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Transcrição de Intuition for second part of fundamental theorem of calculus

  • 0:00RKA8JV - Vamos considerar S(t) uma função
  • 0:03da posição em relação ao tempo.
  • 0:05E eu vou traçar no gráfico um possível S(t) aqui.
  • 0:09Temos no eixo horizontal, o eixo do tempo,
  • 0:12e eu vou traçar uma parábola aqui.
  • 0:14Eu poderia ter feito de outra maneira,
  • 0:16mas eu vou traçar uma parábola porque é mais fácil de entender.
  • 0:20Vamos chamar este outro eixo aqui
  • 0:22de eixo de "y", e vamos dizer que "y = S(t)",
  • 0:27para a gente poder ter um gráfico
  • 0:29da posição em função do tempo.
  • 0:31Vamos pensar no que acontece se a gente quiser
  • 0:35refletir um pouco acerca da mudança de posição entre dois tempos.
  • 0:38Por exemplo:
  • 0:39entre o tempo "a", que vamos marcar aqui,
  • 0:42e o tempo "b", que vamos marcar aqui.
  • 0:45Então, qual seria a mudança de posição entre o tempo "a" e o tempo "b"?
  • 0:50Bem, no tempo "b", estamos na posição S(b),
  • 0:53e no tempo "a", estamos na posição S(a).
  • 0:57Então, a mudança de posição entre os tempos "a" e "b",
  • 1:00e pode até parecer algo fácil,
  • 1:02mas isso é muito importante.
  • 1:04Essa mudança de posição entre os tempos "a" e "b" vai ser igual a S(b) - S(a).
  • 1:11Isso não é muito complicado, não é?
  • 1:13Bem, vamos pensar então no que acontece
  • 1:16se a gente determinar a derivada desta função aqui.
  • 1:20O que acontece se calcularmos
  • 1:22a derivada de uma posição em função do tempo?
  • 1:25Lembre-se, a derivada nos dá o ângulo
  • 1:27de inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
  • 1:30Então, se considerarmos um ponto aqui,
  • 1:33o ângulo de inclinação da reta tangente que passa neste ponto
  • 1:37é a derivada, e vai nos mostrar para uma mudança muito pequena em "t",
  • 1:42claro, eu vou dar uma exagerada visualmente.
  • 1:44Para uma mudança muito pequena em "t",
  • 1:46o quanto que vai mudar na posição.
  • 1:48Então por isso escrevemos aqui, dS/dt,
  • 1:51que é derivada da função posição
  • 1:54em relação ao tempo.
  • 1:55Agora observe bem, estamos falando da taxa de mudança da posição
  • 1:59em função do tempo.
  • 2:01Isso seria o quê?
  • 2:02Bem, isso é a velocidade.
  • 2:05Então, isso aqui é igual à velocidade.
  • 2:08Deixe-me escrever aqui de uma forma diferente.
  • 2:11Então esse dS/dt, que será algo em função do tempo,
  • 2:15será igual a S'(t),
  • 2:17lembre-se, são dois modos diferentes
  • 2:20de escrever a derivada de "S" em função do tempo.
  • 2:22Isso deixa até um pouco mais claro
  • 2:24que isso é diretamente uma função do tempo.
  • 2:26E nós sabemos que isso é exatamente a mesma coisa
  • 2:29que a velocidade em função do tempo,
  • 2:32que nós podemos expressar como V(t).
  • 2:34Vamos traçar como seria o gráfico de V(t) nesse contexto?
  • 2:38Eu vou colocar o outro eixo aqui embaixo,
  • 2:40que se parece bastante com o original,
  • 2:43só que aqui eu vou colocar a V(t) no gráfico.
  • 2:46Isto aqui vai ser novamente o meu eixo "y"
  • 2:49e isso aqui vai ser o meu eixo "t".
  • 2:51E aí, eu vou desenhar o gráfico de "y"
  • 2:53sendo igual a V(t).
  • 2:55Se isto aqui em cima é realmente uma parábola,
  • 2:58a inclinação aqui é zero, ou seja,
  • 3:00a taxa de mudança é zero e depois segue aumentando.
  • 3:04A inclinação vai aumentando mais e mais,
  • 3:06então este gráfico, y = V(t),
  • 3:10tem esta forma aqui.
