Soma de n quadrados (parte 1)

RKA2G - O que eu quero fazer neste vídeo é chegar a uma expressão para achar a soma de i = 0 até n(i)². Se eu fosse expandir isso, seria igual a 0², mais 1², mais 2², mais 3² e vamos fazer isso até n². Meu objetivo é encontrar alguma função em que você me dá o "n" e eu vou encontrar a soma de 0² + 1² + 2² até n². Você pode imaginar que isso seria muito útil porque tudo bem, se "n" for bem pequeno. Mas, se "n" for grande, você teria que fazer isso para sempre. Vamos estudar isso primeiro. Vamos estudar quais os domínios e imagem desta função precisam ser. O domínio será "n". Aqui, estamos começando com "pode ir de zero a qualquer valor" e vamos tentar alguns valores. "n" poderia ser zero. Podemos ir de zero até zero. "n" pode ser 1, pode ser 2, pode ser 3... E poderíamos fazer isso muito, muito tempo, mas vou parar por aqui agora. Na verdade, até 4, por diversão. E agora, cada um desses, veremos qual seria a imagem. A imagem da função deveria ser isto: deveria ser a soma de i = 0 até n(i)². Quando "n" é zero, bom, será 0². Paramos por aqui mesmo. Então, é zero. Quando "n" é 1, será 0² + 1², e isso é 1. Quando "n" é 2: 0² + 1² + 2². Então, é 1 + 4, ou seja, 5. Quando "n" é 3, vamos até o 3. Será 1 + 4, que é 5, e, então, 5 + 9, que é 14. E, quando "n" é igual a 4, vamos adicionar o 16, que é 4², a isso. Isso nos leva a 30. E, claro, poderíamos continuar mais e mais vezes. Vamos estudar isso para pensar sobre qual tipo de função que, para cada um destes domínios, talvez nos dê este tipo de imagem. Vamos olhar, primeiro, a diferença entre esses termos. A diferença aqui é 1, aqui é 4 e esta, é óbvio, adicionamos um 2² aqui. 3² (ou 9) aqui, 4² (ou 16) aqui. E a razão de eu fazer isso é que, se fosse uma função linear, a diferença entre os termos sucessivos seria a mesma. Agora, se isto for uma função quadrática, a diferença entre as diferenças será a mesma. Vamos ver se este é o caso. A diferença aqui é 1, aqui é 4. A diferença entre eles é 3. A diferença aqui é 5, aqui é 7. A diferença entre as diferenças está aumentando. Mas, se esta é uma função cúbica, a diferença da diferença da diferença seria constante. Vamos ver se este é o caso. Você vai gostar ainda mais quando for aprender cálculo. Vamos ver: a diferença entre 3 e 5 é 2, entre 5 e 7 é 2. Vamos ter uma constante de 2. O fato da diferença da diferença da diferença ser fixo nos mostra que devemos saber expressar isso em algum tipo de função cúbica. Quando escrevemos isto como isso, deveria ser igual a alguma função em termos de "n". E podemos escrever isso como: An³ + Bn² + Cn + D. E agora podemos usar os domínios e imagens deles para resolver A, B, C e D. Eu te encorajo a fazer isso. Vamos, primeiro, pensar em quando "n" é igual a zero. Quando "n" é igual a zero, esta equação equivale a D. Então, esta função equivale a D. Mas esta função precisa equivaler a zero. Então, D precisa ser zero. Só estou tentando fixar estas letras para obter as imagens corretas. Então, quando "n" é zero, esta expressão equivale a D e precisa se equivaler a zero. "D" precisa ser igual a zero. Então, D = 0, ou podemos ignorá-lo. Sabemos, por estes dados, que somos capazes de reduzir isso tendo esta forma. E agora podemos pegar cada um destes domínios e descobrir qual a sua imagem correspondente. Vamos fazer isso, vamos fazer por aqui. Quando "n" é 1, isto equivale a... Vou deixar em uma nova cor. Isto equivale a A vezes 1³ (o qual é apenas 1), mais B vezes 1² (o qual é 1), mais C vezes 1, o qual é C. E isso precisa ser igual a 1. Agora, quando "n" é 2, nós temos A vezes n³ (e isso é 8A), mais 2² (que é 4), mais 4B, mais 2C precisa ser igual a 5. E preciso formar três equações, se eu quero resolver para três incógnitas. Então, vamos para a terceira. 27A + 9B + 3C será igual a 14. Formei três equações com três incógnitas. Agora só preciso resolver essas para A, B e C e terei uma fórmula geral para encontrar esta soma, a soma dos primeiros "n" números ao quadrado. Creio que podemos dizer assim. O que eu quero fazer agora é: vou parar este vídeo. Te encorajo a tentar resolver esta equação sozinho. No próximo vídeo, irei resolvê-lo.