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Transcrição de Proof of p-series convergence criteria

  • 0:00RKA8JV - Você pode reconhecer que nós temos aqui, em amarelo,
  • 0:03a forma geral de uma série "p".
  • 0:05O que vamos fazer, neste vídeo,
  • 0:07é ver quais são as condições necessárias
  • 0:10para que essa série "p" seja convergente.
  • 0:14E para que possa ser uma série "p",
  • 0:16por definição, "p > 0".
  • 0:20Então, vamos entender um pouco sobre
  • 0:22estes gráficos aqui.
  • 0:24Eles vão nos ajudar a entender quando esta série "p" converge.
  • 0:28Nós temos que neste gráfico,
  • 0:32a curva pode ser definida como "y = 1/xᵖ"
  • 0:37Eu estou dizendo em termos gerais,
  • 0:39porque ''p" é maior do que zero.
  • 0:41Nós sabemos que vai ser uma função decrescente assim.
  • 0:44Mais uma vez, nós temos aqui que "y = 1/xᵖ".
  • 0:51E agora, o que temos nesta parte sombreada em relação ao tempo,
  • 0:57acima do eixo "x" positivo, é a integral,
  • 1:00a integral de 1 até o infinito,
  • 1:03a integral imprópria do "x" do "p", "dx",
  • 1:06de modo que nós a temos a área
  • 1:08nesta parte sombreada em branco em ambos os gráficos.
  • 1:11O que nós queremos, esperançosamente,
  • 1:14é ver que há uma relação de convergência ou divergência
  • 1:18entre essa série "p"
  • 1:20e esta integral bem aqui,
  • 1:22porque quando olhamos para este gráfico,
  • 1:24vemos que esta série "p"
  • 1:26pode ser visualizada
  • 1:28como uma aproximação de Riemann
  • 1:29superior desta área.
  • 1:31O que eu quero dizer com isso?
  • 1:33Bem, vamos pensar sobre a área deste primeiro retângulo.
  • 1:37A largura é 1 e a altura é 1/1ᵖ.
  • 1:41Então este seria o primeiro termo dessa série "p",
  • 1:45e isso seria apenas as escalas do eixo "x" e do eixo "y',
  • 1:49que não são os mesmos.
  • 1:51E este outro retângulo aqui, a sua área
  • 1:53seria 1/2ᵖ,
  • 1:56e esta área seria de 1/3ᵖ.
  • 1:59Assim, a soma das áreas desses retângulos,
  • 2:02é o que essa série "p" é.
  • 2:04E você pode ver que a área desses e retângulos estão cobrindo
  • 2:08mais do que a área sob a curva,
  • 2:10e assim, sabemos que a área sob a curva,
  • 2:13que vai ser maior do que zero,
  • 2:15esta série "p", vai ser maior do que esta integral,
  • 2:18maior do que a área sob a curva.
  • 2:21Mas se adicionarmos 1 para a área sob a curva,
  • 2:24agora nós não estamos falando apenas sobre a área branca,
  • 2:28nós estamos também falando sobre esta área vermelha aqui.
  • 2:31Então, a nossa série "p",
  • 2:33vai ser menos que isto,
  • 2:35porque o primeiro termo na nossa série "p" é igual a 1,
  • 2:39e em seguida, todos os outros termos,
  • 2:42você pode ver como a aproximação de Reimann menor da curva.
  • 2:46Você pode ver que eles se encaixam sob a curva,
  • 2:49e eles deixam alguma área livre,
  • 2:52então, isto vai ser menor do que essa expressão aqui.
  • 2:55Agora, vamos pensar sobre o que acontece.
  • 2:57Se nós sabemos que esta bem aqui diverge,
  • 3:00assim, se esta integral imprópria diverge,
  • 3:02ela não converge para um valor finito,
  • 3:05bem, a série ''p" é maior do que isso.
  • 3:08Por isso, se este diverge, em seguida,
  • 3:10também vai divergir.