  • 3:11Ok, agora vamos usar um pouco deste gráfico para começar a pensar
  • 3:15e poder conceituar a distância
  • 3:17ou a mudança da posição entre os tempos "a" e "b".
  • 3:20Novamente, a gente vai voltar lá na soma de Riemann.
  • 3:23Vamos pensar no que a área de um pequeno retângulo representa
  • 3:27e vamos dividir isso em vários retângulos.
  • 3:29Eu vou fazer aqui em retângulos maiores
  • 3:31para a gente ter espaço para trabalhar, tudo bem?
  • 3:33Mas vamos imaginar que eles são muito menores do que isso.
  • 3:36Aí, eu vou fazer a soma de Riemann à esquerda,
  • 3:39porque nós fizemos isso muitas vezes, mas também poderíamos fazer à direita,
  • 3:43enfim, qualquer outra que a gente quisesse.
  • 3:46Bem, deixa eu fazer 3 retângulos aqui,
  • 3:48com uma aproximação, mas você pode imaginar mais próximos, tudo bem?
  • 3:52Agora, o que seria a área de cada um desses retângulos?
  • 3:55Isso aqui seria uma aproximação do quê?
  • 3:57Bem, esse aqui é f(a),
  • 3:59ou poderíamos dizer V(a).
  • 4:01Então, a velocidade no tempo "a" teria esta altura aqui,
  • 4:05e a distância é esta aqui, que é uma mudança no tempo Δt.
  • 4:10Então, a área do retângulo é a velocidade neste momento
  • 4:14multiplicada pela mudança no tempo.
  • 4:17Agora, o que seria a velocidade neste momento
  • 4:19multiplicada pela variação do tempo?
  • 4:21É exatamente a variação na posição.
  • 4:24Então isso daqui te daria uma boa aproximação
  • 4:26da variação da posição nesse intervalo de tempo.
  • 4:30A área deste retângulo aqui também é uma aproximação
  • 4:33para variação da posição nesse intervalo de tempo.
  • 4:37E aí, você pode imaginar isto aqui como sendo uma aproximação
  • 4:40da variação da posição para o próximo intervalo de tempo.
  • 4:43Agora, se você quer realmente entender a variação da posição
  • 4:47entre os tempos "a" e "b",
  • 4:49você poderia fazer uma soma de Riemann,
  • 4:51e aí chegar a uma boa aproximação.
  • 4:53Para isso, você vai fazer o somatório "i = 1" até "n"
  • 4:58para a soma de Riemann à esquerda.
  • 5:00Mas novamente, poderíamos usar um ponto médio,
  • 5:02um ponto à direita,
  • 5:03enfim, qualquer outro ponto para fazer a soma de Riemann.
  • 5:06Eu vou fazer à esquerda porque eu já coloquei V(t) aqui, tudo bem?
  • 5:10Então, isso aqui seria t₀, que seria "a",
  • 5:13e este é p primeiro retângulo.
  • 5:15Para o primeiro retângulo, você usa a função avaliada em t₀.
  • 5:19Para o segundo, você usa a função avaliada em t₁.
  • 5:23Já fizemos isso em vários outros vídeos.
  • 5:25E então, multiplicamos isto por cada mudança no tempo,
  • 5:29e isso será uma aproximação do nosso total,
  • 5:31onde Δt = (b - a) dividido pelo número de intervalos.
  • 5:36Já sabemos de muitos vídeos que, quando temos a soma de Riemann,
  • 5:40teremos uma boa aproximação para duas coisas.
  • 5:43Como já falamos, para a variação da posição,
  • 5:45mas também será uma aproximação para a nossa área.
  • 5:48Como você pode ver aqui, estamos fazendo uma aproximação da mudança de posição.
  • 5:52Isso também é a aproximação da área abaixo da curva.
  • 5:56Bem, eu espero que isso te satisfaça.
  • 5:58Se você quiser calcular a área abaixo da curva,
  • 6:01é muito fácil fazer isso porque isso aqui é um trapezoide.
  • 6:04Mas mesmo que fosse uma função, daria para fazer da mesma forma.
  • 6:08Afinal, podemos calcular a área abaixo da curva da função da velocidade,
  • 6:12e com isso, nós estaríamos calculando a variação da posição.
  • 6:16Estas duas são as mesmas coisas.
  • 6:19E já sabemos o que fazer para determinar a área abaixo da curva, não é?
  • 6:22Ou seja, para ter exatamente a variação da posição.
