Transcrição de Intuition for second part of fundamental theorem of calculus
- 0:00RKA8JV - Vamos considerar S(t) uma função
- 0:03da posição em relação ao tempo.
- 0:05E eu vou traçar no gráfico um possível S(t) aqui.
- 0:09Temos no eixo horizontal, o eixo do tempo,
- 0:12e eu vou traçar uma parábola aqui.
- 0:14Eu poderia ter feito de outra maneira,
- 0:16mas eu vou traçar uma parábola porque é mais fácil de entender.
- 0:20Vamos chamar este outro eixo aqui
- 0:22de eixo de "y", e vamos dizer que "y = S(t)",
- 0:27para a gente poder ter um gráfico
- 0:29da posição em função do tempo.
- 0:31Vamos pensar no que acontece se a gente quiser
- 0:35refletir um pouco acerca da mudança de posição entre dois tempos.
- 0:38Por exemplo:
- 0:39entre o tempo "a", que vamos marcar aqui,
- 0:42e o tempo "b", que vamos marcar aqui.
- 0:45Então, qual seria a mudança de posição entre o tempo "a" e o tempo "b"?
- 0:50Bem, no tempo "b", estamos na posição S(b),
- 0:53e no tempo "a", estamos na posição S(a).
- 0:57Então, a mudança de posição entre os tempos "a" e "b",
- 1:00e pode até parecer algo fácil,
- 1:02mas isso é muito importante.
- 1:04Essa mudança de posição entre os tempos "a" e "b" vai ser igual a S(b) - S(a).
- 1:11Isso não é muito complicado, não é?
- 1:13Bem, vamos pensar então no que acontece
- 1:16se a gente determinar a derivada desta função aqui.
- 1:20O que acontece se calcularmos
- 1:22a derivada de uma posição em função do tempo?
- 1:25Lembre-se, a derivada nos dá o ângulo
- 1:27de inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
- 1:30Então, se considerarmos um ponto aqui,
- 1:33o ângulo de inclinação da reta tangente que passa neste ponto
- 1:37é a derivada, e vai nos mostrar para uma mudança muito pequena em "t",
- 1:42claro, eu vou dar uma exagerada visualmente.
- 1:44Para uma mudança muito pequena em "t",
- 1:46o quanto que vai mudar na posição.
- 1:48Então por isso escrevemos aqui, dS/dt,
- 1:51que é derivada da função posição
- 1:54em relação ao tempo.
- 1:55Agora observe bem, estamos falando da taxa de mudança da posição
- 1:59em função do tempo.
- 2:01Isso seria o quê?
- 2:02Bem, isso é a velocidade.
- 2:05Então, isso aqui é igual à velocidade.
- 2:08Deixe-me escrever aqui de uma forma diferente.
- 2:11Então esse dS/dt, que será algo em função do tempo,
- 2:15será igual a S'(t),
- 2:17lembre-se, são dois modos diferentes
- 2:20de escrever a derivada de "S" em função do tempo.
- 2:22Isso deixa até um pouco mais claro
- 2:24que isso é diretamente uma função do tempo.
- 2:26E nós sabemos que isso é exatamente a mesma coisa
- 2:29que a velocidade em função do tempo,
- 2:32que nós podemos expressar como V(t).
- 2:34Vamos traçar como seria o gráfico de V(t) nesse contexto?
- 2:38Eu vou colocar o outro eixo aqui embaixo,
- 2:40que se parece bastante com o original,
- 2:43só que aqui eu vou colocar a V(t) no gráfico.
- 2:46Isto aqui vai ser novamente o meu eixo "y"
- 2:49e isso aqui vai ser o meu eixo "t".
- 2:51E aí, eu vou desenhar o gráfico de "y"
- 2:53sendo igual a V(t).
- 2:55Se isto aqui em cima é realmente uma parábola,
- 2:58a inclinação aqui é zero, ou seja,
- 3:00a taxa de mudança é zero e depois segue aumentando.
- 3:04A inclinação vai aumentando mais e mais,
- 3:06então este gráfico, y = V(t),
- 3:10tem esta forma aqui.
- 3:11Ok, agora vamos usar um pouco deste gráfico para começar a pensar
- 3:15e poder conceituar a distância
- 3:17ou a mudança da posição entre os tempos "a" e "b".
