Regras básicas de derivação (Parte 2)

RKA2G - No vídeo passado, eu comecei a conversar com você a respeito das propriedades da derivada. Inclusive, eu mostrei que existem duas formas diferentes de calcular derivada: uma se refere a um ponto específico e outra de uma forma mais geral. A partir daí, nós vimos a primeira propriedade, que é quando nós temos uma função, em que essa função é constante e a gente quer calcular a derivada dela. Todas as vezes que a função for constante, a derivada dela vai ser igual a zero. Até fizemos uma análise gráfica para chegar a essa conclusão e também vimos aqui uma forma algébrica. As duas formas nos mostraram que isto, de fato, é verdade. Que, quando a gente tem uma função constante, a derivada dessa função vai ser igual a zero. A partir de agora, também vamos ver mais duas propriedades que vão ser muito importantes para todo o seu estudo com o cálculo. Na verdade, elas vão ser muito importantes para toda a sua vida acadêmica. Porque, de uma forma ou de outra, todas as vezes que você tiver utilizando a derivada e calculando a derivada de alguma coisa, praticamente tudo vai sair a partir dessas propriedades. Então, é importante que você saiba bem essas três propriedades que vamos ver (na verdade duas, porque uma a gente já viu aqui). A segunda propriedade em relação às derivadas diz que, se a gente tem uma função f(x) em que essa função f(x) seja igual a uma constante vezes uma função g(x), a derivada dessa função, ou seja, f'(x), vai ser igual a essa constante vezes a derivada de g(x). A gente poderia fazer uma análise gráfica para ter certeza disso. De fato, você vai ver que, se calcular a inclinação de uma reta tangente em algum ponto e se, por acaso, você dobrar a função, vai encontrar o dobro da inclinação da reta tangente naquele "x". Ou seja, se você dobra ou triplica a função, a derivada dessa função também vai ser dobrada ou triplicada. Também podemos fazer uma análise algébrica utilizando qualquer uma das duas derivadas, qualquer uma das duas formas de calcular a derivada pela definição. Vamos usar esta segunda porque é uma forma mais geral, mas poderíamos fazer desta forma também. Então, vamos lá. Nós vamos ter aqui que f'... Vou subir um pouco aqui. Nós vamos ter que f'(x) vai ser igual ao limite, com "h" tendendo a zero, de f(x + h), menos f(x), isso sobre "h". Esta é uma forma de calcular a derivada pela definição, ou seja, pelo limite. Como sabemos, f(x) é igual a "k" vezes g(x). Então, vamos ter que isto é igual ao limite, com "h" tendendo a zero, de f(x + h). Mas f(x) não é igual a "k" vezes g(x)? Então, vamos ter que este f(x + h) vai ser igual a "k" vezes g(x + h), menos f(x), que é igual a "k" vezes g(x). Tudo isso dividido por "h". Isto vai ser igual... O que podemos fazer aqui agora? Podemos colocar este "k" em evidência. Assim, vamos ter que isto é igual ao limite, com "h" tendendo a zero, de "k" vezes g(x + h), menos g(x), sobre "h". Pelas propriedades do limite, quando a gente tem um limite de um valor constante multiplicando uma função, isso vai ser igual ao valor constante multiplicando o limite dessa função. Podemos colocar este "k" para fora do limite, assim, vamos ter que tudo isto vai ser igual a "k" vezes o limite, com "h" tendendo a zero, de g(x + h), menos g(x), dividido por "h". Bem, mas esta parte a gente já conhece. O limite de uma função em x + h, menos o limite dessa função em "x" dividido por "h", é igual à derivada dessa função. Então, isto vai ser igual a "k" vezes g'(x). Desta forma, conseguimos demonstrar que, quando nós temos uma função f(x) em que essa função é igual a "k" vezes g(x), a derivada dessa função vai ser igual a "k" vezes a derivada da outra função. A terceira propriedade, que também é muito importante, diz que, quando nós temos uma função f(x) em que essa função é igual à soma de outras duas funções, ou seja, g(x) mais uma função j(x), caso a gente queira calcular a derivada dessa função, ela vai ser igual à soma das derivadas das outras funções. Vai ser g'(x) + j'(x). Então, temos que, quando uma função é igual à soma de outras duas funções e a gente queira calcular a derivada dessa função, basta somar a derivada das outras duas funções. Vamos fazer uma demonstração também desta propriedade, utilizando a derivada pela definição, calculando a derivada através do limite. Vamos lá, nós queremos calcular a derivada desta função f(x). Ou seja, queremos f'(x). Para calcular essa derivada, basta aplicar o limite, com "h" tendendo a zero, de f(x + h). Mas quem é f(x)? Não é g(x) + j(x)? Então, vamos ter aqui: g(x + h), mais j(x + h). Menos f(x), então, menos g(x) + j(x). Claro, a gente precisa colocar isto entre parênteses, já que tudo isto é f(x). E tudo isto dividido por "h". Ok, vamos fazer agora com calma. A gente pode reorganizar tudo isto colocando g(x + h) com g(x) e j(x + h) com j(x). Assim, vamos ter o limite, com "h" tendendo a zero, de g(x + h), menos g(x) (afinal de contas, nós temos um sinal de menos aqui), mais j(x + h), menos j(x) (também por causa deste sinal de menos aqui). Tudo isto dividido por "h". Um detalhe interessante: como nós temos aqui o g( x + h) - g(x) e aqui o j(x + h) - j(x), podemos separar isto para visualizar melhor. Então, vamos ter, na verdade, toda esta parte com "g" dividido por "h" e toda esta parte com "j" dividido por "h". Aí fica fácil aplicar as propriedades do limite, porque a gente sabe que, quando temos o limite da soma de duas funções, isso vai ser igual à soma dos limites dessas funções. Por exemplo: aqui nós temos um limite de g(x + h) - g(x), sobre "h", mais j(x + h) sobre j(x), sobre "h". Isto vai ser igual ao limite, com "h" tendendo a zero, de g(x + h), menos g(x), sobre "h", mais o limite, com "h" tendendo a zero, de j(x + h), menos j(x), isto sobre "h". Entendeu a ideia? Quando nós temos o limite da soma de duas funções, isso vai ser igual à soma dos limites dessas funções. E observando a definição da derivada, isto tudo é igual a g'(x). E tudo isto é igual a j'(x). Então, a derivada desta função f(x), quando a função f(x) é igual a g(x) + j(x), vai ser igual a g'(x), mais j'(x). Ou seja, a soma das derivadas dessas funções. Estas são propriedades interessantes que, como eu já falei, você vai levar para a sua vida toda. Então, sempre que você for calcular alguma derivada, lembre-se sempre dessas três propriedades. A primeira é que, quando nós temos uma função que é constante, a derivada dessa função vai ser igual a zero. A segunda é que, quando a gente tem uma constante multiplicando uma função, a derivada dessa função vai ser igual à constante vezes a derivada da função. E, quando a gente tem a soma de duas funções, a derivada dessa função vai ser igual à soma das derivadas dessas funções. Guarde estas propriedades, porque elas serão muito importantes para você.