. Dentro de determinados limites, a força requerida para deformar um objeto elástico como uma mola de metal é diretamente proporcional à extensão da mola. Esse comportamento é descrito pela Lei de Hooke, normalmente escrita como:

F = - k x

Em que

F

é a força,

x

é a deformação (extensão/compressão) e

k

é uma constante de proporcionalidade conhecida como constante de elasticidade, a qual é normalmente expressa em

N/m

Embora não tenhamos estabelecido explicitamente o sentido da força aqui, o sinal negativo é habitualmente adicionado. Isso é para significar que a força restauradora devido a mola é no sentido oposto ao sentido da força que causou o deslocamento. Puxando uma mola para baixo causará uma extensão da mola para baixo, que por sua vez resultará em uma força para cima devido a mola.

É sempre importante se certificar de que o sentido da força restauradora é especificado consistentemente ao abordar problemas de mecânica envolvendo elasticidade. Para problemas simples, muitas vezes podemos interpretar a extensão

x

como um vetor uni-dimensional; Nesse caso, a força resultante também será um vetor uni-dimensional e o sinal negativo na lei de Hooke dará o sentido correto da força.

Quando calculamos

x

é importante lembrar que a mola em si também terá alguns comprimento nominal

L_{0}

. O comprimento total

L

da mola sob extensão é igual ao comprimento nominal mais a extensão,

L = L_{0} + x

. Para uma mola sob compressão, seria

L = L_{0} - x

Exercício 1: Uma pessoa de 75 kg está em cima de uma mola de compressão com constante de elasticidade de mola de

5.000 N/m

e comprimento nominal de

0, 25 m

. Qual é o comprimento total da mola carregada?

Exercício 2a: Você está projetando um suporte para mover uma câmera de 1 kg suavemente ao longo de uma distância vertical de 50 mm. O projeto requer que a câmera deslize em um par de trilhos, com uma mola apoiando a câmera e puxando-a contra a ponta de um parafuso de ajuste, conforme mostrado na Figura 1. O comprimento nominal da mola é

L_{0} = 50 mm

. Qual é a constante de elasticidade de mola mínima necessária para esse projeto?

Por que não conectar a câmera diretamente no parafuso? Embora isso pudesse funcionar, não resultaria em um mecanismo com um movimento suave e repetitivo conforme o parafuso fosse ajustado. Isto é porque há folga em todos os mecanismos onde um parafuso gira dentro de uma porca ou de uma seção rosqueada. Isto é devido ao espaçamento finito das roscas. Uma solução de engenharia comum ao problema da folga é usar um parafuso empurrando contra uma mola, como neste exemplo.

A mola deve ser elástica o suficiente para fornecer a força necessária para puxar a câmera contra a ponta do parafuso o tempo todo. A força estará mais fraca quando a mola estiver na sua extensão mínima , isto é, quando a distância entre a parte superior e inferior da mola for 100 mm.

Como a mola é especificada para ter comprimento nominal de 50 mm, ela vai ter uma extensão mínima de

x = 100 mm - 50 mm = 50 mm

. A força da mola deve se opor à força da gravidade na câmera de

m g = (1 kg) \cdot (9, 81 m/s^2) = 9, 81 N

Usando a lei de Hooke encontramos a constante da mola necessária:

\begin{aligned} k & = \frac{F}{x} \\ = \frac{9, 81 N}{50 \cdot 10^{- 3} m} \\ ≃ 196 N/m \end{aligned}

Exercício 2b: Qual é o limite elástico mínimo requerido pela mola?

A mola deve ser robusta o suficiente para não quebrar ou exceder seu limite elástico quando a força nela é a máxima projetada. A força da mola é maximizada quando a extensão da mola é maximizada.

Sabemos que a extensão máxima é de

x = 150 mm - 50 mm = 100 mm

, e consideramos que selecionamos uma mola com uma constante de elasticidade da mola igual a

196 N/m

Podemos usar a lei de Hooke para encontrar a força de extensão máxima. Isso corresponde ao limite elástico mínimo que precisamos que a mola tenha.

\begin{aligned} F & = k x \\ = (196 N/m) \cdot (100 \cdot 10^{- 3} m) \\ = 19, 6 N \end{aligned}

Módulo de Young e combinação de molas

O Módulo de Young (também conhecido como Módulo Elástico) é um número que mede a resistência de um material para ser elasticamente deformado. Seu nome é em homenagem ao físico do século 17 Thomas Young. Quanto mais rígido o material, maior será seu Módulo de Young.

Normalmente, o símbolo dado ao Módulo de Young é o

E

, e é definido como:

E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{Tensão}{Deformação Elástica}

Módulo de Young pode ser definido em qualquer tensão, mas é constante onde a Lei de Hooke é obedecida. Podemos obter diretamente a constante de mola

k

do Módulo de Young do material, a área

A

onde a força é aplicada (já que a tensão depende da área) e o comprimento nominal do material

L

Este tratamento funciona razoavelmente bem para um material elástico simples, por exemplo, um bloco de borracha. Uma mola espiral de metal é um exemplo de uma estrutura relativamente complicada que explora a deformação axial e de torção. Neste caso é necessário analisar mais para determinar o valor correto para a constante da mola baseada nas propriedades estruturais do metal. No entanto, a forma geral da relação entre a constante de mola e a geometria das molas permanece a mesma.

k = E \frac{A}{L}

Essa é uma relação muito útil para se compreender quando se pensa sobre as propriedades das combinações das molas. Consideremos o caso de duas molas ideais semelhantes com constante de mola

k

que podem ser organizadas para suportar um peso uma após-a-outra (em série) ou em conjunto (em paralelo), como mostrado na Figura 2. Qual é a constante de mola efetiva para a combinação em cada caso?

