Meia-vida de uma reação de primeira ordem

RKA4MP - Aqui nós temos uma forma da lei integrada de velocidade para uma reação de primeira ordem e nós vamos continuar com os cálculos aqui; então, em algum momento, nós falaremos sobre meia-vida. Aqui, do lado esquerdo, a gente tem um logaritmo natural da concentração de “A” no tempo "t" menos o logaritmo natural da concentração de “A” em um tempo zero, ou seja, a concentração inicial, e isso vai ser igual a -k, que é a constante de velocidade vezes o tempo. Nós podemos usar uma propriedade de logaritmo aqui, do lado esquerdo. Nós podemos fazer logaritmo natural da concentração de “A” em um tempo "t" dividido pela concentração de “A” inicial, então, de “A” no tempo zero. Isso seria igual a menos a constante vezes o tempo. Agora, nós temos que nos livrar desse logaritmo natural. Para fazer isso, nós vamos exponenciar ambos os lados: então, aqui, eu vou fazer o exponencial e aqui, eu vou fazer um exponencial, também. A gente vai se livrar desse logaritmo natural aqui. Vamos reescrever isso então. Aqui, nós teremos a concentração de “A” em um tempo "t", dividido pela concentração inicial de “A”. E isso, aqui, seria igual a "e"... então, a gente tem "e" elevado a -kt. Então, e⁻ᵏᵗ. Agora, nós vamos multiplicar os dois lados da equação pela concentração inicial de “A”. Nós teremos, aqui, vamos pegar um pouquinho mais de espaço, nós teremos aqui a concentração de “A” num tempo "t" sendo igual a concentração de “A” inicial vezes e⁻ᵏᵗ Agora fica um pouco mais fácil para a gente pensar sobre o gráfico. Nós vamos colocar a concentração de “A” no eixo "y" e a gente vai colocar o nosso tempo no eixo "x". Esse é um decaimento exponencial. Aqui embaixo, eu fiz um gráfico para a gente dar uma olhadinha nisso. Então, aqui a gente tem o nosso gráfico. Aqui eu vou escrever, de novo, que eu tenho a concentração de “A”ₜ sendo igual a concentração A₀ vezes e⁻ᵏᵗ. Só para ficar melhor da gente visualizar aqui no gráfico, para não precisar ficar subindo toda hora. Então, aqui na concentração de “A”, nós vamos ter o eixo "y" e, aqui, para o tempo, nós vamos ter o eixo "x". Vamos pensar nesse ponto aqui: esse ponto está exatamente quando meu tempo é zero. Então, qual é a concentração? Você poderia substituir o valor de "t" aqui, nessa equação, como sendo zero. Então, você teria que "e" seria igual a 1. Ou seja, aqui nós teríamos a concentração inicial. Vamos marcar que a gente tem a concentração inicial. Conforme o tempo se aproxima do infinito, vamos marcar o tempo se aproximando do infinito, a concentração de “A” vai tender para zero. Então, a gente tem que a concentração de “A” vai tender para zero. Essa é uma ideia do seu gráfico. Agora, vamos pensar na meia-vida. Nós temos, aqui, que a meia-vida é o tempo que leva para a concentração do reagente cair pela metade da concentração inicial. Então, nós vamos representar isso como sendo a concentração inicial. Então, a concentração inicial, dividido por 2, pois a gente está caindo pela metade. O símbolo para a meia-vida é t½. Então, t½ é o símbolo da meia-vida. Quando o tempo for igual à sua meia-vida, sua concentração será metade da concentração inicial. Vamos encontrar a meia-vida, então. Aqui, nós vamos reescrever a concentração inicial, dividido por 2 e nós vamos ter a concentração inicial. E, aqui, eu vou ter "e" que vai estar elevado a -k vezes o tempo da meia-vida, então "t" um meio, t½. Perceba que, aqui, a gente pode cancelar as