  • 3:12De forma similar,
  • 3:13se este converge, a mesma integral sobre este valor aqui,
  • 3:17se isso converge, ela vai ter um valor finito.
  • 3:20Assim, mais um está a convergir,
  • 3:22de modo que,
  • 3:23ou a série ''p" também deve convergir ou ela deve ir para um valor finito.
  • 3:28Esta é apenas um teste da integral.
  • 3:31Quando nós pensamos sobre teste de convergência e divergência,
  • 3:35só estou certificando de que nós vamos ter
  • 3:37um agradável entendimento conceitual,
  • 3:39e não apenas aplicando cegamente o teste da integral.
  • 3:43Você pode também pensar
  • 3:44de outra forma se a série "p" converge.
  • 3:46Então com certeza, esta integral vai convergir,
  • 3:50e se a série "p" diverge,
  • 3:52então, com certeza esta expressão bem aqui vai divergir,
  • 3:55minhas integrais divergem.
  • 3:57Assim, podemos dizer que a série "p" converge
  • 4:00se, e somente se, esta integral bem aqui convergir.
  • 4:05Então, descobrir as condições para que "p" faça de uma série "p" convergente,
  • 4:10então, vamos lá para baixo para ver
  • 4:12alguns elementos que vão nos ajudar
  • 4:15a pensar sobre o que tem que ser verdadeiro
  • 4:17para que uma integral convirja.
  • 4:19Então eu vou reescrevê-la aqui.
  • 4:21Nós temos integral de 1 para o infinito,
  • 4:24uma integral imprópria, ao longo de 1/xᵖ·dx.
  • 4:31Esta é a mesma coisa que o limite de "M"
  • 4:34que se aproxima do infinito,
  • 4:36e a integral de 1 até "M" de x⁻ᵖ·dx.
  • 4:42Vamos nos focar nisto aqui.
  • 4:44Basta lembrar que vamos ter de tomar o limite
  • 4:47de quando o "M" se aproxima do infinito,
  • 4:49eu não quero ter que continuar a escrever isso outra e outra vez.
  • 4:54Mas vamos pensar sobre o que é isso.
  • 4:56Há um par de condições.
  • 4:57Nós sabemos que "p > 0",
  • 5:00mas há duas situações bem aqui.
  • 5:02Há uma situação em que "p = 1".
  • 5:05Se "p = 1",
  • 5:07este é apenas o integrante de 1/x.
  • 5:12Então, esta coisa aqui vai ser a integral do [lnx].
  • 5:17E nós vamos passar de 1 para "M".
  • 5:20Então, este seria o logaritmo natural de "M"
  • 5:23menos o logaritmo natural de 1.
  • 5:26Bem, "e" elevado à potência zero é 1, menos o logaritmo natural de 1.
  • 5:31Mas "ln1"
  • 5:33é apenas zero.
  • 5:34Portanto, neste caso especial,
  • 5:36acho que podemos dizer, quando o "p = 1",
  • 5:39essa integral de 1 para "M" vem para baixo.
  • 5:43Agora, vamos pensar sobre a situação onde "p" não é igual a 1.
  • 5:47Bom, nós estamos com uma espécie de
  • 5:50que aprendemos em diferenciação básica.
  • 5:52Então, nós vamos incrementar o expoente,
  • 5:56de modo que x⁻ᵖ + 1,
  • 6:00e podemos até mesmo escrever que,
  • 6:02como x⁻ᵖ,
  • 6:06que é a mesma coisa com um "p" negativo mais 1,
  • 6:10então poderíamos dividir por isso,
  • 6:12"1 - p".
  • 6:13E nós estamos indo de 1 para "M",
  • 6:15por isso, este valor aqui vai ser igual a:
  • 6:18(M¹⁻ᵖ/1-p) - (1¹⁻ ᵖ/1-p).
  • 6:28Então, agora, vamos indicar os limites.
