Pequeno teorema de Fermat

RKA10GM Bob descobriu algo interessante enquanto fazia brincos coloridos de miçangas para sua loja. Ele sabe que seus clientes gostam de variedades, então resolveu fazer todos os tipos possíveis de combinação para cada tamanho de brinco. Começando com o tamanho de três miçangas, ele começou a organizar todas as combinações possíveis de miçangas. Cada brinco começa com uma fileira de miçangas que são unidas pelas pontas até formar um pequeno conjunto. Em primeiro lugar, ele se pergunta: quantas fileiras diferentes posso fazer? Se temos duas cores e três miçangas, há três opções para cada uma das cores e 2 vezes 2 vezes 2 é igual a 8, que é o número de possíveis fileiras diferentes. Então, Bob retira as fileiras que só têm uma cor, já que ele só quer fazer brincos coloridos. Ele cola todas umas nas outras, e acha que vai fazer seis brincos diferentes dessa forma, mas uma coisa acontece: ele não consegue mais diferenciar os brincos uns dos outros. Acontece que há apenas dois modelos de brincos, porque cada modelo consiste em um par de miçangas idênticas. Note que há sempre uma correspondência entre os modelos de brinco quando mudamos sua posição fazendo rotações. Dessa forma, o tamanho desse grupo deve ser baseado em quantas rotações são necessárias para voltar ao modelo original, ou de quantas rotações ele precisa para fechar um ciclo. Assim, o conjunto inicial de todas as fileiras de miçangas pode ser dividido em dois tipos de modelos, com três miçangas cada um. Será que acontece o mesmo para outros tamanhos de brinco? Seria ótimo para Bob, já que ele quer fazer sempre a mesma quantidade de cada modelo. Então, ele testa as combinações de quatro miçangas. Primeiro, ele monta todas as fileiras possíveis. Com quatro miçangas na fileira ele pode escolher a mesma cor duas vezes para cada fileira, então 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 é igual a 16. Ele remove novamente as fileiras de uma cor só e cola as miçangas umas nas outras, formando um pequeno conjunto. Será que elas formarão grupos de tamanhos iguais? Aparentemente, não. Mas o que aconteceu? Perceba que o conjunto inicial de fileiras pode ser dividido em diferentes modelos. Se a fileira é do mesmo modelo, podemos transformar uma fileira em outra pegando miçangas de uma ponta e unindo com a outra ponta. Encontra-se só um modelo com apenas dois brincos, e isso acontece porque ele é formado por uma parte repetida de um pequeno grupo formado por duas miçangas. São necessárias apenas duas rotações para completar o ciclo. Portanto, este grupo contém apenas dois brincos. Bob não tem como dividir esses brincos de quatro miçangas em número igual de modelos. E quanto aos brincos de cinco miçangas? Será que eles podem ser divididos em um número igual de modelos? Espere. De repente, Bob percebeu que nem precisa montar todas as fileiras para descobrir. Isso deve funcionar porque com cinco miçangas não pode ser feito um padrão de repetição, pois cinco não pode ser dividido em partes iguais, é um número primo. Portanto, não importa que tipo de combinação se faça na fileira. Ela sempre fará cinco rotações para voltar à combinação original. A duração do ciclo de cada sequência deve ser cinco. Vamos verificar fazendo novamente as fileiras de todas as combinações possíveis. Vamos remover as duas fileiras de uma cor só, separando as fileiras em grupos do mesmo modelo e montando um único brinco para cada modelo. Observe que cada brinco gira exatamente cinco vezes para completar o ciclo. Portanto, se colarmos todas as fileiras em pequenos conjuntos, elas devem se dividir em grupos iguais de cinco miçangas cada. Mas Bob vai ainda mais longe. Estávamos usando apenas duas cores, mas ele percebe que o mesmo deve acontecer com qualquer quantidade de cores. Isso porque qualquer brinco colorido com um número primo de miçangas "p" deve ter um comprimento de ciclo também "p", já que números primos não podem ser divididos em unidades de tamanhos iguais. Mas se um número composto de miçangas é utilizado, como o seis, sempre teremos determinadas sequências mais curtas, uma vez que poderíamos pensar que esses números são formados por conjuntos menores que se repetem e que, consequentemente, vão formar grupos menores também. E assim, meio que sem querer, Bob se deparou com o teorema de Fermat, que diz que dado um determinado número "a" de cores e um determinado número primo "p" de comprimento de fileiras, o número de modelos possíveis de fileiras é igual a "a" vezes "a" vezes "a" "p" vezes, ou, em outras palavras, aᵖ. E quando Bob retirou as fileiras de uma cor só, subtraiu exatamente o número "a" de fileiras, uma para cada cor, deixando-o com aᵖ menos as fileiras "a". E quando ele colocou estas fileiras agrupadas umas nas outras, formaram grupos de tamanho "p", uma vez que cada brinco deve ter um comprimento de "p" miçangas. Daí temos que "p" dividindo aᵖ menos "a". E é isso. Podemos expressar isso em aritmética modular também. Pense nisso: se você dividir aᵖ por "p", vai ficar com o resto de "a". Assim, podemos escrever isso como aᵖ sendo congruente para "a" módulo "p". E assim, aprendemos um dos mais fundamentais postulados na teoria dos números, simplesmente brincando com miçangas.