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Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 5

Lição 1: Introdução à equação reduzida da reta

Introdução à equação reduzida da reta

Aprenda sobre a equação reduzida da reta de duas equações lineares com duas variáveis, e saiba como interpretá-la para calcular o coeficiente angular e a interceptação em y de sua reta.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Você deve saber o que são equações lineares com duas variáveis. De maneira específica, você deve saber que o gráfico dessas equações é uma reta. Se isso for novidade para você, confira nossa introdução às equações com duas variáveis.
Você também deve estar familiarizado com as seguintes propriedades das equações lineares: interceptação em $y$ ‍ e interceptação em $x$ ‍ and slope.

O que você vai aprender nessa lição

O que é equação reduzida da reta de equações lineares com duas variáveis
Como calcular o coeficiente angular e a interceptação em $y$ ‍ de uma reta a partir de sua equação reduzida da reta
Como encontrar a equação de uma reta a partir de seu coeficiente angular e de sua interceptação em $y$ ‍

O que é equação reduzida da reta?

Equação reduzida da reta é uma forma específica de equações lineares. Ela tem a seguinte estrutura geral. Que rufem os tambores...

y = m x + b

Neste caso,

m

b

podem ser dois números reais quaisquer. Por exemplo, essas são equações lineares na forma de equação reduzida da reta:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍

Por outro lado, essas equações lineares não estão na forma reduzida da reta:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

A equação reduzida da reta é a forma mais popular das equações lineares. Vamos nos aprofundar um pouco para saber por quê.

Os coeficientes na equação reduzida da reta

Além de ser clara e simples, a vantagem da forma de equação reduzida da reta é que ela mostra duas características principais da reta que ela representa:

O coeficiente angular é $m$ ‍.
A coordenada $y$ ‍ da interceptação em $y$ ‍ é $b$ ‍. Em outras palavras, a interceptação em $y$ ‍ da reta está em $(0, b)$ ‍.

Por exemplo, a reta

y = 2 x + 1

tem o coeficiente angular igual a

2

e a interceptação em

y

(0, 1)

Na verdade, o fato de esta forma dar o coeficiente angular e a interceptação em

y

de forma resumida é o motivo pelo qual ela é chamada equação reduzida da reta!

Teste seu conhecimento

Problema 1

Qual é o coeficiente angular da reta representada por $y = 5 x - 7$ ‍?

Problema 2

Qual é o coeficiente angular da reta representada por $y = x + 9$ ‍?

Problema 3

Qual é a interceptação em $y$ ‍ da reta representada por $y = - 6 x - 11$ ‍?

Problema 4

Qual é a interceptação em $y$ ‍ da reta representada por $y = 4 x$ ‍?

Problema 5

Qual é o coeficiente angular da reta representada por $y = 1 - 8 x$ ‍?

Problema 6

Quais retas têm interceptação em $y$ ‍ no ponto $(0, 4)$ ‍?

Pergunta para reflexão

Como encontramos o coeficiente angular de uma reta dada na forma de equação reduzida da reta?

Desafio 1

Qual das opções abaixo pode ser a equação da reta?

Desafio 2

Escreva a equação de uma reta cujo coeficiente angular seja $10$ ‍ e a interceptação em $y$ ‍ seja $(0, - 20)$ ‍.

Por que isso dá certo?

Você deve estar se perguntando como é que, na forma de equação reduzida da reta,

m

dá o coeficiente angular e

b

dá a interceptação em

y

Será que é algum tipo de mágica? Bem, com certeza não se trata de mágica. Na matemática, sempre há uma explicação. Nesta seção, vamos analisar esta propriedade usando a equação

y = 2 x + 1

como exemplo.

Por que $b$ ‍ dá a interceptação em $y$ ‍?

Na interceptação em

y

, o valor de

x

é sempre zero. Então, se queremos encontrar a interceptação em

y

y = 2 x + 1

, temos que substituir

x = 0

e resolver para encontrar o valor de

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Substituindo x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Vemos que na interceptação em

y

2 x

se torna zero e, sendo assim, ficamos com

y = 1

Por que $m$ ‍ dá o coeficiente angular?

Vamos refrescar nossa memória sobre o que é coeficiente angular, exatamente. Coeficiente angular é a razão da variação em

y

sobre a variação em

x

entre quaisquer dois pontos da reta.

Coeficiente angular = \frac{Variação em y}{Variação em x}

Se pegarmos dois pontos onde a variação de

x

for exatamente

1

unidade, então, a variação de

y

será igual ao próprio coeficiente angular.

Coeficiente angular = \frac{Variação de y}{1} = Variação de y

Agora vamos ver o que acontece com os valores de

y

na equação

y = 2 x + 1

à medida que os valores de

x

aumentam constantemente em

1

unidade.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Vemos que sempre que

x

aumenta em

1

unidade,

y

diminui em

2

unidades. Isso porque

x

determina o múltiplo de

2

no cálculo de

y

Conforme descrito acima, a variação em

y

que corresponde a

x

aumentar em

1

unidade é igual ao coeficiente angular da reta. Por este motivo, o coeficiente angular é

2

Vamos ver o que acontece com os valores de

y

na equação geral

y = m x + b

à medida que os valores de

x

aumentam constantemente em

1

unidade.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$b + 0 \cdot m$ ‍	$= b$ ‍
$1$ ‍	$b + 1 \cdot m$ ‍	$= b + m$ ‍
$2$ ‍	$b + 2 \cdot m$ ‍	$= b + m + m$ ‍
$3$ ‍	$b + 3 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m$ ‍
$4$ ‍	$b + 4 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m + m$ ‍

Podemos ver que, cada vez que

x

aumenta

1

unidade,

y

aumenta

m

unidades. Isso porque

x

determina o múltiplo de

m

no cálculo de

y

Conforme descrito acima, a variação em

y

que corresponde ao aumento de

1

unidade em

x

é igual ao coeficiente angular da reta. Por este motivo,

m

sempre corresponde ao coeficiente angular.

Desafio 3

Complete a equação da reta.

y =

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Evaristo Freires
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Estou tendo problemas par...” de Evaristo Freires
Estou tendo problemas para responde a questão 9 e 10, eu escrevi 10x-20 na questão 9 mas não aceitou a resposta, eu respondi errado? ou tem outro problema?
Botão para a página de cadastroComentar sobre a postagem “Estou tendo problemas par...” de Evaristo Freires
(5 votos)
Resposta
- Mateus Angelo
  Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “Exatamente, precisar espe...” de Mateus Angelo
  Exatamente, precisar especificar a função, eu coloquei o Y maiúsculo e tava dando erro.
  Botão para a página de cadastro
  (1 voto)

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