Sistemas de equações com eliminação: os cupcakes do rei

RKA - Depois de ter atravessado a ponte dos Trasgos e salvado o príncipe ou princesa, você os devolve ao pai deles, o rei. E ele está tão feliz que você lhe devolveu o seu filho ou sua filha, que quer fazer um lanche em sua homenagem. Mas ele tem um pequeno enigma antes de fazer o lanche. Ele quer descobrir quantos cupcakes deve encomendar, pois não quer desperdiçar, mas ele quer ter certeza de que todos terão o suficiente para comer. E você diz: "O que está acontecendo aqui?", e ele diz: "Bom, eu sei que adultos comem um número diferente de cupcakes em relação às crianças, e sei que no meu reino um adulto sempre vai comer a mesma quantia e uma criança vai sempre comer a mesma quantia.". Você diz: "Rei, bem, que informação você pode me dar, talvez eu possa te ajudar um pouco, você está se sentindo muito confiante depois dessa situação do Trasgo.", e ele diz: "Bom, eu sei que na última festa tivemos 500 adultos e 200 crianças e, juntos, eles comeram 2900 cupcakes. Você diz: "Tudo bem, isso é interessante, mas eu acho que vou precisar de mais informações. Você deu festas antes dessa?". E o rei diz: "Claro que sim, eu gosto de dar festas.". "Bem, e o que aconteceu na festa anterior a essa?". Ele diz: "Bom, também tivemos 500 adultos e 300 crianças.". E você diz: "Quantos cupcakes foram comidos nessa festa?". E ele diz: "Bom, sabemos que foram 3100 cupcakes.". Então, você tem um pressentimento que um pouco de álgebra pode ser usada aqui. Você diz: "Bom, deixa eu ver o que precisamos descobrir.". Precisamos descobrir quantos cupcakes que, em média, um adulto vai comer. Portanto, precisamos descobrir o número de cupcakes consumidos por adulto. Também precisamos descobrir o número de cupcakes consumidos por criança. Essas são as duas coisas que precisamos descobrir porque, daí, podemos saber quantos adultos e crianças virão ao próximo "brunch" que será feito em sua homenagem, e ter o exato número de cupcakes. Essas são as coisas que estamos tentando descobrir e não sabemos o que são. Vamos definir algumas variáveis que representam essas coisas. Então, vamos definir "a" para adultos. Vamos definir "a" igual ao número de cupcakes que, em média, cada adulto come, e "c" para crianças. Então, "c" é o número de cupcakes, em média, para cada criança. Com essa informação, vejamos como podemos representar o que o rei nos disse algebricamente. Vamos pensar na informação em laranja antes. Como podemos representar isso algebricamente? Vamos pensar em quantos cupcakes os adultos comeram naquela festa. Tínhamos 500 adultos e, em média, cada um comeu exatamente "a" cupcakes. Então, o número total de cupcakes que os adultos comeram foi 500 vezes "a". Quanto as crianças comeram? Mesma lógica, tínhamos 200 crianças e cada uma comeu "c" cupcakes. Então, 200 vezes "c" é o número total de cupcakes que as crianças comeram. Quanto eles comeram no total? É o número total que os adultos comeram mais o número total que as crianças comeram, que é 2900 cupcakes. Vamos aplicar a mesma lógica à festa azul, bem aqui. Essa informação em azul. Como podemos representar isso algebricamente? Novamente, qual o total de cupcakes que os adultos comeram? Tínhamos 500 adultos e cada um comeu "a" cupcakes, que é uma incógnita agora. E quanto às crianças? Tínhamos 300 crianças e cada uma comeu "c" cupcakes. Então, se somarmos todos os cupcakes que os adultos comeram mais todos os cupcakes que as crianças comeram, ficamos com 3100 cupcakes. Começou a ficar interessante. Temos duas