Introdução às progressões geométricas (avançado)

RKA2G Vamos falar um pouco sobre as progressões geométricas. Progressões geométricas, também conhecidas como sequências geométricas, são definidas por um termo inicial (vamos chamar de "a") e, a partir do segundo termo, multiplicamos o primeiro sempre pelo mesmo número (vamos chamar esse número de "razão") para obter o próximo. Tendo "a" como primeiro termo, o próximo termo, se eu multiplicar por um número que eu vou chamar de "q", eu vou ter "a" vezes "q". Se eu multiplicar o segundo termo pelo mesmo número "q", que é a razão, eu vou ter "a" multiplicado por q². Para o terceiro termo, "a" multiplicado por q³, etc. Infinitamente, falando-se de uma progressão geométrica infinita. Nós podemos definir o termo geral dessa progressão geométrica de duas maneiras. Uma delas é a maneira explícita, em que nós colocamos aqui aₙ para representar um termo qualquer, com "n" indo de 1 a infinito, com aₙ igual ao primeiro termo, que é "a", multiplicado por "q" elevado a "n" menos 1. Por exemplo, se eu estiver falando do segundo termo, "n" é 2. 2 - 1 dá 1 e eu vou ter "a" vezes "q", que é o segundo termo. Para o terceiro termo, o expoente de "q" é 2, você percebe aqui. E assim por diante. Também podemos definir a mesma sequência recursivamente para um termo aₙ com "n" de 1 a infinito, com o primeiro termo, a₁, definido por "a", que eu já coloquei aqui, e um termo qualquer sendo definido pelo termo anterior (por isso, "a" - 1), multiplicado pelo número chamado razão. Isso válido para "n" maior que, ou igual, a 2. Ou seja, a partir do segundo termo é que se define desta forma. Vamos olhar para um exemplo de progressão geométrica ou de sequência geométrica. Vamos definir aₙ, com "n" indo de 1 a infinito, com aₙ igual a: o primeiro termo vamos colocar 20 e a razão vamos colocar 1/2. Então, 20 multiplicado por (1/2)ⁿ⁻¹ é o termo geral desta progressão geométrica. Escrevendo os termos, nós teríamos: o primeiro termo é 20, o segundo termo é 20 multiplicado por 1/2 (20 vezes 1/2 dá 10), o terceiro termo é 10 multiplicado por 1/2 (10 vezes 1/2 dá 5), o próximo vai ser 5 multiplicado por 1/2, que são 5/2, o próximo vai ser 5/2 multiplicado por 1/2, que será 5/4 e assim continua infinitamente. Vamos tomar uma outra sequência e decidir se ela é ou não uma progressão geométrica. A sequência começa com 1 e depois temos o 2, em seguida, o 6, o próximo é o 24, depois temos o 120 e ela continua infinitamente. Será uma progressão geométrica? Será uma sequência geométrica? Para isso nós precisamos verificar o que acontece na passagem de um termo para o próximo. De 1 para 2, multiplicamos por 2. De 2 para 6, multiplicamos por 3. De 6 para 24, multiplicamos por 4. De 24 para 120, multiplicamos por 5 e assim sucessivamente. Não é, então, uma progressão geométrica, porque de um termo para o próximo nós não multiplicamos sempre pelo mesmo valor. Vamos estudar um pouco mais detalhadamente o que nós temos aqui com esta sequência. Suponhamos que o primeiro termo não seja 1, seja "a". O próximo termo vai ser 2 vezes "a". Multiplicamos por 2. O próximo termo vai ser 3 vezes o segundo termo, que era 2 vezes "a". Vai ser 3 vezes 2 vezes "a". O próximo termo vai ser 4 vezes 3 vezes 2 vezes "a". O próximo vai ser 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes "a" e assim infinitamente. Vamos definir os termos desta sequência explicitamente, mas vamos primeiro observar o seguinte: temos aqui o número 1 como primeiro termo, o 2 seria 2 vezes 1, o 6 seria 3 vezes 2 vezes 1, o 24, 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1 e assim por diante. Se você observar, aqui temos um fatorial. Vamos escrever explicitamente os termos desta sequência. Seriam os termos aₙ, com "n" indo de 1 até infinito, com aₙ igual, se você observar, o segundo termo é 2 fatorial, o terceiro termo é 3 fatorial e assim por diante. Então, aₙ é igual a "n" fatorial. Esta é a maneira explícita de definir os termos desta progressão. Desta sequência, melhor dizendo, que não é uma progressão geométrica. Desta forma, definimos muito bem os termos desta sequência. Vamos agora também definir recursivamente os termos desta sequência. Estamos falando dos termos aₙ, com "n" de 1 a infinito, com o primeiro termo, a₁, valendo, neste caso, 1 e o próximo termo, ou um termo qualquer, aₙ, é o anterior multiplicado por "n". Veja só: o segundo termo, a₂, é a₁ multiplicado por 2. O terceiro termo é o anterior multiplicado por 3 e assim por diante. Esta é uma outra maneira válida de definir os termos desta sequência. Por enquanto é isso. Espero que você tenha aproveitado bastante e até o próximo vídeo!