Inequações de uma etapa: exemplos

RKA - Nesse vídeo, quero mostrar algumas desigualdades que envolvem multiplicação e divisão por números positivos e negativos, e você vai ver que isso é um pouco mais complicado do que simplesmente somar e subtrair números, como vimos no último vídeo. Também quero introduzir alguns outros tipos de vídeos de notações, para descrever o conjunto de soluções de uma desigualdade. Então, vamos fazer alguns exemplos. Vamos dizer que eu tenha -0,5x menor ou igual a 7,5. Agora, se isso era uma desigualdade, seu impulso natural é dizer: vamos dividir os dois lados pelo coeficiente nos termos de x. E isso uma coisa completamente legítima de se fazer, dividir os dois lados por -0,5. A coisa importante que você precisa perceber, no entanto, quando faz isso com uma desigualdade, é que quando multiplica ou divide os dois lados da equação por um número negativo, você inverte a desigualdade. Você troca a posição da desigualdade, pensa dessa forma, vou fazer um exemplo simples aqui. Se eu te dissesse que 1 é menor que 2, acho que você concordaria com isso, 1 é definitivamente menor que 2. O que acontece se eu multiplicar os dois lados disso por -1? -1 em relação a -2, bom, de repente -2 negativo é menor do que -1. Então, aqui -2 é na verdade menor que -1. Agora, isso não prova, mas acho que vai te deixar confortável para trocar o sinal. Se alguma coisa é maior, quando multiplica ou divide por um negativo nos dois lados da desigualdade, a gente deve inverter o sinal da inadequação. Então, é por isso. Se fossemos multiplicar os dois lados dessa equação, ou dividir os dois lados da equação por um número negativo, precisaríamos trocar o sinal. Vamos multiplicar os dois lados dessa equação. Dividir por 0,5 é a mesma coisa que multiplicar por 2, nosso objetivo todo é ter um coeficiente 1 ali, então vamos multiplicar os dois lados dessa equação por -2. Temos -2 vezes 0,5 negativo. E você pode dizer: como conseguiu esse 2 aqui? Meu cérebro está simplesmente pensando como que posso multiplicar -0,5 para obter 1, e -0,5 é a mesma coisa que -1/2, o inverso disso é -2. Então, estou multiplicando por -2 nos dois lados da equação, e tenho 7,5 do outro lado, vou multiplicar aquele por -2 também. E lembre-se: quando multiplica ou divide os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, troca o sinal da desigualdade. Você tinha menor ou igual? Agora vai ser maior ou igual. O lado esquerdo -2 vezes menos -0,5 é somente 1. Você tem x maior ou igual que 7,5 vezes -2, é -15, que é nosso conjunto solução. Qualquer "x" que seja maior ou igual a -15 vai satisfazer a equação. Desafio você a tentar. Por exemplo, zero vai dar certo, zero é maior do que -15, mas tente algo como -16 -16 não vai dar certo, -16 vezes -0,5 é 8, que não é menor do que 7,5. O conjunto solução são todos os "x", deixa eu desenhar uma reta numérica aqui, maior ou igual do que -15. É -15 ali, talvez seja -16, aqui -14, maior ou igual a -15 é a solução. Agora, você também pode ver o conjunto solução de desigualdades escrito em notação de intervalo, e notação de intervalo leva um tempo para se acostumar. Queremos incluir -15, então o limite inferior ao nosso intervalo é -15. E colocar esses colchetes aqui, significa que vamos incluir -15, o conjunto inclui o limite inferior, inclui -15, e vamos da direita, até o infinito. Todo o caminho para o infinito, e colocamos parênteses aqui. Parênteses, normalmente significam que você não está incluindo o limite superior, você também faz isso para o infinito, porque infinito realmente não é o número normal. Você não pode simplesmente dizer: "Ah, eu tô no infinito!" Você nunca está no infinito, então é por isso que coloca os parênteses, mas os parênteses tendem a significar que você não inclui aquele limite, mas também usa com o infinito. Então, isso, isso e isso, são exatamente as mesmas coisas. Às vezes, pode também ver conjunto de notações onde a solução para isso, eles podem dizer que "x" pertence ao conjunto dos números reais, tal