  • 6:26Bem, como temos muitos retângulos,
  • 6:28podemos usar o limite como o número de retângulos,
  • 6:31e aí vamos usar o limite quando "n" tende ao infinito.
  • 6:34Lembrando que Δt = (b - a)/n.
  • 6:38Então quando "n" tende ao infinito,
  • 6:41nós vamos ter um Δt infinitamente pequeno.
  • 6:44Uma maneira de pensar isso
  • 6:45é a gente transformar esse Δt em "dt".
  • 6:48Nós já aprendemos a trabalhar com essa notação, não foi?
  • 6:51Esta aqui é uma maneira de pensar em uma integral de Riemann.
  • 6:55Usamos a soma de Riemann à esquerda,
  • 6:57novamente falando, a gente poderia usar a soma à direita,
  • 7:00ou qualquer outra soma de Riemann,
  • 7:02que vai funcionar da mesma forma.
  • 7:04Isso aqui vai ser integral definida indo de "a" até "b" de V(t)dt.
  • 7:10Essa é uma forma de determinar a área abaixo da curva
  • 7:13para a função velocidade,
  • 7:15que será exatamente a variação da posição
  • 7:18entre os tempos "a" e "b".
  • 7:20Ou seja, o limite desta soma de Riemann quando "n" tende ao infinito
  • 7:24é igual à integral definida indo de ''a" até "b" para V(t)dt.
  • 7:30Conseguiu entender essas ideias?
  • 7:31Vamos recapitular aqui.
  • 7:33Nós já descobrimos antes, que a variação da posição entre "a" e "b" é isto aqui.
  • 7:38Então, fica mais interessante,
  • 7:40nós temos uma forma de avaliar esta integral definida.
  • 7:43Conceitualmente, sabemos que isso aqui
  • 7:46corresponde à variação da posição entre os pontos "a"e "b".
  • 7:50Mas a gente descobriu uma forma de determinar exatamente
  • 7:53a variação da posição entre os tempos "a" e "b".
  • 7:56Então, vou escrever isso aqui.
  • 7:58Temos que a integral definida entre "a" e "b" de V(t)dt
  • 8:02é igual a S(b) - S(a).
  • 8:06Sabemos que V(t) é a derivada de S(t)dt,
  • 8:10então, podemos dizer que S(t) é a antiderivada de V(t).
  • 8:14E essa definição, apesar de estar escrita de uma forma um pouco mais tradicional,
  • 8:18eu usei posição e velocidade,
  • 8:20é o segundo teorema fundamental do cálculo.
  • 8:24Bem, e qual é o primeiro?
  • 8:25Bem, a gente já falou sobre ele em outro vídeo.
  • 8:27Esse é um modo muito útil de avaliar integrais definidas
  • 8:30e de encontrar áreas abaixo de curvas.
  • 8:33Agora porque o segundo teorema fundamental do cálculo é tão importante?
  • 8:37Deixe-me reescrever esse teorema de uma forma mais genérica,
  • 8:40da forma que você está mais acostumado a ver em seu livro de Cálculo.
  • 8:43Bem, se queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b" de f(x)dx,
  • 8:49é esta notação aqui que nós vamos utilizar.
  • 8:51Deixe-me desenhar isso aqui para ficar mais claro
  • 8:54que eu estou falando em termos gerais.
  • 8:56Essa aqui será a nossa f(x),
  • 8:58e nós queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b".
  • 9:03Se queremos achar exatamente a área,
  • 9:05nós podemos calcular antiderivada de "f".
  • 9:08Vamos dizer então que F(x) é a antiderivada,
  • 9:12ou uma antiderivada,
  • 9:14porque você pode ter várias coisas diferenciadas apenas por constantes,
  • 9:18então, teremos uma antiderivada de "F".
  • 9:21Então, basta avaliar a antiderivada nos pontos finais e subtrair.
  • 9:26Subtrair pela antiderivada avaliada no ponto inicial.
  • 9:30Então, você tem "F(b) - F(a)".
  • 9:34Assim, se buscamos a área exata abaixo da curva,
  • 9:38basta calcular sua antiderivada avaliada no ponto final,
  • 9:42e a partir daí, subtrair com a antiderivada avaliada no ponto inicial.
  • 9:47Bem, eu espero que isso faça sentido para você,
  • 9:49e nós vamos aplicar um pouco mais desse teorema nos próximos vídeos.