Na configuração em série, podemos ver que a mola combinada é equivalente a uma mola com o dobro de tamanho. A constante de elasticidade da mola nesse caso deve ser, portanto, a metade da constante de uma mola individual,

k_{efetivo} = k / 2

Na configuração em paralelo, o comprimento é mantido, mas a força é distribuída em duas vezes a área do material. Isso dobra a constante de elasticidade efetiva da combinação de molas,

k_{efetiva} = 2 k

Molas com massa

Considere a configuração mostrada na Figura 3. Uma mola suporta uma massa de 1 kg horizontalmente através de uma polia (onde pode-se desprezar atrito) e uma mola idêntica que suporta a mesma massa verticalmente. Suponha que a mola tenha uma massa de 50g, constante de mola k = 200 N/m. Qual é a extensão da mola em cada caso?

Em ambos o casos, a força na mola devido a massa possui a mesma magnitude,

m g

. Então, primeiramente, podemos assumir que a extensão é a mesma em ambos casos. Na verdade, para uma mola real, isso não é verdade.

A complicação aqui é que a mola em si tem massa. No caso vertical, a força da gravidade atua sobre a mola no mesmo sentido que a força devido à massa. Sendo assim, a massa da mola se soma à do peso. A mola estendida está suportando um peso total de 1,05 kg, o que causa uma extensão de

\frac{1, 05 kg \cdot 9, 81 m/s^2}{200 N/m} = 51, 5 mm

No caso horizontal, a polia mudou a direção da força. A força devido ao peso de 1 kg, atuando na mola agora é ortogonal à força da gravidade atuando na mola. Então, a extensão da mola está suportando apenas 1 kg. Portanto, ela se extende

\frac{1 kg \cdot 9, 81 m/s^2}{200 N/m} = 49 mm

Essa diferença pode ser bastante significativa e, se não levada em conta, pode levar a resultados incorretos no laboratório. Em laboratórios de ensino de física, muitas vezes usamos a balanças de mola para medir a força. Uma balança de mola (Figura 4) é simplesmente uma mola com um ponteiro anexado e uma escala onde a força pode ser lida.

Como os fabricantes de balanças de mola esperam que seu produto seja usado na vertical (por exemplo, por um pescador para medir a massa do seu peixe) a escala é calibrada para considerar a massa da mola e do gancho. A balança vai dar um resultado absoluto incorreto se usada para medir uma força horizontal. No entanto, a Lei de Hooke nos diz que existe uma relação linear entre força e extensão. Por isso ainda podemos confiar na balança para medidas relativas quando usada na horizontal. Algumas balanças de mola têm um parafuso de ajuste que permite calibrar o ponto zero, eliminando esse problema.

O que entendemos por absoluto e relativo? Uma medida absoluta é uma medida de uma quantidade que tem um ponto de referência definido como zero. Uma medida de comprimento por uma régua com escala impressa é um exemplo de uma medida absoluta. Uma régua sem números impressos (somente marcas de escala) só é capaz de fazer uma medição relativa.

Para converter uma medida relativa em uma absoluta precisamos escolher nosso próprio ponto de referência. No caso de uma balança de mola horizontal provavelmente escolheríamos estabelecer o ponto de referência encontrando a força medida quando a mola está descarregada. Então poderíamos subtrair este valor do indicado na escala da balança ao se fazer uma medição.

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Lázaro Moreira
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Quando utilizamos o sinal...” de Lázaro Moreira
Quando utilizamos o sinal negativo na equação de Hooke? Não há nenhuma explicação, ela diz somente quando é necessário a força restauradora. Porém, como vou saber quando é necessário? Visto que visivelmente não utilizamos na maior parte das questões abordadas
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- Luiz Portella
  Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Oi, o módulo da força elá...” de Luiz Portella
  Oi, o módulo da força elástica é apenas "F = kx", já que é sempre positiva, então deve considerar tanto k quanto x como positivos. F = -kx quando tratar x e F como vetores... assim, F terá sempre uma sentido oposto ao vetor x. Se deslocar para um lado, a força sempre estará na mesma direção mas sentido oposto (força restauradora)!
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Tiago Silva
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “o grafico mostra uma forç...” de Tiago Silva
o grafico mostra uma força elastica como funçao do estiramento de mola em uma arma de cortiça . a mola e comprimida em 10 centimetrose usada para inpelir uma cortiça com massa de 9 g para fora da arma. qual a velocidade da cortiçaem m/s, se ela e liberada quando a mola atinge seu comprimrnto natural?
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- Renato Viana
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “k.x²/2 = m.v²/2 -> v² = k...” de Renato Viana
  k.x²/2 = m.v²/2 -> v² = k.x²/m. Através do gráfico você obtém a constante elástica
  Comentar sobre a postagem “k.x²/2 = m.v²/2 -> v² = k...” de Renato Viana
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Fabricio Gegenheimer
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Como é apicado a força em...” de Fabricio Gegenheimer
Como é apicado a força em uma mola?
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