concentrações iniciais. Então, se eu pegar um pouquinho mais de espaço, nós teremos ½, que vai ser igual... aqui nós teremos "e" elevado a -k multiplicado por t½. E agora, nós temos que nos livrar desse "e". Eu vou fazer o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Então, aqui a gente vai cancelar esse "e". Se eu reescrever isso, vamos pegar um pouquinho de espaço aqui, a gente tem logaritmo natural de ½, que vai ser igual a... aqui, eu vou ter -k e, aqui, eu tenho t½. Agora, nós só precisamos isolar t½. Se a gente fizer isso, teremos que t½ que vai ser igual a menos logaritmo natural de ½ dividido por “k”. Então, se eu pegar uma calculadora, nós vamos fazer logaritmo natural de 0,5 e nós vamos ter -0,693. Mas como, aqui, a gente já tem negativo, a gente vai fazer... então, eu vou fazer uma setinha aqui e nós vamos ter que a nossa meia-vida vai ser igual a 0,693 dividido por “k”. E essa será a sua meia-vida para uma reação de primeira ordem. Agora, vamos pensar um pouco nisso. Se “K” é a constante, obviamente 0,693 também é uma constante. Então, a sua meia-vida é constante; a meia-vida, para uma reação de primeira ordem, é independente da concentração inicial de “A”, então você sempre terá a mesma meia-vida. Vamos pensar nisso com um exemplo. Vamos voltar aqui no gráfico. Então, vamos voltar aqui no gráfico. Vamos dizer que nós começamos com alguma concentração inicial e que eu vou representar essa concentração inicial como sendo 8 pontinhos: então, a gente tem aqui 1, 2... Eu vou dizer que esses pontinhos são 8 partículas. Nós temos, aqui, 8 pontinhos e essa vai ser a minha concentração. Então, nós vamos esperar até que a nossa concentração chegue na metade. Vamos dizer que é, mais ou menos, por aqui. A gente tem a concentração que caiu pela metade. Então, a gente vai ter 4 pontinhos. Onde isso estaria no nosso gráfico? Bom, a gente estaria, mais ou menos, por aqui. Então, a gente tem aqui, a gente vai marcar os pontos e vamos dizer que esse tempo aqui, bom, aqui, nós temos 10 segundos, aqui nós temos 20, aqui nós temos 30, 40 e 50 segundos. Vamos dizer que a gente tem, aqui, 10 segundos. Vamos marcar o ponto aqui. Nós podemos ver que levou 10 segundos para que a concentração inicial caísse pela metade. Assim, a primeira meia-vida, aqui, vai ser 10 segundos. Vamos escrever isso. Vou marcar aqui, em cima, que a meia-vida vai ser igual, vai se igual a 10 segundos. Isso é apenas um exemplo para você entender a ideia de meia-vida. Agora, nós temos 4 partículas aqui. Quanto tempo leva para metade dessas partículas reagirem? Para gente alcançar metade da concentração de 4, a gente tem que esperar mais 10 segundos. Então, aqui nós vamos ter 2 partículas, então metade daquilo ali, e a gente vai marcar esse ponto no nosso gráfico. Então, a gente tem, aqui, 20 segundos e a gente marcou, aqui, o nosso ponto. Nós podemos fazer isso novamente. Quanto tempo leva para a gente reagir metade dessas partículas? A gente vai demorar mais 10 segundos. Então, se a gente reagir mais metade disso, nós vamos ter aqui, então, nós vamos ter aqui... Vamos marcar, aqui, que eu vou ter 1 partícula só, então a gente levou mais de 10 segundos para cair pela metade. Então, a meia-vida é de 10 segundos. A meia-vida, aqui, é independente da concentração inicial. Então, não importa se eu comecei com 8 partículas, 4, 2 ou 1, a meia-vida, aqui, sempre será 10 segundos. Essa é uma ideia de meia-vida para uma reação de primeira ordem.