- 3:20Novamente, a gente vai voltar lá na soma de Riemann.
- 3:23Vamos pensar no que a área de um pequeno retângulo representa
- 3:27e vamos dividir isso em vários retângulos.
- 3:29Eu vou fazer aqui em retângulos maiores
- 3:31para a gente ter espaço para trabalhar, tudo bem?
- 3:33Mas vamos imaginar que eles são muito menores do que isso.
- 3:36Aí, eu vou fazer a soma de Riemann à esquerda,
- 3:39porque nós fizemos isso muitas vezes, mas também poderíamos fazer à direita,
- 3:43enfim, qualquer outra que a gente quisesse.
- 3:46Bem, deixa eu fazer 3 retângulos aqui,
- 3:48com uma aproximação, mas você pode imaginar mais próximos, tudo bem?
- 3:52Agora, o que seria a área de cada um desses retângulos?
- 3:55Isso aqui seria uma aproximação do quê?
- 3:57Bem, esse aqui é f(a),
- 3:59ou poderíamos dizer V(a).
- 4:01Então, a velocidade no tempo "a" teria esta altura aqui,
- 4:05e a distância é esta aqui, que é uma mudança no tempo Δt.
- 4:10Então, a área do retângulo é a velocidade neste momento
- 4:14multiplicada pela mudança no tempo.
- 4:17Agora, o que seria a velocidade neste momento
- 4:19multiplicada pela variação do tempo?
- 4:21É exatamente a variação na posição.
- 4:24Então isso daqui te daria uma boa aproximação
- 4:26da variação da posição nesse intervalo de tempo.
- 4:30A área deste retângulo aqui também é uma aproximação
- 4:33para variação da posição nesse intervalo de tempo.
- 4:37E aí, você pode imaginar isto aqui como sendo uma aproximação
- 4:40da variação da posição para o próximo intervalo de tempo.
- 4:43Agora, se você quer realmente entender a variação da posição
- 4:47entre os tempos "a" e "b",
- 4:49você poderia fazer uma soma de Riemann,
- 4:51e aí chegar a uma boa aproximação.
- 4:53Para isso, você vai fazer o somatório "i = 1" até "n"
- 4:58para a soma de Riemann à esquerda.
- 5:00Mas novamente, poderíamos usar um ponto médio,
- 5:02um ponto à direita,
- 5:03enfim, qualquer outro ponto para fazer a soma de Riemann.
- 5:06Eu vou fazer à esquerda porque eu já coloquei V(t) aqui, tudo bem?
- 5:10Então, isso aqui seria t₀, que seria "a",
- 5:13e este é p primeiro retângulo.
- 5:15Para o primeiro retângulo, você usa a função avaliada em t₀.
- 5:19Para o segundo, você usa a função avaliada em t₁.
- 5:23Já fizemos isso em vários outros vídeos.
- 5:25E então, multiplicamos isto por cada mudança no tempo,
- 5:29e isso será uma aproximação do nosso total,
- 5:31onde Δt = (b - a) dividido pelo número de intervalos.
- 5:36Já sabemos de muitos vídeos que, quando temos a soma de Riemann,
- 5:40teremos uma boa aproximação para duas coisas.
- 5:43Como já falamos, para a variação da posição,
- 5:45mas também será uma aproximação para a nossa área.
- 5:48Como você pode ver aqui, estamos fazendo uma aproximação da mudança de posição.
- 5:52Isso também é a aproximação da área abaixo da curva.
- 5:56Bem, eu espero que isso te satisfaça.
- 5:58Se você quiser calcular a área abaixo da curva,
- 6:01é muito fácil fazer isso porque isso aqui é um trapezoide.
- 6:04Mas mesmo que fosse uma função, daria para fazer da mesma forma.
- 6:08Afinal, podemos calcular a área abaixo da curva da função da velocidade,
- 6:12e com isso, nós estaríamos calculando a variação da posição.
- 6:16Estas duas são as mesmas coisas.
- 6:19E já sabemos o que fazer para determinar a área abaixo da curva, não é?
- 6:22Ou seja, para ter exatamente a variação da posição.
