Inequações racionais: ambos os lados são diferentes de zero

RKA1MP Vamos fazer um problema um pouco mais difícil do que aquele que vimos no último vídeo. Tenho aqui x - 3 sobre x + 4 é maior que ou igual a 2. E ele é mais difícil porque tem maior ou igual a. Outra coisa é que não tem um simples zero, eu tenho um 2 aqui. Vou fazer esse problema da mesma forma. Vou fazer de duas maneiras como da última vez, mas vou reverter a ordem dessas duas. A primeira coisa é multiplicar os dois lados dessa inequação vezes x + 4 e, como vimos no último vídeo, tem que ter muito cuidado porque tem uma desigualdade aqui. Se x + 4 é maior que zero, então vamos manter a desigualdade aqui. Se for menor que zero, vamos inverter a desigualdade. Uma situação é, vou fazer aqui, uma situação é x + 4 é maior que zero e, lembre-se, nunca pode ser igual a zero, porque essa expressão seria indefinida. Vamos explorar x + 4 é maior que zero. Se subtrair 4 dos dois lados dessa inequação, é a mesma coisa que dizer essas declarações são equivalentes, se subtrair 4 dos dois lados, onde "x" é maior que -4, se considerar que "x" é maior que -4 e x + 4 será maior que zero, e quando multiplicamos os dois lados disso vezes x + 4. Vamos fazer isso. x - 3 sobre x + 4. Você tem 2, vamos multiplicar os dois lados disso vezes x + 4, como estamos considerando que "x" é maior que -4, ou que x + 4 é maior que zero, então não tem que trocar o sinal da desigualdade. Estamos multiplicando os dois lados por um positivo, a desigualdade fica igual ao nosso problema original. E o motivo é que esses se cancelam, e temos 2 vezes x + 4. x - 3 é maior ou igual a 2 vezes "x", mais 2 vezes 4 que é 8. E, agora, o que podemos fazer? Dá para subtrair "x" dos dois lados e tem -3 é maior ou igual a x + 8. Só subtrai "x" do 2x. Daí, a gente pode subtrair 8 dos dois lados. Então, subtrai 8, você tem -3 menos 8 é igual a -11, é maior ou igual a "x". E, é claro, como subtraímos um 8, então esse cara desaparece. Se considerar que "x" é maior que -4, então "x" tem que ser menor ou igual a -11. Isso parece não fazer muito sentido. Para que essa declaração seja verdadeira, "x" tem que ser tanto maior que -4 e tem que ser menor que -11. Qualquer coisa maior que -4 vai ser maior que -11, não existe "x" que possa satisfazer ambas inequações. Se considerar que x + 4 maior que zero, acabamos com uma solução que não faz sentido. Dá para ignorar esse caminho. Não existe uma situação onde x + 4 será maior que zero e onde vamos ter uma solução para essa inequação. Então, vamos considerar o que acontece quando x + 4 é menor que zero. Então, o que acontece quando x + 4 é menor que zero? De novo, essa é uma declaração equivalente, subtraímos 4 dos dois lados dessa inequação para dizer que "x" é menor que -4. Essas declarações são equivalentes. Se considerar que "x" é menor que -4, então, quando multiplicar os dois lados dessa inequação por x + 4 e está multiplicando por x – 3 sobre x + 4 e você tem o seu 2, e está multiplicando vezes x + 4. Como estamos considerando a outra situação onde "x" é menor que -4, o que torna essa expressão negativa já que estamos multiplicando os dois lados da inequação por um negativo, iremos inverter a desigualdade e vamos ver o que dá. Isto e isto se cancelam. A gente tem x - 3 é menor ou igual a 2 vezes "x", mais 2 vezes 4 que é 8. E fazemos a mesma álgebra. Vamos subtrair "x" dos dois lados. Tem -3 é menor ou igual a x + 8. Se subtrair 8 dos dois lados, tem -11 é menor ou igual a "x". Se considerar que é negativo, tem que "x" tem que ser menor do que -4. Se "x" é menor que -4, para que esta inequação seja verdadeira, "x" também tem que ser maior que -11 e isso é realmente possível. Dá para ter um "x". Então, "x" tem que ser maior ou igual a -11, acabo de trocar os dois lados, e "x" tem que ser menor do que -4. Existem números que satisfazem estas duas restrições, não tinha números que satisfaziam aquelas restrições. Nada disso satisfaz, mas existem coisas que satisfazem as duas, por exemplo, -5. Vamos desenhar isso na reta numérica. Uma solução para esse problema. Se eu desenhar uma reta numérica, aqui tem -11, dá para ser maior ou igual a -11. Então, é -11 e temos -4 aqui. -4 aqui e talvez um zero aqui. Tem que ser menor que -4. Lembre-se, não pode ser igual a -4 porque tornaria indefinido. Tem que ser menores que -4, então, não incluímos o -4 É menor que -4, mas tem que ser maior ou igual a -11. A gente não pode ir além do -11, mas pode incluir um -11 porque isso é maior ou igual a. Então, qualquer coisa aqui, onde eu escureci, qualquer coisa nesse intervalo vai satisfazer essa inequação. Vamos fazer de outra forma. O numerador e o denominador têm que ser positivos ou negativos. Deixa eu ver se pode fazer o mesmo problema assim. É só reescrever, talvez, em outra cor, o mesmo problema. x - 3 sobre x + 4 é maior ou igual a 2. Agora, para usar esse raciocínio que usamos no primeiro vídeo, lembre-se que no primeiro vídeo eu disse: "É 'a' dividido por 'b' é maior que zero ou os dois são