Derivada da inversa da tangente

RKA14C Neste vídeo, vamos obter a derivada do arco tangente de um determinado valor. A forma de escrever o arco tangente pode ser escrita por extenso ou, como você encontra nas calculadoras, como tg⁻¹ x. Isso significa arco tangente. O que nós sabemos? Nós sabemos que: dtg x/dx = sec²x, ou 1/cos²x. Então, como vamos achar a derivada do arco tangente de x? Podemos chamar de y o arco tangente de x. Então, nós temos que tg y = x, porque a tangente do tg⁻¹x é o próprio x. Derivando em ambos os lados, nós vamos ter: dtg y/dx = d(x)/dx. Ora, aqui vamos ter que aplicar a regra da cadeia. Vamos fazer a derivada da tangente de y em relação a y, o que vai dar: 1/cos² y vezes dy/dx. Isso vai ser igual a d(x)/dx, que vai ser 1. Então, multiplicando o cosseno, passando para o outro lado, nós temos dy/dx = cos² y. Mas queremos colocar isso em função de x. Como podemos fazer isso? Vamos ver qual é a relação que ele tem com a tangente de y, pois sabemos que tg y = x. Então, podemos fazer o seguinte, nós podemos dizer que: dy/dx = cos² y/1. Ora, mas quem é 1? 1 = sen² + cos². Ficamos com: cos² y / sen² y + cos² y. Se dividirmos ambos os lados por cos² y, dividirmos este lado por cos² y, este lado aqui também por cos² y, o que nós vamos ter? Vamos ter dy/dx igual a 1 sobre: sen² y/cos² y, mais... cos² y/cos² y = 1. Mas, isto aqui, o que é? Isso é tg² y. Portanto, podemos escrever dy/dx como 1 / tg² y + 1. Ora, mas quem é tg y? Tangente de y é x. Portanto, ficamos com a derivada de dy/dx igual a 1 / x² + 1. Isso significa que: dtg⁻¹ x/dx = 1 / x² + 1. Terminamos!