O que é uma função?

RKA - Uma ideia meio abstrata de função é que é algo que tem um valor de entrada com o qual será feito alguma coisa. Baseado no que é esta entrada, ela produz uma saída especifica. Qual é o exemplo de uma função? Posso ter alguma coisa como f(x) e x tende a ser a variável mais usada para entrada dentro da função. O nome da função f tende a ser a variável mais usada, mas veremos que você pode usar outras. É igual a, vamos dizer, x². x² se x for par. E digamos que é igual a x + 5 se x for ímpar. O que aconteceria se colocasse 2 dentro dessa função? A maneira que iria denotar a introdução de 2 é que gostaria de avaliar f(2). Isto é dizer: "vamos colocar 2 dentro da nossa função f". Todo lugar onde encontramos este x pode ser usado como um espaço reservado. Vamos substituir com a nossa entrada. Se 2 é par, faça 2². Se 2 é ímpar, faça 2 + 5. Bom, 2 é par, então vamos fazer 2². Nesse caso, f(2) será 2², ou 4. Agora, o que seria f(3)? Mais uma vez, em todo lugar onde encontrarmos essa variável vamos substituí-la com nossa entrada. f(3). 3² se 3 for par, 3 + 5 se 3 for ímpar. 3 é ímpar, então será 3 + 5. Será igual a 8. Você pode dizer: "Ok, legal! Essa foi uma maneira interessante de definir uma função, uma forma de mastigar esses números, mas eu poderia ter feito isso com equações tradicionais, especialmente se você me permitir usar um suporte". O que uma função pode fazer que talvez minhas ferramentas tradicionais não tenham mostrado? Dá até para fazer uma função assim. Não vou usar f(x) mais, apenas para mostrar que a notação é mais geral que isso. Posso dizer que h(a) é igual ao próximo número mais alto que começa com a mesma letra da variável a. Próximo número mais alto que começa com a mesma letra da variável a. Vamos assumir que a gente está fazendo isso em inglês. Dado isso, quanto será h(2)? 2 começa com "t" (two), qual é o próximo número mais alto que começa com "t"? Será igual a 3 (three). Agora, quanto seria h de... não sei, vamos pensar sobre h(8). 8 começa com "e" (eight). O próximo número mais alto que começa com "e" não é 9, ou 10, seria 11 (eleven). Agora, você vê que é uma ferramenta bem geral essa função h que acabamos de definir. Vamos olhar para ela. Vamos olhar para a primeira letra do número em inglês. Está ficando meio maluco isso, né? Mas nem todas as funções têm que ser malucas assim, na verdade você já deve ter feito outras funções e tem visto coisas como y = x + 1. Isso pode ser visto como uma função, dá para escrever como y sendo uma função de x que é igual a x + 1. Se der como uma entrada, deixa eu escrever assim, por exemplo, quando x é 0, dá pra falar que o f(0) é igual a: você pega 0 e soma 1, é igual a 1. f(2) = 2. Você já fez isso antes, fez coisas onde disse: "olha, deixa eu fazer uma tabela de x e colocar o y ali. Quando x = 0, y = 1." Desculpa, eu cometi um erro. Onde f(2) = 3, se você terminou antes com tabelas onde diz: "olha, x e y. Quando x = 0, y = 1. Quando x = 2, y = 3." Dá para falar qual é o ponto de usar a notação da função para dizer f(x) = f + 1? O ponto é pensar em termos gerais. Para alguma coisa como esta, você não teve que apresentar notações de funções, mas não custa nada introduzir notações, porque deixa bem claro que a função pega uma entrada, pega meu x e, nessa definição, mastiga isso e diz: "ok, x + 1" e produz um a mais que isso. Então aqui, onde quer que seja a entrada, a saída é um a mais do que a função original. Agora, eu sei que você está perguntando. O que, então, não é uma função? Lembre-se que uma função é alguma coisa que pega uma entrada e produz apenas uma possível saída para essa entrada. Por exemplo, vamos dizer que isto é o eixo y e este é o eixo x. Vou desenhar uma circunferência que tem um raio de 2. Então, é uma circunferência de raio 2. Isto é -2, isto é 2, isto é -2. Então, minha circunferência está centralizada na origem, tem raio 2 e é a minha melhor tentativa de desenhar a circunferência. Vou preencher essa circunferência, a equação dela será x² + y² = raio², e é igual a 2², ou igual a 4. A questão é: essa relação entre x e y deixei expresso que é uma equação, desenhei tudo de x e y que satisfaz esta equação. Essa relação entre x e y é uma função? Não é uma função. Você pega um dado x, digamos que x = 1. Para x = 1 há duas maneiras possíveis de y estar associado a isso. Este y aqui em cima e este y aqui embaixo. Podemos até resolver olhando para a equação, quando x = 1 pegamos 1² + y² = 4, 1 + y² = 4, ou subtrair um dos dois lados, y² = 3, ou y é igual a raiz quadrada de mais ou menos 3. Isso aqui é a raiz quadrada de 3 positivo e isso aqui é a raiz quadrada de 3 negativo. Essa situação, esse relacionamento onde coloquei 1 dentro da caixinha aqui e associei com a raiz quadrada de 3 positivo e negativo, isso não é uma função. Não consigo associar a minha entrada a duas saídas diferentes. Posso apenas ter uma saída para uma determinada entrada. Até o próximo vídeo!