positivos ou negativos." Mas, isso só funcionou quando eu tinha zero. Agora, não tenho zero aqui. Tem 2, então não pode usar esse raciocínio imediatamente, mas, talvez, se puder subtrair 2 dos dois lados dessa inequação. Vamos lá, você tem x – 3 sobre x + 4, menos 2 é maior ou igual a zero. É só subtrair 2 dos dois lados, posso somar ou subtrair sem inverter a desigualdade, não preciso me preocupar com isso. É só quando multiplica por negativos que inverte a desigualdade. E o que é isso? Você sabe que não parece ser uma expressão racional, mas posso reescrever -2, certo? -2 é a mesma coisa que -2 vezes x + 4 sobre x + 4. Isso é -2 vezes 1 que é a mesma coisa. E é a mesma coisa que -2x mais, tem que tomar cuidado, é a mesma coisa que -2x menos 8 sobre x + 4. É exatamente a mesma coisa que -2. Só multiplico por x + 4 sobre x + 4. Vamos escrever desse jeito porque depois podemos somá-los e, se eu escrever assim, então tenho x – 3 sobre x + 4. Escrevi assim e tenho um denominador comum. Logo, adiciono -2x menos 8 sobre x + 4 que é maior que zero. Eu tenho um denominador comum, por isso fiz isso. Tenho um denominador de x + 4 e, quando soma essas duas coisas, tem "x" menos 2x que é "-x". Você tem -3 menos 8, isso é -11, e é maior que zero. Agora, simplifica o problema para algo como isto. Tem duas situações, mas tem que tomar cuidado que era maior ou igual e deve ser maior ou igual, não quero perder esse sinal de igual nessa desigualdade. Agora, estou pronto para operar. Na verdade, antes de fazer, vamos esclarecer uma coisa. "x" nunca pode ser igual a -4 porque, se "x" é igual a -4, toda essa expressão, esse problema original, é indefinido. Então, vamos escrever primeiro. Aliás, a gente poderia ter escrito desde o começo. "x" não pode ser igual a -4 para qualquer solução. Isso vai tornar essa expressão indefinida. Agora, tem isso e vimos no primeiro vídeo, e aqui também, que tem duas situações: ou os dois são positivos ou os dois são negativos. Então, positivos. "-x" -11 é maior ou igual a zero. Isso poderia ser igual a zero. Na verdade, se isso é igual a zero, então, tudo aqui vai ser verdadeiro. Ou isso é maior ou igual a zero e isso aqui é maior que zero. x + 4 não pode ser igual a zero. Logo, x + 4 é somente maior que zero. Essa é a situação de ambos são positivos. Ou os dois serão negativos. Estou ficando sem espaço aqui. Ou "-x" menos 11 é menor ou igual a 0. x + 4 é menor que 0. Lembre-se que nunca pode ser igual a zero no denominador. Os dois serão positivos ou negativos, essa é a única forma que vamos conseguir alguma coisa. O numerador pode ser igual a zero porque pode ser igual a zero. Os dois são positivos para chegar em algo positivos, ou são negativos. Então, quando divide o negativo por um negativo ainda tem algo positivo. Vamos dar uma olhada nessas duas situações e ver se tem uma solução que faça sentido. Aqui, se somar "x" dos dois lados dessa inequação, tem -11 é maior ou igual a "x". Ou, outra forma de dizer é "x" é menor ou igual a -11, só troquei os dois lados. Se somar -4, se subtrair 4 dos dois lados, tem "x" é maior que -4. Mas, mais uma vez, não faz sentido, não tem como ser. Lembre-se, tem um E aqui. Os dois têm que ser verdadeiros. Não existe "x" que seja maior que -4 e menor que -11 ao mesmo tempo. Aqui não tem restrições. Os dois nunca podem ser. Tanto o numerador como o denominador não podem ser positivos ao mesmo tempo porque, para que sejam positivos, têm que se encaixar em uma restrição impossível. Então, vamos dar uma olhada na situação, nessa aqui. A outra situação é quando são negativas, quando tanto esse numerador e numerador são negativos. Você não pode fazer uma declaração sobre esses dois não serem positivos. Essas duas coisas nunca podem ser positivas. Lembre-se, a gente tinha que ter zero para usar essa lógica desde o começo. Então, como tentamos solucionar os números que tornariam as duas positivas, acabamos com restrições sem sentido e impossíveis de serem alcançadas, onde tanto o numerador e esse denominador não podem ser positivos para qualquer que seja "x". Agora, vamos ver se os dois podem ser negativos. Para que os dois sejam negativos, ou o numerador também pode ser igual a zero. Se somar "x" aos dois lados, vamos ter -11 é menor ou igual a "x". Ou poderia dizer que "x" é maior ou igual a -11, só trocando. Aqui, se subtrair 4 dos dois lados, tem "x" é menor que -4 e é "x" que tem que ser maior ou igual ao -11, ou menor que -4, que é exatamente o resultado do último problema. Posso desenhar na reta numérica de novo. Tem que ser maior ou igual a -11, aqui é -11. . Pode ser igual ou maior, mas tem que ser menor que -4. Então, aqui está o -4. Não podemos nem ser igual a -4 que isso vai tornar o nosso denominador indefinido, ou toda a nossa inequação, vai tornar o nosso denominador zero. Então, esse é nosso conjunto solução, qualquer coisa que tenha esclarecido, incluindo -11, mas não incluindo -4. Se entendeu isso, acho que vai poder resolver qualquer problema de inequação fracionária. Até a próxima.