- 6:26Bem, como temos muitos retângulos,
- 6:28podemos usar o limite como o número de retângulos,
- 6:31e aí vamos usar o limite quando "n" tende ao infinito.
- 6:34Lembrando que Δt = (b - a)/n.
- 6:38Então quando "n" tende ao infinito,
- 6:41nós vamos ter um Δt infinitamente pequeno.
- 6:44Uma maneira de pensar isso
- 6:45é a gente transformar esse Δt em "dt".
- 6:48Nós já aprendemos a trabalhar com essa notação, não foi?
- 6:51Esta aqui é uma maneira de pensar em uma integral de Riemann.
- 6:55Usamos a soma de Riemann à esquerda,
- 6:57novamente falando, a gente poderia usar a soma à direita,
- 7:00ou qualquer outra soma de Riemann,
- 7:02que vai funcionar da mesma forma.
- 7:04Isso aqui vai ser integral definida indo de "a" até "b" de V(t)dt.
- 7:10Essa é uma forma de determinar a área abaixo da curva
- 7:13para a função velocidade,
- 7:15que será exatamente a variação da posição
- 7:18entre os tempos "a" e "b".
- 7:20Ou seja, o limite desta soma de Riemann quando "n" tende ao infinito
- 7:24é igual à integral definida indo de ''a" até "b" para V(t)dt.
- 7:30Conseguiu entender essas ideias?
- 7:31Vamos recapitular aqui.
- 7:33Nós já descobrimos antes, que a variação da posição entre "a" e "b" é isto aqui.
- 7:38Então, fica mais interessante,
- 7:40nós temos uma forma de avaliar esta integral definida.
- 7:43Conceitualmente, sabemos que isso aqui
- 7:46corresponde à variação da posição entre os pontos "a"e "b".
- 7:50Mas a gente descobriu uma forma de determinar exatamente
- 7:53a variação da posição entre os tempos "a" e "b".
- 7:56Então, vou escrever isso aqui.
- 7:58Temos que a integral definida entre "a" e "b" de V(t)dt
- 8:02é igual a S(b) - S(a).
- 8:06Sabemos que V(t) é a derivada de S(t)dt,
- 8:10então, podemos dizer que S(t) é a antiderivada de V(t).
- 8:14E essa definição, apesar de estar escrita de uma forma um pouco mais tradicional,
- 8:18eu usei posição e velocidade,
- 8:20é o segundo teorema fundamental do cálculo.
- 8:24Bem, e qual é o primeiro?
- 8:25Bem, a gente já falou sobre ele em outro vídeo.
- 8:27Esse é um modo muito útil de avaliar integrais definidas
- 8:30e de encontrar áreas abaixo de curvas.
- 8:33Agora porque o segundo teorema fundamental do cálculo é tão importante?
- 8:37Deixe-me reescrever esse teorema de uma forma mais genérica,
- 8:40da forma que você está mais acostumado a ver em seu livro de Cálculo.
- 8:43Bem, se queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b" de f(x)dx,
- 8:49é esta notação aqui que nós vamos utilizar.
- 8:51Deixe-me desenhar isso aqui para ficar mais claro
- 8:54que eu estou falando em termos gerais.
- 8:56Essa aqui será a nossa f(x),
- 8:58e nós queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b".
- 9:03Se queremos achar exatamente a área,
- 9:05nós podemos calcular antiderivada de "f".
- 9:08Vamos dizer então que F(x) é a antiderivada,
- 9:12ou uma antiderivada,
- 9:14porque você pode ter várias coisas diferenciadas apenas por constantes,
- 9:18então, teremos uma antiderivada de "F".
- 9:21Então, basta avaliar a antiderivada nos pontos finais e subtrair.
- 9:26Subtrair pela antiderivada avaliada no ponto inicial.
- 9:30Então, você tem "F(b) - F(a)".
- 9:34Assim, se buscamos a área exata abaixo da curva,
- 9:38basta calcular sua antiderivada avaliada no ponto final,
- 9:42e a partir daí, subtrair com a antiderivada avaliada no ponto inicial.
- 9:47Bem, eu espero que isso faça sentido para você,
- 9:49e nós vamos aplicar um pouco mais desse teorema nos próximos vídeos.