equações, um sistema de duas equações com duas incógnitas, e sabe, por sua experiência com o Trasgo, que deve ser capaz de resolver. Você poderia resolver graficamente, como antes, mas agora sente que quer outra ferramenta em seu kit que, na verdade, é uma aplicação da álgebra que já conhece. Então, pense um pouco em como pode fazer isso. Vamos reescrever essa primeira equação aqui. Temos 500a, mais 200c, igual a 2900 cupcakes. Agora, seria bom se nos livrássemos desse 500a de alguma forma. Talvez você diga: "Deixa só eu subtrair 500a.". Bom, quero subtrair 500a. Mas se subtraísse 500a do lado esquerdo, também teria que subtrar 500a do lado direito. Portanto, o "a" não desapareceria, só ficaria do lado direito, e ainda teria uma equação com duas incógnitas, o que não ajuda muito. Mas vê algo interessante e diz: "Bom, isso aqui é um 500a. E se subtraísse 500a e esse 300c?" Se subtraísse o 500a e o 300c do lado esquerdo? Você diz: "Mas em que isso ajudaria?". Terá que fazer o mesmo do lado direito e, então, terá um "a" e um "c" do lado direito. E você diz: "Espere aí! Pelo jeito, está falando com você mesmo!". Espera um segundo. Eu estou subtraindo o lado esquerdo desta equação, mas esse lado é a mesma coisa que o lado direito. Então, aqui posso subtrair 500a e 300c, e poderia fazer 500a e subtrair 300c aqui. Mas sabemos que subtrair 500a e 300c é o mesmo que subtrair 3100. Deixa eu esclarecer. Isso é 500a menos 300c. É a mesma coisa que subtrair 500a mais 300c, e sabemos que 500a mais 300c é, exatamente, 3100. Isso é 3100. É o que nos disse a segunda informação. Então, em vez de subtrair 500a menos 300c, podemos apenas subtrair 3100. Deixa eu fazer isso, é legal. Deixa eu limpar aqui, vamos limpar aqui. Em vez de fazer isso, posso subtrair o mesmo valor que sabemos que é 3100. Subtrair 3100. Olhando assim, parece que estamos subtraindo essa equação debaixo da equação de cima, mas, na verdade, estamos apenas subtraindo o mesmo dos dois lados. Isso é álgebra bem básica, mas se fizermos isso, vamos ver o que acontece. No lado esquerdo, 500a menos 500a, esses se cancelam, 200c menos 300c dá - 100c. No lado direito, 2900 menos 3100 é -200. Agora, temos uma equação com uma incógnita e sabemos como resolver isso. Podemos dividir ambos os lados por -100, esses se cancelam e, então, fica aqui, ficamos com 1 mais 2. "c" é igual a +2. Então, resolvemos uma das incógnitas. Cada criança comeu, em média, 2 cupcakes. Então, "c" é igual a 2. Como podemos descobrir quanto vale "a"? Agora, podemos pegar essa informação, voltar para qualquer uma dessas e descobrir quanto "a" deve valer. Vamos voltar para laranja, bem aqui, e descobrir quanto deve valer "a". Então, tínhamos 500a mais 200c, mas sabemos quanto é "c". "c" é 2. Então, é 200 vezes 2, igual a 2900. Agora, temos apenas que calcular "a", uma equação com uma incógnita. Então, temos 500a, 200 vezes 2 é 400, é igual a 2900. Podemos subtrair 400 dos dois lados da equação, vamos lá, subtrair 400 e ficamos com, isso se cancela, e no lado esquerdo temos 500a, isso é demais, estamos na reta final, no lado direito temos 2500. 500a é igual a 2500, podemos dividir os dois lados por 500 e ficamos com, 2500 dividido por 500 é 5. "a" é igual a 5. E terminamos, resolvemos o enigma do rei. Cada criança, em média, comeu 2 cupcakes e, cada criança comeu 2 cupcakes e cada adulto vai comer 5 cupcakes. "a" é igual a 5. Então, com base em quanto adultos e crianças irão ao lanche em sua homenagem, você agora sabe exatamente o número de cupcakes que o rei precisa encomendar.