  • 6:31Lembre-se desta integral.
  • 6:33Não vamos pegar a antiderivada ou integral definida aqui.
  • 6:37Mas depois, queremos levar o limite
  • 6:39como "M"
  • 6:40se aproxima do infinito, do "lnM".
  • 6:44Bem, se "M" vai de forma ilimitada ao infinito,
  • 6:47o logaritmo natural de que ainda está em curso
  • 6:51também irá para o infinito.
  • 6:52Então, quando "p = 1",
  • 6:55essa coisa não irá convergir,
  • 6:57essa coisa é apenas ilimitado.
  • 6:59Então, quando "p = 1", a série diverge,
  • 7:03então, nós sabemos disso.
  • 7:04Vamos pensar sobre isso,
  • 7:06o limite de quando "M'' se aproxima do infinito
  • 7:09desta expressão bem aqui.
  • 7:11A única parte que realmente é afetada pelo limite é esta parte que tem o "M".
  • 7:16Então, poderíamos tomar este sobre "1 - p" fora deste.
  • 7:21Poderíamos dizer 1/(1 - p)
  • 7:24vezes o limite quando "M" se aproxima do infinito de M¹⁻ ᵖ
  • 7:30e depois, separadamente, podemos subtrair
  • 7:331¹⁻ ᵖ
  • 7:35para qualquer expoente, é apenas 1/(1 - p).
  • 7:40Isso está certo?
  • 7:41Sim, não importa o expoente que eu coloquei aqui,
  • 7:441 para qualquer expoente vai ser 1.
  • 7:47Uma coisa interessante sobre se converge ou não,
  • 7:50é esta parte da expressão.
  • 7:52E tudo vai depender se este expoente é positivo ou negativo.
  • 7:56Se "1 - p" é maior do que zero,
  • 8:00se eu vou ao infinito e estou tendo,
  • 8:02nessa coisa, um expoente positivo,
  • 8:05então, isso vai divergir.
  • 8:06Nesta situação, diverge,
  • 8:09adicionar "p" para ambos os lados.
  • 8:11É a mesma coisa que "1 > p",
  • 8:14ou "p" sendo menor do que 1,
  • 8:16então, nós vamos divergir.
  • 8:18Até agora, sabemos que "p" vai ser maior do zero,
  • 8:20e vimos, se "p" é 1 ou se é menos de 1,
  • 8:23vamos divergir.
  • 8:24Mas se este expoente bem aqui é negativo,
  • 8:27se "1 - p" é menor do que zero,
  • 8:31bem, vamos pensar sobre isso.
  • 8:32Então, isto vai ser 1/M,
  • 8:35para alguns expoentes positivos.
  • 8:38É uma maneira de pensar sobre isso.
  • 8:40Assim, como "M" se aproxima do infinito,
  • 8:42esta coisa toda vai se aproximar de zero,
  • 8:45portanto, esta é realmente uma situação
  • 8:47onde a série converge,
  • 8:49onde chegamos a um valor finito.
  • 8:52Então, adicionamos "p" para ambos os lados,
  • 8:54temos que "1 < p", que converge.
  • 8:58Então, você tem isso. Nós estabelecemos.
  • 9:01Esta integral vai convergir
  • 9:03apenas em situações em que "p > 1".
  • 9:08"p > 1", converge,
  • 9:10e se zero é inferior a "p", é menor ou igual a 1,
  • 9:14então diverge.
  • 9:15E esses são a exata causa disso.
  • 9:18Então a nossa série "p" converge se, e se somente se a integral convergir.
  • 9:24E assim, essas mesmas restrições exatas se aplicam à nossa série "p" original.
  • 9:30A nossa série "p" original
  • 9:32converge apenas na situação onde
  • 9:35"p > 1",
  • 9:37então, ela converge.
  • 9:39Se zero é inferior a "p",
  • 9:41é menor ou igual a 1,
  • 9:43então a série diverge.