que, aquela pequena barra significa tal que, "x" é maior ou igual a -15. Essas chaves significam que o conjunto de todos os números reais, ou conjunto de todos os números, onde "x" é um número real, que "x" é maior ou igual -15. Tudo isso, isso e isso, são coisas equivalentes. Vamos manter isso em mente e fazer alguns exemplos, tá bom? Vamos dizer que tenhamos 75x maior ou igual a 125. Aqui, podemos só dividir os dois lados por 75 e, desde que 75 seja um número positivo, não tem que alterar o sinal da desigualdade. Então, você obtém "x" maior ou igual a 125/75 e se dividir o numerador e um denominador por 25, isso é igual a 5/3, então "x" é maior ou igual a 5/3, ou poderíamos escrever o conjunto de solução, sendo incluído 5/3, ao infinito. E, mais uma vez, se fosse colocar isso em uma reta numérica, 5/3 é o que? É 1 e 2/3, então você tem: 0, 1, 2, e 1 e 2/3 ficará em torno disso, vamos incluir isso. Aquilo ali é 5/3, e tudo que é maior ou igual será incluído no nosso conjunto de solução. Vamos a outro. Digamos que tenhamos (x/-3) maior do que (-10/9). Então, queremos só isolar o "x" à esquerda. Vamos multiplicar os dois lados por menos -3, certo? O coeficiente, você poderia imaginar, é -1/3, então queremos multiplicar pelo inverso, que deveria ser -3. Então, se multiplicar os dois lados por -3, você obtém -3 vezes, esse poderia reescrever como sendo 1/3 de "x" negativo, e desse lado tenho (-10/9) vezes -3. E a desigualdade irá mudar porque estamos multiplicando ou dividindo por um número negativo. O sinal da desigualdade irá mudar, vai de maior para a menor que. Então, o lado esquerdo da equação se torna um "x", essa era toda a questão, isso é cancelado com isso, o negativo é cancelado, "x" é menor que, e aí você tem um negativo vezes um negativo, será positivo. Se dividir o numerador e o denominador por 3, obtém 1 e 3, então "x" é menor que 10/3. Se fosse escrever isso em uma notação de intervalo, o conjunto de solução será: o limite superior será 10/3, e isso não vai incluir 10/3, isso não é menor ou igual, então vamos colocar parênteses aqui. Note: aqui foi incluído 5/3, colocamos um colchete, aqui não estamos incluindo 10/3, colocamos um parêntese. Vai de 10/3, todo o caminho para menos infinito, tudo menor que 10/3 é nosso conjunto de solução. E vamos desenhar isso. Vamos desenhar o conjunto de solução. Então 10/3, podemos ter 0, 1, 2, 3, 4. 10/3 é 3 e 1/3, então isso pode ficar, deixa fazer isso de uma cor diferente, pode ficar aqui. Não vamos incluir isso, é menor que 10/3, 10/3 não faz parte do conjunto solução. É 10/3 ali, e tudo é menor do que isso, mas não está incluindo 10/3, está no nosso conjunto de solução. Vamos fazer mais um. Mais um. Digamos que a gente tenha (x/-15) menor que 8. Então, mais uma vez vamos multiplicar os dois lados dessa equação por -15. -15 vezes (x/-15), aí você tem um 8 vezes -15. E quando você multiplica os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, ou divide os dois lados por um número negativo, você troca o sinal da desigualdade. É menor que, você troca isso por maior que. E agora, esse lado esquerdo se torna um "x", porque esses caras são cancelados, "x" é maior que, 8 vezes 15, é 80 mais 40, é 120, então -120. 80 mais 40, certo? Sim, -120. Ou, você poderia escrever o conjunto solução como, começando com um -120, mas não estamos incluindo -120, não temos um sinal de igual aqui, indo todo o caminho até o infinito. E se fôssemos colocar isso no gráfico, deixa eu desenhar a reta numérica, vou fazer rapidinho, vamos dizer que é -120, talvez zero fique aqui, seria -121, seria -119, não vamos incluir o -120, porque não temos um sinal de igual ali, mas será tudo maior que -120. Todas essas coisas que estou colocando em verde satisfazem a desigualdade. E você pode até tentar, zero dá certo? 0/15 é zero, definitivamente é menor que 8. Quer dizer, não prova isso pra você, mas poderia tentar qualquer um desses números e eles dariam certo. De qualquer forma, espero que isso tenha te ajudado. Até o próximo vídeo!