Todos sabemos instintivamente que um objeto pesado pairando sobre a cabeça de alguém representa uma situação potencialmente perigosa. O objeto pode estar bem seguro, de forma não é necessariamente perigoso. Nossa preocupação é que o que está segurando o objeto contra a força da gravidade pode falhar. Para usar a terminologia física correta, estamos preocupados com a energia potencial gravitacional do objeto.

Todas as forças conservativas têm uma energia potencial associada a elas. A força da gravidade não é uma exceção. A energia potencial gravitacional é usualmente representada pelo símbolo $U_g$‍. Ela representa o potencial que um objeto tem de realizar trabalho por estar localizado em uma determinada posição em um campo gravitacional.

Considere um objeto com massa $m$‍ sendo levantado até uma altura $h$‍ contra a força da gravidade como mostrado na figura abaixo. O objeto é levantado verticalmente por uma polia e uma corda, de forma que a força exercida para levantar o objeto e a força exercida pela gravidade, $F_g$‍, são paralelas. Se $g$‍ é a magnitude da aceleração da gravidade, podemos encontrar o trabalho realizado pela força no peso multiplicando a magnitude da força da gravidade, $F_g$‍, pela distância vertical percorrida, $h$‍. Assumimos que a aceleração gravitacional é constante ao longo de toda a altura $h$‍.

Se a força fosse removida, o objeto cairia de volta ao solo e a energia potencial gravitacional seria transformada em energia cinética do objeto em queda. Nosso artigo sobre conservação de energia inclui alguns problemas exemplo que são resolvidos através de um entendimento de como a energia potencial gravitacional é convertida em outras formas de energia.

O que é interessante sobre a energia potencial gravitacional é que o zero é escolhido de maneira arbitrária. Podemos escolher qualquer nível vertical como o $h=0$‍. Para problemas mecânicos simples, um ponto conveniente para o zero seria no chão do laboratório, ou a superfície da mesa. A princípio, no entanto, poderíamos escolher qualquer ponto de referência—algumas vezes chamado de ponto de partida. A energia potencial gravitacional poderia até ser negativa, se o objeto passasse abaixo do ponto zero. Isso não é um problema; só temos de garantir que o mesmo ponto zero é consistentemente usado nos cálculos.

Exercício 1a: Quanta energia elétrica seria utilizada por um elevador levantando uma pessoa com 75 kg a uma altura de 50 m se o sistema do elevador possui uma eficiência total de 25%? Suponha que a massa do elevador vazio está devidamente contra-balanceada por um contrapeso.

Exercício 1b (extensão): Qual o custo do percurso do elevador assumindo que o custo da energia seja $0,10{\displaystyle \frac{\mathrm{\$}}{\text{kW}\cdot \text{hr}}}$‍?

Exercício 2: A energia potencial gravitacional é uma das poucas formas de energia que podem ser utilizadas na prática para armazenar energia em escalas muito grandes. O armazenamento de energia em grande escala é necessário para armazenar o excesso de energia elétrica de fontes eólicas e solares, de forma que ela possa ser transferida para a rede elétrica nos horários de pico de demanda. Isto pode ser feito através de sistemas hidroelétricos de armazenamento por bombeamento. A figura abaixo mostra um exemplo deste tipo de sistema. A água é bombeada até um reservatório elevado utilizando o excesso de energia para girar o motor que opera uma bomba de turbina. Quando a demanda de energia é alta, o fluxo é invertido. A bomba torna-se um gerador impulsionado pela energia potencial gravitacional da água no reservatório superior. A água pode ser liberada muito rapidamente para atender às necessidades de potência de pico de uma cidade inteira ou até mesmo de várias cidades.

A Usina de Armazenamento por Bombeamento do Condado de Bath é o maior sistema hidrelétrico de armazenamento por bombeamento do mundo. Ele serve 60 milhões de pessoas e tem a capacidade de gerar cerca de 3 GW ${}^1$‍. A diferença de altura $h$‍ do sistema é de 380 m. Suponha que o sistema possui uma eficiência energética de 80%. Qual é o volume de água do reservatório superior que deve fluir pela turbina em um período de 30 minutos se uma cidade está sendo abastecida com 3 GW de potência neste mesmo intervalo de tempo?

Se o problema envolve grandes distâncias, não podemos mais assumir que o campo gravitacional é uniforme. Se lembrarmos da Lei da Gravitação Universal de Newton, a força de atração entre duas massas, $m_1$‍ e $m_2$‍, diminui com o quadrado da distância entre elas, $r$‍. Se $G$‍ é a constante gravitacional,

$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$‍.

Quando lidamos com a energia potencial gravitacional sobre grandes distancias, tipicamente escolhemos um local para nosso ponto zero que pode parecer não intuitivo. Colocamos o ponto zero da energia potencial gravitacional a uma distância $r$‍ no infinito. Isto faz com que todos os valores de energia potencial gravitacional sejam negativos.

Faz sentido fazer isso porque, conforme a distância $r$‍ se torna grande, a força gravitacional tende rapidamente a zero. Quando você está perto de um planeta, você está efetivamente ligado a ele pela gravidade e precisa de muita energia para escapar. Estritamente, você escapa apenas quando $r=\mathrm{\infty }$‍, mas, por causa da relação do quadrado da inversa, podemos chegar a uma assíntota em que a energia potencial gravitacional se torna muito próxima de zero. Para uma espaçonave saindo da Terra, pode-se dizer que isso ocorre a uma altura de cerca de $5\cdot {10}^7$‍metros acima da superfície, que é aproximadamente quatro vezes o diâmetro da Terra. Nessa altura, a aceleração exercida pela gravidade diminuiu para cerca de 1% do valor da superfície.

Se nos lembrarmos que o trabalho realizado é o produto de uma força por uma distância, então poderemos ver que multiplicando a força da gravidade, acima, por uma distância $r$‍ cancelamos o ‘ao quadrado’ no denominador. Se colocarmos o nosso zero de energia potencial no infinito, então é de se esperar que a energia potencial gravitacional como uma função de $r$‍ é:

Essa fórmula é muito conveniente para descrever os requerimentos de energia para se viajar entre dois corpos diferentes no sistema solar. Podemos imaginar como pousar em um planeta. À medida que nos aproximamos do planeta, ganhamos energia cinética. Como a energia se conserva, devemos perder energia potencial gravitacional para compensar o aumento de energia cinética; em outras palavras, $U_g$‍ torna-se cada vez mais negativo.

A figura abaixo conduz ao conceito de poço gravitacional, o qual você precisa 'escalar' para se transportar de um corpo planetário para outro. A figura mostra uma representação dos poços gravitacionais de Plutão e sua lua Charon, calibrado para uma espaçonave de 1.000 kg.

Exercício 3: Baseado no gráfico mostrado na figura acima, quanto trabalho é preciso ser realizado contra a gravidade em uma jornada começando na superfície de Charon e chegando na superfície de Plutão com velocidade zero?